DSP第4章习题解答

1、第第4章习题解答章习题解答1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘 ，每次复加 ，用它来计算512点的 ，问直接计算需要多少时间，用 运算需要多少时间。 5 s0.5 s DFT x nFFT解：(1)直接利用 计算： 复乘次数为 ，复加次数为 。 DFT2N1N N 复乘所需时间 626215 105 105121.31072TNs复加所需时间 6260.5 1010.5 1051251210.130816TNNs所以直接利用DFT 计算所需时间： 121.441536TTTs复乘所需时间 612625 10log25125 10log 5120.011522NTNs622620.5 10

2、log0.5 10512log 5120.002304TNNs复加所需时间 所以用 FFT 计算所需时间 120.013824TTTs(2) 利用 计算： 复乘次数为 ，复加次数为 。 FFT2log2NN2logNN2.已知 ， 是两个N点实序列 ， 的 值，今需要从 ， 求 ， 的值，为了提高运算效率，试用一个N点 运算一次完成。 X k Y k x n y nDFT X k Y k x n y nIFFT解： 由题意 X kDFT x nY kDFT y n，构造序列 Z kX kjY k对 作一次N点IFFT可得序列 Z k z n又根据DFT的线性性质 IDFT X kjIDFT Y

3、 k而 ， 都是实序列 x n y n ReImx nz ny nz n ( )z nIDFT Z k ( )z nIDFT Z kIDFT X kjY k x njy nB 设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 11( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njxn12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n则12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXkRe ( )( )epw nWkIm ( )(

4、 )opjw nWk1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epXkDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj3. N=16 时，画出基 -2 按时间抽取法及按频率抽取法的 FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。 解：自然序 倒位序0 0000 0000 00001 1000 80010 0100 40011 1100 1

5、20100 0010 20101 1010 100110 0110 6 10111 1110 14自然序 倒位序8 1000 0001 19 1001 1001 910 1010 0101 511 1011 1101 1312 1100 0011 313 1101 1011 1114 1110 0111 715 1111 1111 15(1) 按时间抽取的基-2FFT流图162 , 4LNL共有L = 4级蝶形运算，每级N / 2 = 8个蝶形运算每个蝶形的两节点距离为 ，即从第一级到第四级两节点距离分别为1，2，4，8。12m-2( )2rL mNWrkkLm系数的确定：即 的二进制左移位补

6、零rNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-1(2) 按频率抽取的基-2FFT流图 基本蝶形是DIT 蝶形的转置同样共有L = 4级蝶形运算，每级N / 2 = 8个蝶形运算每个蝶形的两节点距离为 ，即从第一级到第四级两节点距离分别为8，4，2，1。2L m12( )21rmNWrkkm系数的确定：即 的二进制左移位补零rNW1( )mXk1( )mXj( )mXk( )mXj-11j若不计乘及乘的运算量 则实际乘法次数为10次复数乘法216DFT256(-1)240NNN N直接计算需要次复数乘法 次复数加法22FFTlog322log64NNNN利用计算需要次复数乘法 次

7、复数加法9. 在下列说法中选择正确的结论。线性调频 z 变换 (CZT) 可以用来计算一个M点有限长序列 在 z 平面的实轴上各 点的 z 变换 ，使 h n kz H z(1) ， 为实数，1。,0,1,1kkzakN(2) ， 为实数，0 。,0,1,1kzak kN(3) (1)和(2)两者都行。(4) (1)和(2)两者都不行。即线性调频 z 变换不能计算 H (z) 在 z 为实数时的抽样。 10NnkknH zh n z其中抽样点须满足：0000, 0,1,1jkkkkzAWAWekN ， ， ， 为任意实数。 0A0W00对于说法（1），只需取 ， ， ，01A 10Wa0000

8、():kkCZTzzH z解：用于计算 平面上一段螺线作等分角的抽样点 上 的复频谱10100,1,.,1CZT()kkkzazakNH z即起点为 ，初始相角和角度差均为 ，为螺线的伸缩率，就形成了实轴上各抽样点 ,。因此可以用算法来计算 所以说法(1)是正确的00(2), ,()kkkzakAWzzzH z对于说法 则无法通过选择合适的 和，使之成为 平面上一段螺线作等分角后的一组抽样点。因此不能用CZT算法来计算各 点的 变换。13. 我们希望利用一个单位抽样响应点数N = 50 的有限冲激响应滤波器来过滤一串很长的数据。要求利用重叠保留法通过快速傅里叶变换来实现这种滤波器，为了做到这一

9、点，则：（1）输入各段必须重叠P个抽样点；（2）我们必须从每一段产生的输出中取出Q个抽样点，使这些从每一段得到的抽样连接在一起时，得到的序列就是所要求的滤波输出。假设输入的各段长度为100个抽样点，而离散傅里叶变换的长度为128点。进一步假设，圆周卷积的输出序列标号是从 n = 0到 n = 127，则（a）求P； （b）求Q； （c）求取出来的Q个点的起点和终点的标号，即确定从圆周卷积的128点中要取出哪些点，去和前一段的点衔接起来。解：（a）由于用重叠保留法，如果冲激响应 h n的点数为N点，则圆周卷积结果的前面的 1N 个点不代表线性卷积结果，故每段重叠点数P为 150 149PN （b）每段点数为 72128，但其中只有100个点是有效输入数据，其余28个点为补充的零值点