电路课件第七章

1、第7章一阶电路和的时域分析电路7.17.7动态电路的方程及其初始条件一阶电路和电路的阶跃响应7.27.8*一阶电路的零输入响应一阶电路和电路的冲激响应7.37.9*一阶电路的零状态响应卷积7.47.10*一阶电路的应状态方程7.5电路的零输入响应动态电域分析中的几个问题7.11*7.6电路的零状态响应和应本章重点首 页 l 重点 1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；2.一阶和应和 3.一阶和解。电路的零输入响应、零状态响应的概念及求解；电路的阶跃响应概念及求返回7.1动态电路的方程及其初始条件1.动态电路含有动态电容和电感的电路称动态电路。特点当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变

2、化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。返 回 页下页例i（t = 0）ii = US / R2+R1usi = U(R + R )-S12R2t0过渡期为零返 回上页下 页电阻电路i(t ¥)iRR(t = 0)+Us-+Us-uCCC返 回 页下 页ucUSUS新的稳定状态R?i有一过渡期0t1t前一个稳定状态过渡状态+kuC电容电路i(t ¥)i+RR(t = 0)+Us-+Us-kuLL返回上页下 页iUS/R新的稳定状态US?uL有一过渡期0t1t前一个稳定状态过渡状态+uL电感电路i(t ¥)Ri(t ¥)R+Us-+Us

3、-k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0,i=Us /R,uL = ¥i = 0k断开瞬间工程实际中在切断电容或电感电会出现过电压和过电流现象。注意返 回 页下页+kuL+uL电路结构、状态发生变化支路接入或断开电路参数变化L、C，电路在换电路内部含有储能能量发生变化，而能量的储存和时间来完成。都需要一定的wp Þ ¥p =t Þ 0t返 回 页下页过渡过程产生的换路i(t >0)R2.例动态电路的方程+uCC应用KVL和电容的VCR得：Ri + uC = uS (t)dudu+ u= u (t)RCC dtCSi = CC dt若以电流为变量

4、：Ri + 1C òidt = u (t)SR di +i = duS (t)dtCdt返 回 页下页RC电路+Us-i(t >0)R应用KVL和电感的VCR得：Ri + uL = uS (t)= L diRi + L di = u (t)uLSdtdt若以电感电压为变量： RL òu dt + u= u (t)LLSR u+ duL= duS (t)LLdtdt返 回上页下 页+Us-+uLRL电路一阶电路有源电阻电路结论一个动态含有一个动态电容或电感的线性电路，其电路方程为一阶线性常微分方程，称一阶电路。返 回 页下 页i(t >0)R+应用KVL和Ri +

5、 uL + uCdu的VCR得：= uS (t)uLCudid2ui = CC = L= LCC uL电路dtdt 2dtd2udu+ RCC + u= u (t)LCC CSdt 2dt含有二个动态的线性电路，其电路方程为线性常微分方程，称电路。返 回 页下 页+UsC-RLC电路描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数通常等于电路中动结论态的个数。一阶电路中只有一个动态,描述电路的方程是一阶线性微分方程。a dx + a x = e(t)t ³ 010dt电路中有二个动态,描述电路的方程是线性微分方程。d2 xdx+ a1 dt + a0 x = e(t)t 

6、9; 0a2dt 2返 回 页下页电路一阶电路电路中有多个动态，描述电路的方程是高阶微分方程。dn-1 xdn xdx+ an-1+L + a1 dt + a0 x = e(t)t ³ 0andtn-1dtn根据KVL、KCL和VCR建立微分方程；返 回上页下页动态电路的分析方法高阶电路求解微分方程 复频域分析法本章采用拉斯变换法状态变量法卷积数值法状态变量法付氏变换工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。返 回 页下 页经典法时域分析法 稳态恒定或周期性激励 动态任意激励换路发生后的整个过程换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的通解dx直流时 a1 dt + a0 x =

7、 USdx = 0a x = Ut Þ ¥0Sdt返 回 页下页稳态分析和动态分析的区别3.电路的初始条件认为换路在t=0时刻进行f (0- ) = f (0+ )f(t)0换一瞬间f (0- ) = limf (t)t ®0 t <00换一瞬间f (0- ) ¹ f (0+ )tf (0+ ) = limf (t)00 0t ®0 t >0注意t = 0时u ，i初始条件为的值。及其各阶导数返 回 页下 页 t = 0与t = 0的概念图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。例(t=0)Ri +

8、 uc = 0(t ³ 0) 解+RC ducCiuCR+ u= 0cdtp = -1 RC特征根方程： RCp +1 = 0t-u (t) = ke= keptRC通解：tc-u (t) = U e代入初始条件得： k = URCcoo在动态电路分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。明确返 回 页下页+uc-iu (t) = 1ti(x )dxòCCC-¥ 1C 1C0tx )dx +i(x )dxòò=-i(-¥0 -(0 ) + 1ti(x )dxò= u-CC000 + i(x )dx-(0 ) = u (0 )

9、 + 1òt = 0u时刻+-CCC0-当i(x)为有限值时返 回上页下 页电容的初始条件电荷守恒q =C uC结论换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换后保持不变。返 回上页下 页q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)iL+u-Li (t) = 1tu(x )dxòLL-¥1L1L0tx )dx +u(x )dx=òò-u(-¥0-= i (0 ) + 1tu(x )dxò-LL000+ u(x )dx-i (0 ) = i (0 ) + 1òt = 0+时刻+-LLL0-当

10、u为有限值时返 回上页下 页电感的初始条件 iL(0)= iL(0)磁链守恒y = LiL结论换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换后保持不变。返 回上页下 页yL (0)= yL (0)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）qc (0+) = qc (0)u(0 ) = u(0)C+C换后保持不变。换路瞬间，若电感电压保持yL (0+)= yL (0)iL(0+)= iL(0)为有限值，则电感电流（磁链）换后保持不变。电容电流和电感电压为有限值是换律成立的条件。注意换律反映了能量不能跃变。返 回上页下页换律(1) 由0电路求 uC(0)+uC-电容开路10k 1

11、0V 40k+例1求 iC(0+)10ki-+i+40k 10VCuu(0)=8VCCS-(2)由换律uC (0+) = uC (0)=8Vi+C(3) 由0+等效电路求iC(0+)i (0 ) = 10 - 8 = 0.2mA电容用-+C100+等效电路iC(0)=0iC(0+)注意压返 回 页下页i10k+ 10V8V-电路初始值的确定例 2t = 0时闭合开关k,求uL(0+)1W4W应用换律:+uL-iL(0+)= iL(0) =2A由0+等效电路求 uL(0+)1W4W先求 i (0)+uL-L4W电感用电1W电感短路u (0 ) = -2 ´ 4 = -8V流+源替代下L

12、10u (0 ) ¹ u(0 )i (0 ) = 2A注意-+LL-1+ 4L返 回上页页+10V-iL+10V-2A解+10VSL-iL求初始值的步骤:电路（稳定状态）求uC(0)和iL(0)；小结1. 由换2. 由换律得uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等效电路。a. 换的电路b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。4.由0+电路求所需各变量的0+值。返 回 页下 页例3求 iC(0+),uL(0+)iSiLLiC+iuLiC+uL+SRRuCRiSCS(t=0) 解 由0电路得：由0+电路得：- RiSiS(0 )

13、 = i= 0iR0电路+CsRuL(0+)= - RiSiL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiS返 回 页下页求k闭合瞬间各支路电流和电感电压例42W+ui+3W+24V-+i+LC3WL2WuLS12A2W48V -48V-C-iL解由0电路得：由0+电路得：iL (0+ ) = iL (0- )= 48 / 4 = 12AuC (0+ ) = uC (0- )= 2 ´12 = 24Vi (0 ) = (48 - 24) / 3 = 8A+Ci(0+ ) = 12 + 8 = 20Au (0 ) = 48 - 2 ´12 = 24

14、V+L返 回 页下页求k闭合瞬间流过它的电流值例5LC+u iLC10W 10W10W+20V-S解确定0值2010i (0 ) = i (0 ) = 20 = 1A=+-1 = 2Ai (0 )+k1010+-LL20uL (0+ ) = iL (0+ ) ´10 = 10ViC (0+ ) = -uC (0+ ) /10 = -1Au (0 ) = u(0 ) = 10V+-CC给出0等效电路返 回 页下页uL10V+ +1AiC10W10W+10Wik20V-7.2一阶电路的零输入响应换动态外加激励为零，仅由初始储能产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应已知 uC (0)=

15、U0S(t=0)- u+ u= 0iRC+uR+i = -C duCuCCRdtuR= Ri返 回 页下 页零输入响应RC duCS(t=0)+ u= 0iCdt+uR(0 ) = U+uuCC+C0RRCp+1=0特征方程1p = -特征根RC- 1 t= AeuCpt= AeRC则uC (0+)=uC(0)=U0代入初始值A=U0返 回上页下 页uU- t - t i = I et ³ 0e C R 0RRCRC0或du1U- t- ti = -CC = -CU eRC (-) =e 0RRC0dtRC返回 页下 页- tu = U e RCt ³ 0c0表明电压、电流

16、是随时间按同一指数规律衰减的函数；uCU0i连续函数跃变I000tt响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关;令 t =RC称t为一阶电路的时间常数,t = RC = 欧法= 欧é 库ù = 欧é安秒ù = 秒êë伏úûêëúû伏返 回 页下 页1= - 1 t = RC p = -tRC时间常数t的大小反映了电路过渡过程时间的长短uct 大过渡过程时间长U0t 大t小过渡过程时间短t 小电压初值一定： 0 物理含义 tW=Cu2/2i=u/RC 大（R一定）储能大放电

17、时间长R 大（ C一定）放电电流小返 回 页下页注意a. t :电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。经过 3t5t ,工程上认为,过渡过程结束。返 回 页下页t0t2t3t5t- tuc = U0etU0U0 e -1U0 e -2U0 e -3U0 e -5U00.368U00.135U00.05U00.007U0b. 时间常数t 的几何意义：t-u = U eRCCt1时刻曲线的斜率等于0u (t ) - 0duU1t- t= -0= -(t ) =eut C dt C1tt - tt1t1C112uct t t次切距的长度21U0uC (t2 ) = 0.368uC (t1 )t

18、1t20tt返 回 页下页电容不断能量被电阻吸收,能量关系直到全部消耗完毕.+CuC(0+)=U0设RuC1 CU 2电容放出能量：02电阻吸收（消耗）能量：U- t¥¥òWR=òi Rdt2=(eR) Rdt20RC001= U2= U2(- RC e-2t2t-e=2¥CUò¥dt) | 2 0 0 RCRC00RR20返 回 页下 页图示电路中的电容原充有24V电压，求k闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。例1i1S2Wi2等效电路t >05F +i15F3WuC6WuC4Wi3解 这是一个求一阶RC

19、零输入响应问题，有：t-u = U et ³ 0RCC0U0 = 24 V t = RC = 5´ 4 = 20 s返 回 页下 页i1S+i12Wi25F5F +3WuC4WuC6Wi3t20 V-u = 24et ³ 0ct20 A-i = u4 = 6e1C13- t 23- t i =i = 2e20 A=i = 4e分流得： i20 A3121返 回 页下 页例2 求:(1)图示电路k闭合后各的电压和电流随时间变化的规律，(2）电容的初始储能和最终时刻的储能及电阻的耗能。Si+ （0 ）=4V+C =5mFu11-u-250kW- （0 ）=24VC =

20、20mFu22-+解 这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：C2C1C = 4Fu (0 )=u(0)=20V+C + C12返 回 页下页kit = RC = 250´ 4´10-3 =1s+20Vu = 20e- tt ³ 0u-4mF250kWu= 80e-t mAi =-250 ´103115tt80e-t dtòòu = u (0) += -i( )d411C001= (16e-t- 20)V11tt80e-t dtòòu= u (0) += 24 +i( )d22C20002= (4e-t+ 20)V

21、返 回 页下页w = 1 (5´10-6 ´16) = 40mJ初始储能12w = 1 (20 ´10-6 ´ 242 ) = 5760mJ22最终储能w = w + w = 1 (5 + 20) ´10-6 ´ 202 = 5000mJ112电阻耗能¥t250 ´10 ´ (80e-t )2 dt = 800mJw=òRi dt =ò23R00= 5800 - 5000mJ返 回 页下 页2. RL电路的零输入响应+uLUS) = i) = I0i(0(0+-1 + RLLRdi +

22、 Ri= 0t ³ 0LLdtLt >0i特征方程 Lp+R=0Rp = -=pti (t)Ae+特征根RLLuLLA= iL(0+)= I0代入初始值- Rti (t) = I e= I et ³ 0ptLL00返 回 页下页+R1R iL USS(t=0) L-i+uLRLdi- tu (t) = LL = -RI eL / RL表明0dt电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；uLiLI0连续函数0t-RI0跃变0t返 回 页下 页- ti (t) = I e L / Rt ³ 0L0响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关; t = L/

23、R称为一阶RL电令间常数 = 伏× 秒 = 秒t = L = 亨 = 韦安× 欧安× 欧R时间常数t欧的大小反映了电路过渡过程时间的长短tt大过渡过程时间长小过渡过程时间短电流初值iL(0)一定：起始能量大放电过程消耗能量小L大R小W=Li 2/2LP=Ri2放电慢，t大返 回 页下 页物理含义电感不断能量被电阻吸收,能量关系直到全部消耗完毕。iiL(0+)=I0设+uLR1 LI 2L电感放出能量：02电阻吸收（消耗）能量：¥- tò¥WR =2i Rdtò=(I0e) Rdt2L / R001L / R- 2t - 2t

24、 ¥=2LIò= I R(-= I 2 R¥2e) |etdRCL / R0002020返 回上页下页例1t=0时,打开开关S，求uv。电压表量程：50ViL (0+) = iL(0) = 1 AR=10WS(t=0) 解iL+uV= e- t /tt ³ 0iVR10VL=4HLV10kWt =L=4= 4 ´10-4 sR + RV10000u= -R i = -10000e-2500tt ³ 0RVVLiLuV (0+)= 10000V+10VL造成V损坏。-返 回 页下页t=0时,开关S由12，求电感电压和电流及开关两端电压u

25、12。例2i2WS(t=0)t >0+24V3W12iL6H6W+uL4W6H4W246) = i (0 ) =´= 2Ai (0+-4 + 2 + 3/ 63 + 6LLt = L = 6 = 1sR = 3 + (2 + 4) / 6 = 6WR6返 回上页下 页解6W+uL2WS(t=0)i+24V3W1t >06W2iL+uL6H4W6H4W= L diLi = 2e- t A= -12e-t Vt ³ 0uLLdt= 24 + 4 ´ iL= 24 + 4e-t Vu122返回 页下页6W+uL小结一阶电路的零输入响应是由储能的初值引起的响应

26、,函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减uC (0+) = uC (0)iL(0+)= iL(0)RC电路RL电路返 回 页下 页- ty(t) = y(0+ )e t小结衰减快慢取决于时间常数tRC电路RL电路R为与动态相连的一端口电路的等效电阻。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。一阶电路的零输入响应和初始值成正比， 称为零输入线性。返 回 页下 页t = L/Rt = R C7.3一阶电路的零状态响应初始能量为零，由t >0电动态路中外加激励作用所产生的响应。非齐次线性常微分方程1.RC电路的零状态响应RC duC+ u= UR方程：S(t=0)CSdt齐次方程通解解答形式为：=

27、u¢ + u¢uCCCu(0)=0C非齐次方程特解返 回 页下页+ uR +USiuCC零状态响应u¢特解（强制分量）CRC duCu¢ = U+ u= U的特解CSdtCS与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解u¢通解（自由分量，暂态分量）C- tduu¢ = Ae+ u= 0RCC dt的通解RCCC变化规律由电路参数和结构决定返 回上页下 页t-u (t) = u¢ + u¢ = U+ AeRCCCCS由初始条件 uC (0+)=0uC (0+)=A+US= 0常数 A定A= USduU- t i = CC

28、 =e SRRC从以上式子可以得出：dt返 回 页下 页- t-tu = U -U e RC= U (1- e RC )(t ³ 0)CSSS表明电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分：+uCuC“USiUS跃变Rt0-USut0C连续函数返 回 页下页暂态分量（自由分量）稳态分量（强制分量）响应变化的快慢，由时间常数tRC决定；t大，充电慢，t小充电就快。+R响应与外加激励成线性关系；UCS-能量关系电源提供能量：¥òU idt = U q = CU 2SSS0- t U¥¥RC )2 R d t电阻消耗能量： 

29、2;i R d t =ò(S e2R001电容储存能量： 1 CU 2=CU 2S2S2表明电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。返 回 页下页t=0时,开关S闭合，已知 uC(0)=0，求(1)电容电压和电流,(2) uC80V时的充电时间t 。例500WS(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：t = RC = 500 ´10-5 = 5´10-3 s 解+uC-t-u= U(1 - e RC ) = 100(1-e- 200t )V(t ³ 0)CSduU- t i = CC = 0.2e-200t Ae SRRCdt(

30、2)设经过t1秒，uC80V80 =100(1-e) ® t= 8.045ms-200t11返 回 页下页+i100V 10mF2. RL电路的零状态响应S(t=0)iLR已知i (0)=0，电路方程为：L+ u +diLR+ RiL = USuULLLSdt= USR= i¢ + i¢- t+ Ae LiLLLRUSiLiL (0+ ) = 0 ® A = - RU SRt0返回 页下 页US- Rti =(1- e L)LRS(t=0)iLR+ u +uL+RUSLuLdi- RtU= LL = U euLSLSdtt0返 回 页下页US- Rti

31、=(1- e L)LR例1 t=0时,开关S打开，求t >0后iL、uL的变化规律。80WR+10At > 0+10AReq2HuLSiL 解这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：= 80 + 200 / 300 = 200Reqt = L / R= 2 / 200 = 0.01seqi (t) =10(1- e-100t )Ai (¥) = 10ALe-100tLu (t) = 10 ´ R= 2000e-100t V返 回Leq 页下 页200W300W2HuLiLt=0开关k打开，求t >0后iL、uL及电流源的电压。例25W10W+uL+u2

32、At > 02HiLK10WuL这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有： 解= 10 +10 = 20WU0= 2 ´10 = 20ViL (¥) = U0 / Req= 1AReqt = L / R= 2 / 20 = 0.1seq(1- e(t) = U e= 20e-10t V-u10ti (t) =-10t)AL0Lu = 5I+10i + u= (20 +10e-10t )V返 回SLL 页下 页+ReqUo2HiL7.4一阶电路的应电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。以RC电路为例，电路微分方程：1.应S(t=0) RRC

33、duC+ u= UCSdt+解答为： u(t) = u' +u"uCCCCuC'= US特解通解- tt = RCu¢ = AetC返 回 页下 页+ uR USCi应uC (0)=U0由初始值定A A=U0 - USuC (0+)=A+US=U0自由分量(暂态解)强制分量(稳态解)返 回 页下 页- t- tu = U + Ae t= U + (U - U )e tt ³ 0CSS0S2.应的两种分解方式着眼于电路的两种工作状态物理概念清晰应 =强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)uc稳态解uC'USU0uct"uC0U0 -

34、US暂态解返 回 页下 页便于叠加计算着眼于因果关系零状态响应零输入响应零输入响应S(t=0) R=零状态响应 +S(t=0) R应S(t=0) R+US+CuC (0)=U0uC (0)=U0uC (0)= 0返 回 页下 页+USC+USC- t- tu= U (1 - e t ) + U e t(t ³ 0)CS0零输入响应零状态响应uc应USU0零状态响应t零输入响应0返 回 页下 页- t- tu= U (1- e t ) + U e t(t ³ 0)CS0例1t=0 时,开关k打开，求t >0后的iL、uL。 解这是RL电路应问题，(0+ )8W+ S(t

35、=0) 24V4W(0- ) = i有： iiLLL+= 24 / 4 = 6At = L / R = 0.6/12 =1/ 20suL¢i (t) = 6e-20tA零输入响应：L零状态响应： i ²(t) = 24 (1- e-20t )AL12i (t) =+ 2(1- e-20t ) = 2 + 4e-20t A-6e20t应：L返 回 页下页0.6HiL (¥) = 24 /12 = 2A或求出稳态分量：应：代入初值有：i (t) = 2 + Ae-20t AL62AA=4t=0时,开关K闭合，求t >0后的iC、uC及电例2(0- ) =1V,C

36、 =1F)流源两端的电压。(uC这是RC电路应问题，有：稳态分量： 解1W1W1W+10V1A+uuu (¥) = 10 +1 = 11VCC返 回上页下 页t = RC = (1+1) ´1 = 2s应： u (t) =11 + Ae-0.5t VC1W1W1Wu (t) =11 -10e-0.5t V+10V1A+CuuCdui (t) = 5e-0.5t A C dtCu(t) =1´1+1´ i+ u=12 - 5e-0.5t VCC返 回上页下 页3.三要素法分析一阶电路一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程：a d f特解+ bf = cdtt

37、f ¢(t) + Ae-t+ Af (t) =其解答一般形式为：f (0+ ) = f ¢(t)令 t = 0+0+A = f (0+ ) - f ¢(t)0+返 回 页下 页f ¢(t) = f ¢(0+ ) = f (¥)Af (¥) + f (0+ ) - f (¥)e直流激励时：- tf (t) =tf (¥)用t¥的稳态电路求解用0+等效电路求解ì稳态解初始值时间常数三要素ïf (0)í+ïî t注意 分析一阶电路问题转为求解电路的三个

38、要素的问题。返 回上页下页- tf (t) = f ¢(t) + f (0+ ) - f ¢(0+ )e t已知：t=0的uC(t)例1开关，求换uc(V)2+1A2W3F1WuC-0.667uC (0+ ) = uC (0-) = 2Vt0C = 2 ´ 3 = 2 su (¥) = (2 /1) ´1 = 0.667Vt = RCeq3- tu (t) = u(¥) +u(0 ) - u(¥)et+CCCCu = 0.667 + (2 - 0.667)e-0.5t= 0.667 + 1.33e-0.5t t ³ 0C返 回 页下 页解t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL、i1、i2例2 解5Wi15W三要素为：i2iL (0+ ) = iL (0- ) =10 / 5 = 2AiL (¥) = 10 / 5 + 20 / 5 = 6At = L / R = 0.6 /(5/ 5) =1/ 5s- ti (t) = i (¥) + i (0) - i (¥)et三要素公式+LL6)eLLt ³ 0i (t) = 6 + (2 -= 6 - 4e-5t-5tLdiu (t) = L L = 0.5 ´ (-4e-5t ) &#