河北省衡水市重点中学2019届高三第七次抽考数学理试题

1、河北省衡水市重点中学2019届高三第七次抽考数学理试题Word版含解析数学理试题考试时间：120分钟满分：150分一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出口勺四个选项中，只有一项是符合要求日勺.1、若集合A=1,2,3,4,B=2,4,7,8,C=1,3,4,5,9,则集合（AUB）rC等于（D）A.2,4B.1,2,3,4C.2,4,7,8D.1,3,42、复数z1=3+i,z2=1-i,则复数亘在复平面内对应日勺点位于（A）Z2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若向量a=（1,2）,b=（3,4）,则（ab）（a+b）等于（B）A. 20B.(-1

2、0,30)C. 54D.(-8,24)B.D.5、已知命题555 pp pxXXRRRSsSxxx;222海姻朝:=xx RWBXX2xxx111000合出下列结论:命题“ p八q ”是真命题命题“p m q ”是真命题其中正确日勺是（B ）A.B.命题“ pAq”是假命题命题“p Mq”是假命题C.D.h34、右tana=z,且sinacota<0,则sina等于(A)A.C.要求4名水暖工都分配出去， 并每名水暖6.分配4名水暖工去3个不同日勺居民家里检查暖气管道工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配日勺方案共有（A.A3种B.A3A3种C.C2A3种D.C：C；A3

3、种422PFi : PF? =4:3,贝U APFE7、设F1,F2是椭圆4x_+L=1日勺两个焦点，P是椭圆上日勺点，且496日勺面积为.4.28、1 n若（x +）展开式日勺二项式系数之和为64,则展开式日勺常数项为B. 20C. 30D. 1209、数列an 满足a132=, an 1 = an2 1十 1(n w N +)，则 m =a11，+日勺整数部分是 a2014)BA. 0B. 1C. 2D. 310、在平面直角坐标系中，A=(x,y)x2+y2M“，B=(x,y)xM4,y之0,3x4y之0)则P=（x,y）|x=x1十x2,y=y1十丫2,（不，%卢A,（x2,'2

4、户B）所表示日勺区域日勺面积为（B. 6 二C. 12 二D. 18 二二.填空题：共25分.把答案填在答题卡中对应题号后日勺横线上11、如图，|_|O日勺两条弦AB,CD相交于圆内一点P,若PA=PB,PC=2,PD=8,OP=4,则该圆日勺半径长为*答案：4.212、曲线 C1 ： ,xF+cosBy =sin 二x=22-t（日为参数）上日勺点到曲线C2：«2（t为参数）上日勺点y=1t,2日勺最短离为答案：1、一一一一一22/19日勺最小值为13、设x,ywR,且xy#0,则(x+y)+、xy答案：16214、计算12d4x2dx日勺结果是0答案:JIk15、已知P(-2,3

5、)是函数y=图像上日勺点，Q是双曲线在第四象限这一分支上日勺动点，过点Q作k直线，使其与双曲线y=只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点C、D,另一条直线3_y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B.2则(1)O为坐标原点，三角形OCD日勺面积为(2)四边形ABCD面积日勺最小值为答案：(1)12(2)4816、已知数列4共有9项，其中，a1=a9=1,且对每个iw1,2,.,8,均有亘土w12,1,11.ai2(1)iES=+.+,则S日勺最小值为aa2%(2)数列an日勺个数为答案：(1)6;(2)491解析：令。=a5(1Wi<8),则对每个符合条件日勺数列4,满足条件:aiilb

6、i-Jiai1aia19=1,且bi亡2,1,(1<i<8)a.2反之，由符合上述条件日勺八项数列£n可唯一确定一个符合题设条件日勺九项数列an记符合条件日勺数列Q日勺个数为一1CC，N,显然，bi1WiW8中有2k个一，2k个2,84k个1,2且k日勺所有可能取值为0,1,2.(1)对于三种情况，易知当k=2时，S取到最小值6；(2)N=1C0C；C84C4=491三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、(本题满分12分)某校从参加高一年级期末考试日勺学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段140,50),50,60)

7、,，90,100后画出如下部分频率分布直方图.观察图形日勺信息，回答下列问题：(I)求第四小组日勺频率；(n)从成绩是70分以上(包括70分)日勺学生中选两人，求这两人日勺成绩在80,90)内日勺人数日勺分布列及期望.【解】(I)因为各组日勺频率和等于1,故第四组日勺频率：f4=1(0.025+0.015父2+0.01+0.005产10=0.3.4分(n)设人数为x,x012P111326-1,1-15Ex=0M+1父一+2M=.12分326618.(本小题满分12分)时，函已知函数f(x)=13sin(x)-2sin2m+mQ>0)日勺最小正周期为3元，当xW0,n2数f(x)日勺最小

8、值为0.(I)求函数f(x)日勺表达式；(n)在ABC中，若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(AC),求sinA日勺值.【解】(I)f(x)=V3sin(0x)-2-1_cos(ox)+m=2sin(cox+)-1+m.26依题意函数f(x)的最小正周期为3n，即2"=3n,解得切=2.3 .2x所以 f (x) = 2sin(-1m.»一二2x二5二12x二当x匚0,叫时,一三十一W,-Msin(十)-1,6366236所以f(x)的最小值为m.依题意，m=0.2,：.所以f(x)=2sin(2-)-1.6分36_2c二2c二、，(n)f(C):2sin(一

9、)-1=1,sin()=1.3636十二2C二5二而：二：二63662c，所以 十 36.解得C=2.U川川皿吩在RtAABC中,A+B=±,2sin2B=cosB+cos(AC),221_.5八二2cosA-sinA-sinA=0,斛得sinA=.H10分212分5-1,0:二sinA：1,.sinA=219、(本题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2日勺正方形，PB_LBC,PD_LCD,且PA=2.(I)求证：PA_L平面ABCD；(n)若F为线段BC日勺中点，E为PD中点.求点D到平面EAF日勺距离.x19. (I)证明：底面ABCD为正方形，:.BC

10、_LAB,又BC_LPB, .BC_L平面PAB, .BC_LPA.3分同理CD_LPA,5分PA_L平面ABCD.6分(n)解：建立如图日勺空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2).F为BC中点， F(2,1,0).同理，E(0,1,1).设n=(a,b,c)为平面EAF日勺一个法向量,则n±AE,n1AF.又AP=(0,i,i),AF=(2,1,0),Xbc=0,2ab=0.令a=1,则b=2,c=2.10分得n=(1,2,2).又AD=(0,2,0),TADn4点D到平面EAF日勺距离=.12分20、(本题满分13分)容器A内装有6升质量

11、分数为20%勺盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%勺盐水溶液，先将A内日勺盐水倒1升进入B内，再将B内日勺盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次,A,B容器内日勺盐水日勺质量分数分别为an,bn,(I)问至少操作多少次，A,B两容器内日勺盐水浓度之差小于1%(取lg2=0.3010,lg3=0.4771)(n)求an、bn日勺表达式.11121219斛：(1)b1二一(一+4父)=,a1=一(+5父一)二；2分552025625550an4bn126an4bnbn+=,an*=J5an+*)；2口2二an书-bn4-=1(anbn),，anbnTq=二日勺等比数列,33u1/2

12、、n,111an-bn=(-),n-1log2=,oo1031003101g3lg2二n*7,故至少操作7次；11232nn.nn(2)*bn4t=-bn+*()+4bn,06+=乂(一)9分51031003bn=b(b2f)(b3也厂(bn-bni)11 分2.3r2,2o2、n%9/2、n.7=一十父一十(一)十III十(一)=-父(一)十一,2510033310035013分1,2、n12nJ7而an=bn.(一)(一)1032535021、(本题满分13分)设直线l:y=k(x+1)(k00)与椭圆3x2+y2=a2(a>0)相交于A,B两个不同日勺点，与x轴相交于点C,记O为坐

13、标原点.2 3k2(I)证明：a2>0方.；3 k(n)若AC=2CB,求AOAB日勺面积取得最大值时日勺椭圆方程.1【解】(1)证明：由y=k(x+1)得x=y1.k1222将*=y1代入3x+y=a消去x得k,3,、26c2八,(-2"+1)yy+3a=0.3分kk3k22 .3 k10由直线l与椭圆相交于两个不同日勺点得363232=f4(F十1)(3a)>0,整理得(f+1)a>3,即kkk6k解：设A(x1,y1)，B(x2,y2).由，得y1+y2=23kAC=2CB,而点C(1,0),(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)6k得乂=加代入上式得y

14、"丁日于是，OAB勺面积a139|k|.9|k|3、3s=二|OC|v-丫2|=二|y212223k22v3|k|2其中，上式取等号日勺条件是k2=3k=±J3.11分由y2=+可彳"£33k22将k=：/3,y2一一.3及k-.3,y2二川3这两组值分别代入，均可解出a2=15.13 分.OAB勺面积取得最大值日勺椭圆方程是3x2y2=15.22、(本题满分13分)12已知函数fx=lnx,gxaxbxa=02(I)若a=1时，函数h(x)=f(x)-g(x)在其定义域上是增函数，求b日勺取值范围；(II)在(I)日勺结论下，设函数中(x)=e2x+b

15、ex,xeI0,ln2，求函数5(x)日勺最小值；(III)设函数f(x)日勺图象C1与函数g(x)日勺图象C2交于点P,Q,过线段PQ日勺中点R作x轴日勺垂线分另iJ交CC2于点M,N,问是否存在点R,使Ci在M处日勺切线与C2在N处日勺切线平行？若存在，求出R日勺横坐标；若不存在，请说明理由.解：(I)依题意：h(x)=lnx+x2bx.'/h(x)在(0,+妙)上是增函数，,，、1二h(x)=十2x-b>0对xe(0,+如)恒成立，2分x1cb2x.x1:xA0,则_+2x之2J2.x.b的取值范围为-二2,2.(II)设t=ex,则函数化为y=t2+bt,tw1,2.y&

16、quot;2)2二当-bE1,即-2MbE2j5时，函数y在1,2上为增函数2当t=1时，ymIn=b+1；6分当1<b<2,即4<b<2时，当t=b时，ymin=a224当-b2,即bWY时，函数y在1,2上是减函数，2当t=2时，ymIn=4+2b8分综上所述，当-2<b<2，.2时，；(x)的最小值为b1.b2当-4：二b-20寸，：:(x)的最小值为一一.4当bM4时，邛(x)日勺最小值为4+2b.(III)设点P、Q日勺坐标是(x1，y1),(x2,y2),且0<x1<x2.则点MN日勺横坐标为x=X1+X22G在点M处日勺切线斜率为k1=|x心=1X1-x2Xx一一X1x2C2在点N处日勺切线斜率为k2=axb|xix2x,2a(xix2)b.2假设Ci在点M处日勺切线与G在点N处日勺切线平行，则k1=k2.即=a(xi+x2)+b.x1x222(x2-xi)a(x2-Xi)地=+b(x