测量误差及其处理的基本知识

1、第5章 测量误差及其处理的基本知识学习重点：测量误差的分类和偶然误差的性质、评定精度的指标、算术平均值及其中误差的计算。5.1测量误差概述测量误差的来源与分类一、 观测值及其误差测量获得的数据称为观测值，观测值与真值之差即为观测值的真误差： (=1、2、3)(5-1)二、 测量误差的来源产生测量误差的来源有以下三个方面：(1) 仪器性能的限制；(2) 观测者本身的限制；(3) 外界条件的影响。三、测量误差的分类根据对测量成果影响的性质，可将误差分为以下两类：(一)系统误差系统误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均相同，或按一定规律变化的误差。只要采取恰当的方法就可以将系

2、统误差的影响予以消除。（二）偶然误差偶然误差是指在相同的观测条件下对某量作一系列的观测，其数值和符号均不固定，或看上去没有一定规律的误差。偶然误差总是不可避免地存在于观测值中。偶然误差的特性偶然误差具有以下特性：1.在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；3.绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等；4.当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零，即5.2 评定精度的指标测量中最常用的评定精度的指标是中误差。一、 中误差设在相同条件下，对真值为的量作次观测，每次观测值为，其真误差： (=1，2，3)(5-5)则中误差的定义

3、公式为= (5-6)在使用中误差评定观测值的精度时，需要注意以下几点：(1) 观测值的精度必须相等，且个数较多。(2) 依据(5-6)式计算的中误差，代表一组等精度观测中每一个观测值的精度。(3) 中误差数值前应冠以“”号。 例如，有甲、乙两组各含10个观测值，其真误差分别为甲组：+3，-2，-4，+2，0，-4，+3，+2，-3，-1乙组： 0，-1，-7，+2，+1，+1，-8，0，+3，-1则依据(5-6)可计算两组观测值的中误差分别为： 即知，甲乙两组中每个观测值的精度可分别以和表示，而同一组中真误差的差异，只是偶然误差的反映。由于，所以，甲组观测值较乙组观测值的精度高。 二、 容许误

4、差通常规定以两倍(要求较严)或三倍(要求较宽)中误差作为偶然误差的容许误差或限差，即23m(5-9)三、 相对误差 相对误差就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）相除，再将分子化为1，分母取其整数后的比值(常以表示)，如下式所示。 = （5-10） 一般当误差大小与被量测量的大小之间存在比例关系时，适于采用相对误差作为衡量观测值精度的标准，例如距离测量。 观测值函数的中误差表述观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律称为误差传播定律。误差传播定律（一） 倍数函数 设有函数= (5-11)已知之中误差为，之中误差为：(5-12)例5-1在1:1000比例尺地形图上，量得、两点间的距离

5、=134.6mm，其中误差0.2mm，求、两点间的实地距离及其中误差。解：=1000134.6=134600mm=134.6m10000.2=200mm=0.2m则、两点间的实地距离可表达为=134.6m0.2m（二） 和差函数 设有函数(5-13)已知、之中误差分别为、， 之中误差为：(5-14)例5-2 设对某三角形观测了其中、两个角，测角中误差分别为，求按公式 计算的第三角的中误差。解：（三）线性函数设是一组独立观测值、之线性函数(、为常数)，即=(5-15)将根据观测值的中误差、求得函数z的中误差为 (5-16)例5-3 自点经点至点进行支水准往返测量（图5-4），设各段往返所测高差及

6、其中误差分别为 往测：=+2.426m4mm =1.574m6mm 返测：=+1.562m6mm =2.440m4mm 求点至点间的高差及其中误差。解： =+0.865m mm点至点间的实测高差可表达为=+0.865m5.1mm（四） 非线性函数非线性函数即一般函数，其形式为，) (5-17)式中(=1、2)为独立观测值，已知其中误差为(=1、2)，之中误差为。(5-18)式中，(=1、2)是函数对各变量所取的偏导数例5-4已测点间的平距=184.62m5cm，方位角=，求点坐标增量及其中误差。解点坐标增量：=153.73m先以分别对和求偏导数：=0.833； ；则cm 5.4算术平均值及其中

7、误差 算术平均值 设对某量进行次等精度观测，观测值为(=1、2)，其算术平均值为：(5-20) 一般情况下，被观测量的真值（如一个角度，一条边长的真值）是无法得知的，而用次观测值的算术平均值来代替其真值可以认为是很可靠的（即为其最或是值），理由如下。如(5-5)式所示，每个观测值都含有真误差： 对等式两端取和：两端同除以用： 根据偶然误差的第四特性 = 0可知，当观测值个数趋于无穷大时，上式左端的极限值为0；而右端的第一项即为观测值的算术平均值，即有 =上式说明，对一组等精度观测值而言，算术平均值就是被观测量真值的最可靠值，即最或是值观测值中误差令算术平均值与每个观测值的差值为观测值改正数：

8、(=1、2) 代入下式亦可计算出观测值的中误差：(5-25)(5-25)式即为利用观测值改正数计算观测值中误差的实用公式。算术平均值中误差据算术平均值的定义(5-19)式知又因均为等精度观测，具有相同的中误差，运用误差传播定律可得 即(5-26)上式可见，算术平均值中误差较观测值中误差缩小倍。例5-6对某段距离进行了六次等精度测量，求该距离的最或是值及其中误差。解：计算最或是值即算术平均值：表5-3 距离测量成果计算表观测次数观测值 /m /mm 123456348.367348.359348.364348.350348.366348.354+71+410+6649116100 3636=0=238 (2)计算观