求取光传播问题精确解的强力运算法

1、EME a powerful computational method for the rigoroussolution of optical propagation problems求取光传播问题精确解的强力运算法Dominic F.G. GallagherThomas P. FeliciPhoton Design, Oxford, United Kingdom简介 對於由于近 5 到 10 年间通訊电信工業产业的快速成长從最近的 5 到 10 年間,对于需要解决比以往更复杂的电磁问题，以及问题解答的精确性，有更迫切而且更严谨的要求和比以往解決電磁問題的解來得更精確。这样的需求激励理论科学家

2、们不断地寻求找更有效率的数值技巧處理這计算方法来解决日趋复杂的问题，其中的代表就是所谓的樣的電磁問題和技巧之一的便是光束传播法(Beam Propagation Method), 或叫作通称为 BPM 。实际上, 相对于BPM, 另一种所谓的特征模态延展数值算法EME (Eigen Mode Expansion) 技巧在学术界早负盛名，它也著名存在和微波领域已经有很相当长的时间，而且曾经被广泛的应用于解决不同的问题。和對許多不同問題已經有廣泛的應用。 然而最初EME以在处理光电子领域遇到问题时一般都认为它缺乏是低效能效率。这篇专文即在章大綱说明作者如何将原本低效率的幫助把它EME数值计算法变成

3、對於處理各式各樣的光學傳播問題的解都有強有力求解广泛光传播问题时的一个强力、精确以及高效能的工具, 精確和高度有效的方法。在商用套装仿真设计工具软件在商業用途上使用的工具名字叫做FIMMPROP-3D中，就结合了EME数值计算法它已經實現了這樣工作的結果。它本专文也将深入介绍这个方法数值计算法, 应用一些实例说明 它的长处和薄弱的環節缺点。 並且用一些實例說明它。 EME方法大綱概述 首先我们必须开始定义波导的"模态(mode)"的定義或波導的或"特征模态(eigenmode)"。 如果在一个结构中光学的折射率不在随Z 方向变化, 我们能求解出马克斯韦尔

4、方程式(Maxwell's Equations)，解的型式如下：(我们在这里假设使用单一波长以及和时间為相依關係的关系函数为)数学上 em(x,y) 和 bm 是所谓的解特征函数和特征值。所以一个模态对Z轴简单的谐波函数相依关系是有對Z軸相依關係-这个关系使 EME 能迅速和有效率地解决长而缓慢变化的结构。在一个典型的波导中, 存在有一些导引的模态 guided mode(沒有沿着波导传播的时没有能量损失傳播) , 但是, 此外还存在无个所谓的辐射模态 radiation mode 是無窮的數目 (辐射将损耗波导中的光功率) 。导引和辐射的模态一起形成一个完整的组合- 换句话说我们能将

5、波导结构中任一区域Maxwell's Equations夠的每一个解，都能表示为按照顺向和逆向传播模态解的迭加的型式 ,在波導中形成Maxwell's Equations的任何解(见 Eqn 2 ) : 注意到这个等式的是為双向的性特质。 这个等式是在线性介质中Maxwell's Equations的一个精确解。到目前为止我们的技术仅有分析对Z轴為沒有變化不变的结构的技巧。 下面我们将介绍二个波导间的接合(join) -见图 2。Maxwell's Equations为界定了这些電场而給我們的连续性条件,例如在界面两边电场的正切分量(tangential ele

6、ctric fields) 必须相等。正切電場必須在界面兩邊相等。 应用这些边界条件, 加上稍许的数学运算，並且在數學上我们能夠取得函數系数的係數之间的一個关系式:其中SJ 是用於代表接合的散射散矩阵(scattering matrix)。因此我们能将行进方向远离接合的场表示成为入射于接合处的场。用於一个平直剖面的散射散矩阵( SWG )是正如下面所显示的簡單的 :一旦已經找到了特征模态，计算此散色矩阵将极为容易計算起來非常清楚容易。 现在让我们考虑一个常用的使用在光子的一個常見电组件实例- MMI 耦合器(coupler)-见图 3 。 这个组件被分成5个矩阵来讨论-2个接合矩阵和 3 个传

7、播矩阵。 一旦我们有这些个别的 S 矩阵, 我们就能够计算结合的S 矩阵, 例如透过结合 A 和 B 的矩阵而成为AB矩阵 , 直到我们求得对于整个组件的S 矩阵。平滑变化的几何结构 在早期 EME 被认为不适当的主要原因之一,是由于不能有效地处理连续不断改变横截面的结构, 例如锥形结构(taper)。 当横截面变化时, 所有的模态需要再重新计算，而这会需要到大量的计算。 同样还有必须介绍由于大量的結合接合面- 引起數值計算錯誤导致数值计算误差的累积。 FIMMPROP-3D 的特性可以解决两个这些问题，使得EME得以首次实际的应用，甚至可以应用于三为锥形结构。事实上，經常在 FIMMPROP

8、-3D 比起其它近似技术花更少的时间，求解决一个 3D锥形结构比的问题近似的技術花較少時間。周期性架构 使用EME方法能很有效率的计算包含重复周期的结构，因为对每一个周期的S-matrix都是一样的。因此周期性结构的计算几乎与直线性波导的计算一样快。为什么使用 EME ? 那麼你为什么你会想要使用 EME ? 尽管读者可能认为作者有所偏颇偏見 , 我们还是將盡力会对EME的优缺点，提供強力而客观的评估和EME較薄弱的地方。优点 :l 這個方法首先和以及最重要的是EME法所求得的是基於Maxwell's Equations的一个嚴格的精确解，而非近似解。 在理论上如果我们在展延把中使用無

9、窮的无限模態数目的模态用於我們的展延, ,我们就能够获得一个精确解。 当然在練習方面实际上, 我们必须限制展延时使用模态的数目和，而且在运算执行中将有数值的錯誤误差, 例如这是在任何数值技巧计算中无法避免的。 为了获得更高的精确度, 我们只须能夠簡單增加更多的模态数目。 这种方法能够精确地求解问题計算,这也是其它技巧计算方法所不及之处是不能的。l EME算法固有地本质上是双向的。 该算法已经考虑到所有的反射都在 方法中被考慮到情况。l S 矩阵技巧方法為提供了所有输入提供的解! 那麼例如：如果你們做全部执行一个全向量的模拟, 经过单一计算后，你們將給会同时得到输入TE和输入TM的輸入找到這個的

10、响应解。l 之前先前的特性允许一次建立类似一個部分的组件的框架- 像可以计算某一组件的一部分的S 矩阵的結構一樣,然后可在许多不同环境条件下重复使用再次用于許多不同環境條件。l 当仅仅改变一个组件的一部分时, 只有该那個一部分的S 矩阵需要再次計算重新计算。 在图 3 , 假如改變输入波导的对准位置改变調整, 仅有矩阵 B 需要再次計算重新计算。 FIMMPROP-3D 完全利用到这样的优点。事实上， 程序不使用中并无所谓的"计算"钮,因为程序總会知道什么地方已经改变，还有什么和任何时候需要再次計算重新计算。 使用者仅须需要要求一些计算结果，程序就能並且自动地开始任何所需要

11、的计算。l 广角度能力-这个算法能够模拟任何角度的光的传播, 即使是对传播轴呈 90 度夹角, 也能仅由而且能夠容易地增加更多模态的数目式来完成。 上面所述性质的结合允许计算一個广寬泛种类的组件，計算相对于其它计算方法，EME还特别地迅快速比其他技巧。 一般, 通常计算具有相对地小的横截面的结构能够在若干秒而非分钟或小时的时间内完成，比其它技术計算更快快速许多。 缺点 :l 这个演算方法对于具有很大横截面的结构對這個演算方法是并不合适,因为计算时间浪费在立方体的计算,例如横截面的宽度。l 这个算法写起来非常复杂- 例如確保要确认一个模态是否 从基本设定中沒有錯誤, 這遗漏是很困难的。l EME

12、 不是一个"黑盒子"技巧- 使用者必须努力了解这个演算法方法才能充分地使用利用它的优点。l 诸如使用BPM的有限差分方法在 BPM 的有限差分法中比EME方法更容易定义所谓的要將透明边界条件完全定義出來, 比在 EME 中容易許多。 (最近然而, 此点在Photon Design以及光子設計和在大尺度的一些科学領域团体最近的研究成果中也被提出來。)应用 参考一些具体的实例子來能说明 EME 的特特点。 這邊这里我们給所提出的是利用 1GHz Pentium III 计算机得到的计算时间,是利用 1GHz Pentium III 得到的。MMI 耦合器 上面图 3显示一个MM

13、I 耦合器, 和以及由FIMMPROP-3D所计算出来在 MMI 耦合器中光强度的分布被 FIMMPROP-3D計算出來。 这对EME 是很普通的简易的应用 - 我们僅需要計算 3 個組模態, 针对每一個唯一横截面计算一组模态,总共只需要计算 3 组模态。计算型式: 半向量, 3D, 双向横截面: 20mm x 2.6mmm.模态数目:8计算时间:27秒 在图 4 方面我们描绘畫出设计曲线掃描的設計結果。程序从 0毫微米 到 3毫微米執行分50个步骤改变使输入波导的对准位置做調整。 做执行所有的 50 个模拟步骤仅需要 94s , 每個每次模拟所花时间都在 2s 以下-请记住这是全部都在完全

14、3D下的计算!錐形锥核光纤波導(tapered fibre) 在这里我们透过核心半径从 12毫米逐渐减小 縮小到 0.5毫米的光纤，计算光场在核心半径中的传播,計算光場在核心半徑逐漸減小的光纖中的傳播。 在下面显示这些计算细节。计算型式: 全向量, 3D, 双向横截面: 38mmm x 38mmm模态数目:6计算时间:159s 图 5 显示计算的结果。 注意到我们為何對它模擬- 仅需要 6个极少的模态即可进行模拟。 这是因为大多数的光对Z 轴仅有小角度的移動夹角。 设计者將需要瞭解這樣的錐形波導設計的会面临的关键性问题之一是"多久它才能达到例如 98% 的效率?" EME

15、技巧方法能够很迅速的解决这个问题-改变锥形波导的长度而不改变其模态 ,我们才能因而能够花最少计算时间做许多不同长度的模拟。 图 6 計劃绘出使用 50 个步骤在锥形波导上做进行改变长度改變扫描的结果。 50 个步骤的模拟，每個模擬仅花了 323s 的计算时间- 换言之每個每次模拟仅花 6.5s的计算时间 。EME 有一个特别有价值的特性,是它经常能显示出給出在组件中内部详细的物理现象分析圖- 而非仅仅显示输入和输出的分析圖值。 众所皆知, 在一个近乎绝热的结构中, 在有相似的传播常数条件下，模态之间会出现最大的耦合出現在他們有相似的傳播常數。图 7 显示一个 100um 长的组件中以随Z 轴位

16、置变化當做一個函式,顯示在之锥形波导中模态的有效折射率的變化。 图中显示基本模态在锥形波导长度 ( 90um ) 90% 的地方变得很靠近更高阶的模态。 如此我们可以期望更多的幅射出现在这个点- 这的的确确切地是我们观察的结果。 曲线告诉我们, 我们应该减少对锥形波导的末端減少對這個錐形斜率改变的速度。n双向耦合器EME 技術方法的散射散矩阵基础对于周期性的结构是很合适的,， 这类问题的计算速度大约会有10倍、100倍甚至更高的提升若將 10個, 100個 或者更多的週期性結構做分解則會加快運算速度。 EME算法先计算一个周期的S-matrix，,然后再將在每个周期中重复使用该的S-matri

17、xS-matrix做矩陣相乘- 结果是计算所花的时间与周期数目呈现对数的关系。图 8 说明我们在欧洲 COST240 项目的一部分中利用 EME设计一个典型周期性的组件,其中可以利用 EME 作為的实例歐洲 COST240 設計的一部分。这个组件設計能使光从最顶端的波导,与在下面薄层的基本模态做耦合。 这个结构已经被提出作为一个实用的光束扩大器使用。环形共振器 能像仿真近轴问题依样有效率地模拟广角度甚至是 全方向 (omni-direction)问题的能力能量的描述和 能充分阐释EME 演算方法的灵活性是指當它在近軸時,它能有效地模擬廣角度和處理 omni-directional 問題的能力和

18、其强大功能。 图 9 显示光場由 FIMMPROP-3D 所计算的在一个环形共振器中的光场計算。这些计算细节显示在下如下面顯示這些計算細節。计算型式: 全向量, 2D, 双向计算窗口: 6mm x 6mm6mm x 6mm模态数目:60计算时间:(S-matrix)58s对于广角度的计算需注意, 在这种情况下我们需要提供更多的模态来做模拟-此种情况下模态数目为60。BPM 的技巧方法, 由于它光近轴近似假设的近似基本上不能在无法模拟這裡模擬这样的一個结构,。另一个不同于這裡我們選擇 EME的选择 和是 FDTD 的技术。 FDTD 有自己的其分析能力強的環節和薄弱的環節的优点与缺点。 例如像这样的一个共振器的结构, FDTD 算法在的时間領域本质的性質意味着它必须花较长时间的運算才会呈现精確稳定的状态。 相对地, 频率領域本质的 EME算法沒有辦法反覆在不须重复的递回运算及能传送精确的波长响应。光子晶体设计