DSP-6-2014(新)

1、第六章第六章 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计数字信号处理数字信号处理 Digital Signal Processing中国民航大学 航空自动化学院2数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计本章主要内容本章主要内容Q数字滤波器的数字滤波器的基本概念基本概念Q模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计Q用用脉冲响应不变法脉冲响应不变法设计设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器Q用用双线性变换法设计双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器3数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING

2、第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 滤波器滤波器，顾名思义，是，顾名思义，是指能够使输入信号中某些频率分指能够使输入信号中某些频率分量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。量充分地衰减，同时保留那些需要的频率分量的一类系统。 根据对不同信号的处理，滤波器可分为：根据对不同信号的处理，滤波器可分为：p模拟滤波器模拟滤波器由硬件电路来实现；由硬件电路来实现；RCRR1RFC+-+p数字滤波器数字滤波器把输入序列通过一定的运算变换成所要求把输入序列通过一定的运算变换成所要求的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。的输出序列，实质上就是一个离散时间系统。 6.1引言4数字信号处理

3、数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计1.经典滤波器和现代滤波器经典滤波器和现代滤波器p经典滤波器经典滤波器 信号中有用和无用成分，各自占有不同的频带，通过一信号中有用和无用成分，各自占有不同的频带，通过一个线性系统可将个线性系统可将v(n)有效去除。有效去除。)()()( jjjeHeXeY 加法性噪声)()()(nvnsnx 6.1 数字滤波器的基本概念5数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计p现代滤波器现代滤波器 信号和噪声频谱占据同一频

4、段信号和噪声频谱占据同一频段，靠经典的滤波方法难以，靠经典的滤波方法难以去除噪声。去除噪声。 目标：目标：是是从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特从含有噪声的数据记录中估计出信号的某些特征或信号本身。征或信号本身。 种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器。滤波器。乘法性噪声)()()(nvnsnx 卷积性噪声)(*)()(nvnsnx 6.1 数字滤波器的基本概念6数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 线性时不变系统的系统函数线性时不变系统的系

5、统函数若上式中，除若上式中，除a0外，其余外，其余ak均为零，则均为零，则其其z反变换反变换 N0kkkM0rrr)(zazbzH M0rrr01)(zbazH M0rr0)(1)(rnbanh 长度为长度为M+1的有限长序列的有限长序列 6.1 数字滤波器的基本概念7数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 此时的系统称为有限长单位脉冲响应（此时的系统称为有限长单位脉冲响应（FIR，Finite Impulse Response）系统。）系统。 反之，反之，h(n)是无限长序列，系统称为无限长单位脉冲响是无限长序

6、列，系统称为无限长单位脉冲响应（应（IIR，Infinite Impulse Response）系统。）系统。3. .低通、高通、带通、带阻滤波器低通、高通、带通、带阻滤波器 从功能上，数字滤波器可分为低通从功能上，数字滤波器可分为低通（LP，Low Pass）、高通（）、高通（HP，High Pass）、带通（）、带通（BP，Band Pass）和带阻（和带阻（BS，Band Stop）四种类型。）四种类型。6.1 数字滤波器的基本概念8数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计pAFpDF注意：数字滤波器与模拟滤

7、波器的区别注意：数字滤波器与模拟滤波器的区别 数字滤波器的频率响应都是以数字滤波器的频率响应都是以2为周期的，滤波器的为周期的，滤波器的低通频带处于低通频带处于2的整数倍处，而高频频带处于的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍的奇数倍附近。附近。6.1 数字滤波器的基本概念9数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.1.2 性能指标描述性能指标描述 滤波器的指标滤波器的指标通常在频域给出通常在频域给出。数字滤波器的频响一般。数字滤波器的频响一般为复函数，表示为为复函数，表示为其中，其中， 称为幅频响应，称为幅频响应，

8、 称为相频响应。称为相频响应。)(| )(|)( jjjeeHeH | )(| jeH)( 幅频响应幅频响应: :表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况；表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况；相频响应相频响应: :反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况6.1 数字滤波器的基本概念10数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计过渡带过渡带低通数字滤波器的幅频特性技术指标低通数字滤波器的幅频特性技术指标|H(ejw)|通带通带阻带阻带 21- 1 p0.70701c

9、S 指标说明：指标说明：p：通带截止频率，通带频率范围：通带截止频率，通带频率范围：0 p ；S ：阻带截止频率，阻带频率范围：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； c ：3dB截止频率；截止频率； P：通带最大衰减；：通带最大衰减； S：阻带最小衰减：阻带最小衰减 1：通带内幅度响应误差范围；通带内幅度响应误差范围； 2：阻带内幅度响应误差范围；阻带内幅度响应误差范围；6.1 数字滤波器的基本概念11数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 通带内和阻带内允许的衰减一般用通带内和阻带内允许的衰减一般用dBdB数表示

10、，数表示，p和和s分别定分别定义为：义为：通带（允许的）最大衰减| )(|1lg2011lg20p1pjeH| )(|1lg201lg20s2sjeH阻带（应达到的）最小衰减当幅度衰减到当幅度衰减到 2/22/2倍时，所对应频率倍时，所对应频率 c，此时此时 P 3dB，称称c为为3dB截止频率。截止频率。6.1 数字滤波器的基本概念12数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.1.3 数字滤波器设计方法数字滤波器设计方法IIR滤波器设计方法滤波器设计方法： (1)先设计模拟滤波器先设计模拟滤波器(AF)的传输函

11、数的传输函数Ha(s)；然后按某种变；然后按某种变换，将换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 (2) 借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计；借助计算机辅助设计在频域或时域直接进行设计； FIR滤波器设计方法滤波器设计方法 (1)经常采用的是经常采用的是窗函数设计法窗函数设计法和和频率采样法频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。6.1 数字滤波器的基本概念13数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 设计一

12、个数字滤波器一般包括三个基本步骤：设计一个数字滤波器一般包括三个基本步骤： 1. 确定所设计滤波器的技术指标。确定所设计滤波器的技术指标。 2.设计一个设计一个H(z)，使，使 3.用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。用一个有限精度的算法去实现这个系统函数。 sspsp,f LP/HPssps2s1p2p1,f BP/BS| )(|jeH满足给定的技满足给定的技术要求术要求没有考虑相位没有考虑相位（1）零极点位置累试）零极点位置累试（2）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论（3）最优化设计）最优化设计6.1 数字滤波器的基本概念14数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNA

13、L PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计为何要设计模拟低通滤波器？为何要设计模拟低通滤波器？p由模拟滤波器设计数字滤波器，必须由模拟滤波器设计数字滤波器，必须先将数字滤波器的设先将数字滤波器的设计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标计技术指标转换成模拟低通滤波器的设计指标，设计出模设计出模拟低通滤波器的原型，拟低通滤波器的原型，然后进行映射（原型变换）。然后进行映射（原型变换）。pDF 是数字信号处理中极为重要的应用，但是数字信号处理中极为重要的应用，但 DF 是近几十是近几十年发展起来的，它在很多方面要使用模拟滤波器的概念和年发展起来的，它在很多方面要使用模拟滤

14、波器的概念和知识；知识；p模拟滤波器本身也很有用。模拟滤波器本身也很有用。p因此，在研究因此，在研究 DF 之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和之前，我们先讨论模拟滤波器的特性和用用逼近方法逼近方法求其系统函数。求其系统函数。 为什么设计滤波器必须用逼近的方法？为什么设计滤波器必须用逼近的方法？ 这是由于滤波器的这是由于滤波器的理想特性是不能实现的理想特性是不能实现的，而必须用逼近而必须用逼近的方法。的方法。 6.2 模拟滤波器的设计15数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模

15、拟低通滤波器的设计指标及逼近方法(1)模拟低通滤波器的设计指标有：模拟低通滤波器的设计指标有：p、s、p、s其中：其中：p和和s分别称为分别称为通带截止频率通带截止频率和和阻带截止频率阻带截止频率; p是通带是通带(=0p)中的中的最大衰减系数最大衰减系数， s是阻带是阻带s的的最小衰减系数最小衰减系数，|Ha(j )|0.707 p s通带通带阻带阻带过过渡渡带带10 C p s通带通带过过渡渡带带阻带阻带 (dB) 衰减衰减 p S 06.2 模拟滤波器的设计16数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计(2)

16、用模拟滤波器逼近方法设计数字用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤滤波器步骤：Q给出模拟滤波器的技术指标给出模拟滤波器的技术指标 ；Q设计设计传输函数传输函数 Ha(s)：使其：使其幅度平方函数幅度平方函数满足给定满足给定指标指标 p和和 s，|Ha(j )|2 = Ha(j ) Ha*(j ) = Ha(s) Ha(-s)|S=j Q确定确定Ha(s)：系统系统Ha(s)应是应是稳定稳定的系统，因此，的系统，因此，极极点点应位于应位于S 左半平面内左半平面内。 6.2 模拟滤波器的设计17数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤

17、波器设计数字滤波器设计c: 3dB 截止频率，单位为截止频率，单位为 rad/sN : 待确定的滤波器阶数待确定的滤波器阶数特点：特点：（1）3dB 点及其不变性；点及其不变性；（2）单调下降性；）单调下降性；（3）最大平坦性；）最大平坦性；Q巴特沃思巴特沃思 (Butterworth) 滤波器的幅度平方函数表滤波器的幅度平方函数表达式为：达式为： 2211()(/)NcH j Butterworth 低通滤波器的设计方法低通滤波器的设计方法6.2 模拟滤波器的设计18数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计因此，

18、称因此，称 c 为为 3dB 带宽（或半功率点截止频率）带宽（或半功率点截止频率）3dB 点与点与 N 值无关，称为值无关，称为 3dB 不变性。不变性。2211()NcH j Q3dB 带宽带宽 22121101032 c |H(j)|lg |H(j)|lgdB c10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅频特性和阶数的关系巴特沃思幅频特性和阶数的关系6.2 模拟滤波器的设计19数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计Q 最平坦函数最平坦函数因此因此 B 型特性也称为最平坦特性型特性也称为最平坦特性

19、Filter。Q N 的影响的影响 N 越大，越大，B 型滤波器的特性型滤波器的特性 越接近理想的矩行形状越接近理想的矩行形状(越陡峭越陡峭)。 有限平面只有极点有限平面只有极点。 零点全部在零点全部在 s=。 （“全极点型全极点型” 滤波器滤波器）22010 |H(j )| |H(j )| 当当，； 当当，220011cccc|H(j)| N |H(j)|N 通通带带内内： ； 随随着着的的增增大大而而趋趋于于平平坦坦阻阻带带内内：； 随随着着 的的增增大大而而快快速速下下降降c10|H(j)|0.707N=2N=4N=6巴特沃思幅频特性和阶数的关系6.2 模拟滤波器的设计20数字信号处理数

20、字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计将幅度平方函数将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数：21( )()1()aaNcHs Hssj此式表明幅度平方函数有此式表明幅度平方函数有2N个个极点，极点极点，极点sk用下式表示：用下式表示：11 21()222( 1)()kjNNkccsje 其中，其中，k=0,1,(2N-1)2N个极点等间隔分布在半径为个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间的圆上，间隔是隔是 /Nrad，左半平面，左半平面N个点构成个点构成Ha(s)传输传输函数，右半平面函数，右半平面N个点构成个点

21、构成Ha(-s)传输函数。传输函数。10( )()NcaNkkHsssHa(s)表示为：表示为：6.2 模拟滤波器的设计21数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对归一化。采用对3dB截止频率截止频率c归一化归一化，归一化后的，归一化后的Ha(s)表示表示为为 ：101( )()aNkkccHsss101()()aNkkHppp只要知道滤波器的阶数只要知道滤波器的阶数N，可得归一化的传，可得归一

22、化的传输函数，去归一化输函数，去归一化p=j=s/ c ,可得到实际的可得到实际的传输函数传输函数Ha(s)令令s/ c = j / c，=/c，称为称为归一化频率归一化频率，令，令p=j，p称为称为归一化复归一化复变量变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：归一化巴特沃斯的传输函数为：归一化极点归一化极点pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。6.2 模拟滤波器的设计22数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计巴特沃斯滤波器的设计步骤巴特沃斯滤波器的设计步骤(1) 根据给出的技术指标根据给出的技术指标

23、 P、 S、 p、 S，求滤波器阶数，求滤波器阶数N221()1()aNcHj/10/10101()101psapNas/ 10/ 10221()101()10psapNcaNsc/10/10221()101()10psapNcaNsc1010101/ ,101psaspspspak 设设:lglgspspkN 用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分，可能有小数部分，应取大于等于应取大于等于N的最小整数的最小整数。20lg ()20lg ()psjpjsHedBHedB10lg|H(jp)|2/1 0/1 01 01( )1 01psap Nas6.2 模拟滤波器的设计23数字信号处理数字信

24、号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计(2) 求归一化极点求归一化极点pk，确定归一化传输函数，确定归一化传输函数Ha(p)Q 根据求极点公式：根据求极点公式： pk=ej (+(2k+1)/2N)，k=0,1,N-1。再带入：。再带入：Q 或根据阶数或根据阶数N，查表查表P157 表表6.2.1得到极点和归一化传输函数得到极点和归一化传输函数10 . 1210 . 12( 1 01 )( 1 01 )psaNcpaNcs阻带指标有富裕阻带指标有富裕度度10. 1210. 12( 101 )( 101 )psaNcpaNcs通带指

25、标有富裕通带指标有富裕度度(3)求求3dB截止频率截止频率 c由由:|H(j )|2=1/1+( / c)2N， = p时时：1+( p/ c)2N=10 p/10。101()()aNkkHppp6.2 模拟滤波器的设计24数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计(4) 将将Ha(p)去归一化，去归一化，得到实际的滤波器传输函数得到实际的滤波器传输函数Ha(s) 将将p=s/ c，代入代入Ha(p)中得：中得：Ha(s)=Ha(p)| p=s/ c。 表表 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数

26、表示两极点表示两极点P1、PN-26.2 模拟滤波器的设计25数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.2 模拟滤波器的设计26数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.2 模拟滤波器的设计27数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计【例例】已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减，通带最大衰减p=2dB，阻，阻带截止频率带截止频率f

27、s=12kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。指标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解：(1) 设计模拟滤波器的指标为设计模拟滤波器的指标为 p=2 fp= 104(rad/s)， ap=2dB s=2 fs=2.4 104(rad/s)， as=30dB (2) 确定滤波器的阶数确定滤波器的阶数N0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g2 . 4psas pass ppkffNN0 .10 .11 010 .0 2 4 21 0122 .42l g

28、0 .0 2 4 24 .2 5 ,5l g 2 .4psas pass ppkffNN0 . 10 . 11 010 . 0 2 4 21 0122 . 42l g 0 . 0 2 4 24 . 2 5 ,5l g 2 . 4psas pass ppkffNN取取N为为5lglgspspkN =6.2 模拟滤波器的设计28数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计最简便的方法：由最简便的方法：由N=5，直接查表得到：，直接查表得到： 极点形式：极点形式：-0.3090j0.9511； -0.8090j0.5878;

29、 -1.0000 分母多项式的形式：分母多项式的形式： 分母因式的形式：分母因式的形式：(3) 求极点求极点3455016523754,jjjjjseseseseseP03455016523754,jjjjjseseseseseP1P23455016523754,jjjjjses eseseseP33455016523754,jjjjjseseseseseP43455016523754,jjjjjsesesesese代入归一化传输函数公式代入归一化传输函数公式401( )()akkHppp5432432101()aHppb pb pb pb pb) 1)( 1618. 1)( 1618. 0(

30、1)(1) (2240 pppppp ppHakk) 1)(1618. 1)(1618. 0(1)(1)(2240 ppppppppHakk6.2 模拟滤波器的设计29数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计(4) 将将Ha(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB截止频率截止频率c10 .1210 .12(1 01 )25 .2 7 5 5/(1 01 )21 0 .5 2 5/psaNcpaNsck r a dsk r a ds 10.1210.12(101)2 5.2755/(101)2 10.525/psaN

31、cpaNsckrad skrad s 5554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsbb0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361(5) 将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：6.2 模拟滤波器的设计30数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计1.变换原理变换原理 数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)模仿模拟滤波模仿模拟滤波器的冲激响应器的冲激响应ha(t)，使，使h(n)等于等于ha(t)的采样值的采样值

32、，即，即h(n)ha(nT)。 设模拟滤波器的传输函数设模拟滤波器的传输函数Ha(s)只有单阶极点，只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数，则且分母的阶数高于分子阶数，则其拉普拉斯反变换其拉普拉斯反变换 NiiiassAsH1)( NitsiatueAthi1)()(6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器31数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 对对ha(t)采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应采样，得到数字滤波器的单位脉冲响应h(n)为为 对对h(n)取取z变换，即得到数字滤波器的系统函数变换，即得到

33、数字滤波器的系统函数 可见，可见，s平面的极点平面的极点 si 映射到映射到z平面的极点平面的极点 ， 而对应系数不变。而对应系数不变。1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT NiTsizeAzHi111)(Tsie1( )NiaiiAHsss6.3 脉冲响应不变法32数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计2332)(2 ssssHa)(zHs1 . 0 T21112332)(2 ssssssHa11 s22 s12 . 011 . 01111)( zezezH例例6-5 利用脉冲响应不变法

34、将模拟滤波器利用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器变换为数字滤波器 ，解：模拟滤波器的传输函数解：模拟滤波器的传输函数采样周期采样周期 。 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器33数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计)(tha dtenTtthdtethsHnstastaa)()()()( nnenThdtenTtthnsTasta)()()( naanTtthth)()()( )(nh1）h(n)的的z变换与变换与 的拉普拉斯变换之间的关系的拉普拉斯变换之间的关系设模拟滤波器的单位冲激响应

35、设模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)经理想采样后为经理想采样后为 ( )ah t则则)()(sHzHaezsTsTzennznhzH)()(6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器34数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：变换之间的映射关系：模拟信号模拟信号ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(j)和其采样信号和其采样信号 的傅里叶变的傅里叶变换换 之间的关系满足：之间的关系满足：结论：结论：采样信号的拉氏变换是

36、原模拟信号的拉氏变换在采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿平面沿虚轴以虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；为周期进行的周期延拓；( )aht( )ah t1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT1()()1()()1()()sTaaskaaskaszekHjHjj kTHsHsj kTHzHsj kT()aHj将将s=j代入上式，得：代入上式，得：6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器35数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波

37、器设计 令令 ， 代入上式，得代入上式，得因此因此讨论：讨论：S的实部的实部（1）=0，r=1，表明，表明s平面平面虚轴虚轴映射为映射为z平面的平面的单单位圆位圆。 jre z js TjTjeere Ter T S 平面Z 平面 j Im 1Re0s平面与z平面的映射关系6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器36数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计2) 当当0 时，时，r1，即，即 S 平面右半平面映射到平面右半平面映射到 Z 平面平面的单位圆之外，的单位圆之外，系统不稳定系统不稳定；S 平面Z 平

38、面3）当）当0 时，时，r1， 即即 S 平面左半平面映射到平面左半平面映射到 Z 平面平面的单位圆之内，系统稳定；的单位圆之内，系统稳定；S 平面Z 平面6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器37数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计4）平行于虚轴）平行于虚轴 j 的线段的线段 S1=1 + j1 映射为映射为 Z 平面上半径为平面上半径为 1Tre 的圆周的圆周。 11Tre S 平面平面Z 平面平面6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器38数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIG

39、NAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计（3）由于）由于=T ：0 /T ：0 s平面上每一条宽为2/T的横条，都将重叠的映射到整个z平面上。脉冲响应不变法不是从s平面到z平面的简单代数映射关系。 S的虚部的虚部6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器39数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 根据时域采样理论，采样序列根据时域采样理论，采样序列h(n)的的z变换与模变换与模拟信号拟信号ha(t)的拉普拉斯变换之间满足如下关系的拉普拉斯变换之间满足如下关系 将将 和和 代入

40、得数字滤波器的频率响应代入得数字滤波器的频率响应 数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓。拓。 maaezmTjsHTsHzHsT)2(1)(| )( jsT kajkTjTjHTeH)2(1)( 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器40数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 脉冲响应不变法中的频率混叠现象脉冲响应不变法中的频率混叠现象6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器41数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSI

41、NG第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于只有当模拟滤波器的频响是带限的，且带限于折叠频率以内折叠频率以内，即即有有 此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器此时，数字滤波器的频率响应重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。的频率响应而不产生混叠失真。()0,|aHjT 1()(),|jaH eHjTT6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器42数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都但是，任何一个实际的模拟滤波器，

42、其频响都不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠不可能是真正带限的，这就不可避免的会产生混叠失真。失真。 答：当模拟滤波器的频响在折叠频率以上处衰减越大时，混叠失真就越小。 问题：要求混叠失真小，对模拟滤波器的频响有何要求？ 混叠混叠TTfs )(6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器43数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计优点：优点： 1）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟）数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的冲激响应，所以滤波器的冲激响应，所以时域逼近良好时域逼近良好; 2）频率变化

43、是线性关系频率变化是线性关系=T，频率特性形，频率特性形状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）状基本上与模拟滤波器相同（如果混叠不严重）;缺点：缺点： 会产生会产生频率混叠现象频率混叠现象。只适合带限滤波器（如。只适合带限滤波器（如低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤低通、带通滤波器）的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。波器的设计。6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器44数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计【例例】 已知模拟滤波器的传输函数已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为为用脉冲响

44、应不变法将用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数转换成数字滤波器的系统函数H(z)解：解：首先将首先将Ha(s)写成部分分式：写成部分分式：极点为：极点为：根据：根据： ，H(z)的极点为的极点为：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj sTze1212,s Ts Tzeze6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器45数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING

45、第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计按照：按照： ，经过整理，得到，经过整理，得到当：当：T=1s时用时用H1(z)表示，表示，T=0.1s时用时用H2(z)表示，则：表示，则：将将Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：111212120 . 3 2 7 6()11 . 0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz111212120 . 3 2 7 6()11 .

46、0 3 2 80 . 2 4 70 . 0 4 8 5()11 . 9 3 0 70 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz26449. 011T3224. 0ze)T7772. 0cos(z1z )T7772. 0sin(3224. 0 .e2)z(H-+2-=11( )1iNis TiAH zez6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器46数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计很轻的混很轻的混叠现象叠现象严重的混严重的混叠现象叠现象6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器47数字信号处理数字信

47、号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计例例 利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤利用脉冲响应不变法设计一个数字巴特沃思低通滤波器，通带截止频率波器，通带截止频率fp=0.1kHz，通带最大衰减，通带最大衰减Rp=1dB，阻带截止频率，阻带截止频率fs=0.3kHz，阻带最小衰减，阻带最小衰减Rs=10dB。研究不同采样频率对所设计数字滤波器。研究不同采样频率对所设计数字滤波器频率响应的影响。设采样频率频率响应的影响。设采样频率fs分别取分别取1kHz，2kHz，4kHz。解解 MATLAB部分程序如下：部分程序如下：wp=

48、2*pi*100;ws=2*pi*300;Rp=1;Rs=10;n,wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=butter(n,wn,s)6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器48数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计%求模拟滤波器的频率响应求模拟滤波器的频率响应db,mag,pha,w=freqs_m(b,a,500*2*pi);plot(w/(2*pi),db,LineWidth,2,Color,k);axis(0,500,-20,1);hold on%脉冲响应不变法脉冲响应不变法f

49、s=1000;bz,az=impinvar(b,a,fs);%求数字滤波器的频率响应求数字滤波器的频率响应db,mag,pha,grd,w=freqz_m(bz,az);plot(0.5*fs*w/pi,db, r);axis(0,500,-20,1);hold off6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器49数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器50数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计

50、数字滤波器设计 脉冲响应不变法的主要缺点脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。产生频率谱混迭现象。 原因原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率模拟低通的最高频率超过了折叠频率 /T，数，数字化后在字化后在w= 形成频谱混叠现象。形成频谱混叠现象。 解决方法：解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到频率范围压缩到/T 之间，而后再用之间，而后再用 Z=eST 转换到转换到 Z 平面上。平面上。 6.4 双线性变换法双线性变换法6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器51数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PR

51、OCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 先将先将s平面压缩成平面压缩成s1平面上一个宽度为平面上一个宽度为2/T的的水平带状区域，水平带状区域，然后通过然后通过z=es1T将这个带状区域映将这个带状区域映射到整个射到整个z平面平面，实现实现s平面到平面到z平面的单值映射。平面的单值映射。6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器52数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 将将s平面的虚轴变换到平面的虚轴变换到s1平面虚轴平面虚轴/T之间之间 延拓到整个延拓到整个s平面和平面和s1平面，令平

52、面，令 ， ，则得则得221TtgT 1111122122sin2cos222TTjjTTjjjTTeeTeTej js11 js111122222s Ts Ts Ts TeeTee112 11s Ts TeTes6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器53数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计Tsez1 112 11zsTzTsTseeTs11112 sTsTz /2/2或 再将再将s1平面映射到平面映射到z平面，应用平面，应用 ,从而实现了从而实现了s平面平面到到z平面的单值映射。平面的单值映射。 这种这

53、种s平面单值映射为平面单值映射为z平面的映射关系称作平面的映射关系称作双线性变换法双线性变换法6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器54数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相用双线性变换法设计数字滤波器时，在得到相应模拟滤波器的系统函数应模拟滤波器的系统函数Ha(s)后，后，只要将相应的变只要将相应的变换关系代入换关系代入Ha(s)，即可得到数字滤波器的系统函数即可得到数字滤波器的系统函数11z1z12a| )()z( TssHH6.4用双线性变换法设计IIR数字低

54、通滤波器55数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 s平面上平面上与与z平面的平面的成成单值映射单值映射非线性正切非线性正切关系（关系（可以避免混叠可以避免混叠），在零频附近，），在零频附近，和和变换变换关系近似于线性，关系近似于线性，随着随着的增加，表现出严重非线的增加，表现出严重非线性性 （频率失真频率失真）。）。22221 tgTTtgT 6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器56数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计优

55、点： 消除了频率混叠现象，可适用于低通、高通、带通或带阻等各种类型数字滤波器的设计。缺点： 与之间呈非线性关系，引入了非线性频率失真。6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器57数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 由频率之间的非线性变换关系引起。由频率之间的非线性变换关系引起。理想滤波器经双线性变换后幅频响应产生畸变理想滤波器经双线性变换后幅频响应产生畸变 6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器58数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器

56、设计数字滤波器设计6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器例例：已知已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求，求H(z)。解：解：1、用脉冲响应不变法时用脉冲响应不变法时，先确定极点：，先确定极点：s= a，则，则 2. 用双线性不变法时用双线性不变法时11)( zeazHaTT为采样间隔1111112) 2() 2()1 (112)()(11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS1111112) 2() 2()1 (112)() (11 zaTaTzaTzzTaaSHazHzzTS111121212112(1)()()12,22azsT zzH z H sazTTTT

57、1111212 12112(1)()()12,22azsTzzHzHsazTTTT其中：59数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器设设:a1000,T=0.001和和T=0.002，H1(z)和和H2(z)的归一化幅频的归一化幅频特性如图所示特性如图所示双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变法脉冲响应不变法模拟滤波器幅频特性模拟滤波器幅频特性250Hz500Hz存在混叠存在混叠不存在混叠，曲线形状差别大不存在混叠，曲线形状差别大60数字信号处理数字信号处理 DIGITAL

58、 SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器五、用模拟滤波器设计五、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器步骤数字低通滤波器步骤(1)确定数字低通滤波器的性能指标；确定数字低通滤波器的性能指标；(Wp，ap，Ws，aS)(2)确定相应模拟低通滤波器的性能指标；确定相应模拟低通滤波器的性能指标；o 脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： = W /To 双线性变换法：双线性变换法： =2/Ttan(W)预畸变；预畸变；(3)设计模拟低通滤波器的传输函数设计模拟低通滤波器的传输函数Ha(S)；(4)将将Ha(S) 转换成数字滤

59、波器系统函数转换成数字滤波器系统函数 H(z)；o 利用脉冲响应不变法设计时，应先确定利用脉冲响应不变法设计时，应先确定Ha(s)极点，按极点，按 Z=eST 映射极点，并根据映射极点，并根据P171页公式表示出页公式表示出H(z)。o 若利用双线性变换法，设采样间隔为若利用双线性变换法，设采样间隔为T，则，则, | )()(11112 zzTsasHzH61数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器例：例：要求设计一数字低通滤波器，指标为：在通带内频率低于要求设计一数字低

60、通滤波器，指标为：在通带内频率低于0.2 rad/s时，容许幅度时，容许幅度误差在误差在1dB以内；在频率以内；在频率0.3之间，阻带衰减大于之间，阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。分别用沃斯低通滤波器。分别用脉冲响应不变法脉冲响应不变法和和双线性变换法双线性变换法设计设计H(z)。 (dB)w11500.3 0.2 数字域指标图数字域指标图对应模拟域指标图对应模拟域指标图 (dB) 1150 s p62数字信号处理数字信号处理 DIGITAL SIGNAL PROCESSING第第6章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.4用双线性变换法设