chap02第二章 动力学

1、 “I seem to have been only like a boy playing on the seashore and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary, while the great ocean of truth lay all undiscovered before me.” Sir Isaac Newton 第二章第二章 牛顿运动定律牛顿运动定律1 1）牛顿第二定律及应用）牛顿第二定律及应用2-1 2-1 牛顿运动定律牛顿运

2、动定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第二定律 牛顿第三定律牛顿第三定律惯性参考系惯性参考系参考读物参考读物: A.Einstein, : A.Einstein, 物理学的进化物理学的进化, ,上海科学技术出版社上海科学技术出版社二、牛顿第二定律二、牛顿第二定律F am=是作用在质点上外力的矢量和。是作用在质点上外力的矢量和。F直角坐标：直角坐标：F = maxxF = mayy自然坐标自然坐标: :F= mannmv2Fmatt= mdvdt四、牛顿定律的应用四、牛顿定律的应用 应用牛顿定律的解题步骤：应用牛顿定律的解题步骤：分解不在坐分解不在坐标轴上的力标轴上的力 确定确定研究对象

3、研究对象 进行进行受力分析受力分析 建立建立坐标系坐标系求解求解 建立方程建立方程（投影式）（投影式）*牛顿定律只在惯性系中成立。牛顿定律只在惯性系中成立。变力的三种类型变力的三种类型: :1). 力与位置有关力与位置有关:2). 力与速度有关力与速度有关:3). 力与时间有关力与时间有关:)(xFF )(vFF )(tFF 例例: P40,2-6dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxF)( 例例 有一柔软的链条，长度为有一柔软的链条，长度为 l , , 其部分平放在光其部分平放在光滑滑lbb() 链条静止。链条静止。 的桌面上的桌面上 , ,另一部分悬垂在桌边另一部分悬垂在桌边 , ,

4、其长度为其长度为b。开。开始始 试求：当链条全部脱离桌子时的速度。试求：当链条全部脱离桌子时的速度。 Tgxxl x()T(l-x)x设链条单位长度质量为设链条单位长度质量为aT=lx()vd=axdxdtdvd=xdv=gxlg=xTxa=agxlvdxdv=gxl=122vgl22l2b()=vgl2l2b()vdxdv=gxl积分得：积分得：由上面得到：由上面得到：xvdxdv=gl0lbvRt = 0m 例例一小钢球，从静止开一小钢球，从静止开mgmcosN =2RvmgN解：解：mgmsindtdv =n下滑。下滑。始自光滑圆柱形轨道的顶点始自光滑圆柱形轨道的顶点求：小球脱轨时的角度

5、求：小球脱轨时的角度。sindtdv =gddddt=vcos2Rg()1 =2vsin d=Rg00dvvvRt = 0mmgNnmgmsindtdv =mgmcosN =2Rv由式由式 ddv=Rv脱轨条件：脱轨条件：N = 0由式由式 得：得：由由、可解得：可解得：cos=23=arc cos()23mgmcos=2RvmgmcosN =2Rvcos2Rg()1 =2vvBFrF解解 取坐标如图取坐标如图 )(dd0bFmbtvvmarFmgv6B令令rbFmgF6B0tmbFdd0vv Py)(tv 例例5 5 一质量一质量 ，半径，半径 的球体在水中静止释的球体在水中静止释放沉入水底

6、放沉入水底. .已知阻力已知阻力 , , 为粘滞系数，为粘滞系数， 求求 . . vrF6rmrBF为浮力为浮力bFt/,0Lv（极限速度）（极限速度）tmbbF)/(0e1vLL95. 0)05. 01 (vvvbmt3当当 时时L,3vv bmt一般认为一般认为ttmbbF000d)(dvvvvBFrFPyvbF0to)(dd0bFmbtvv作业 1练习3 If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants. Sir Isaac Newton第三章第三章 动量动量 动量定理动量定理1 1）质点系动量定理）

7、质点系动量定理3-1 3-1 动量动量 动量定理动量定理一、质点的动量定理一、质点的动量定理由牛顿第二定律表达式得：由牛顿第二定律表达式得：1 1、质点的动量、质点的动量mvd=dt()Fmdt=dv其中其中 mvP定义为质点的定义为质点的动量动量，用，用表示表示Fdt=dP则牛顿第二定律的动量表达式：则牛顿第二定律的动量表达式：动量是矢量，它的方向与物体的运动方向一致。动量是矢量，它的方向与物体的运动方向一致。动量的单位为动量的单位为 kg.m/s 2 2、质点的动量定理、质点的动量定理将将Fdt=dP分离变量、两边积分得：分离变量、两边积分得：=mvmv12F=dtd mv()vvtt12

8、12其中其中dtFtt21称为力的称为力的冲量冲量，用，用I I 表示表示上式为质点的动量定理。上式为质点的动量定理。IP=-P21* *关于质点的动量定理的讨论：关于质点的动量定理的讨论：式中冲量是矢量，式中冲量是矢量，质点的动量定理为矢量式，投影式为：质点的动量定理为矢量式，投影式为：xF dttt12=mvmv12xxyF dttt12=mvmv12yy平均冲力平均冲力平均冲力平均冲力Fx用平均冲力表示的动量定理为：用平均冲力表示的动量定理为：tt21xF dttt12= Fx()tt21Fx=mvmv12xx()=mvmv12yytt21Fy()Fttt120Fxx二、质点系的动量定理

9、二、质点系的动量定理1 1、质点系：由多个质点组成的系统。、质点系：由多个质点组成的系统。2 2、系统的内力和外力、系统的内力和外力3 3、质点系的动量定理、质点系的动量定理系统的内力矢量和为零。系统的内力矢量和为零。vviii2 2i1 1mm-)(d =ttFti外外21系统的总动量等于一常矢量，总动量守恒。系统的总动量等于一常矢量，总动量守恒。=Fmiiid ()dtv即：即：=c miiv即外力矢量和为零即外力矢量和为零 Fi= 0若：若：= 0 miid ()dtv则：则：三、动量守恒定律三、动量守恒定律*关于动量守恒定律的讨论：关于动量守恒定律的讨论：=Fmixiixd()dtv将

10、上式写成分量式，其中将上式写成分量式，其中x 方向的分量式为：方向的分量式为：若：若：=Fix0则有：则有：mixiv= c=Fmiiid()dtv内力的存在只改变系统内动量的分配，而不能改变系内力的存在只改变系统内动量的分配，而不能改变系 动量守恒是自然界普遍适用的物理定律，它比牛顿动量守恒是自然界普遍适用的物理定律，它比牛顿统的总动量。统的总动量。定律更为基本。定律更为基本。的分动量守恒。的分动量守恒。如果外力在如果外力在 x 方向投影的代数和为零，则在方向投影的代数和为零，则在 x 方向方向v = v =5.0 m.s-1, ,碰撞时间碰撞时间 例例 一小球与地面碰撞一小球与地面碰撞m

11、=210-3kg, ,a a = 600, , 求求: :平均冲力。平均冲力。Nmvmv sintxsinaa=vvyxaaNNxymgNmvmvmgcosty=()()cosaa解：解：Nx= 0解得：解得：= 2.2 ( N )Nmgcos ty=+2mvat =0.05s 。 例例 人与船质量分别为人与船质量分别为m 及及M ，船长为，船长为L ，若人从船，若人从船mML尾走到船首。试求船相对于岸的位移。尾走到船首。试求船相对于岸的位移。( (初始时刻人与初始时刻人与船静止船静止) )设人相对于船的速度为设人相对于船的速度为 u船相对于岸的速度为船相对于岸的速度为 v 由动量守恒由动量守

12、恒: :mMxLulv()vMu+ mv= 0Mvum=m+u dtMm=m+=Mmm+Lx=v dt注意不管人注意不管人的行走速度的行走速度如何变化。如何变化。结果是相同结果是相同的。的。 例例 2 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .链条放链条放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下链条一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周围堆在小孔周围.由于某种扰动由于某种扰动,链条因自身重量开始落下链条因自身重量开始落下 .求链条下落速度与落下距离之间的关系求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的设链与各处的摩擦均略去不计摩擦均略

13、去不计,且认为链条软得可以自由伸开且认为链条软得可以自由伸开 . 解解 以竖直悬挂的链条以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标建立如图坐标由质点系动量定理得由质点系动量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex则则则则tddvyyg 两边同乘以两边同乘以 则则 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex作业 练习4 / 填空 2 不做Joy in looking and comprehending is nature

14、s most beautiful gift. Albert Einstein第四章第四章 功和能及功能原理功和能及功能原理1 1）变力做功）变力做功2 2）保守力）保守力3 3）势能）势能4-1 4-1 功功 动能动能 势能势能一、功一、功 功率功率1 1、功、功F r=. 变力的功变力的功 元位移：元位移：rd元功：元功：=.F drFF ra= FcosdAdra rA = FcosadrFa 恒力的功恒力的功.F drA=F=drcosadA = F.drdzdxdyF(x)F(y)F(z)=+此式的意义是合力的功等于各分力功之和。此式的意义是合力的功等于各分力功之和。dzdxddrij

15、k=+yr =x iy jz k+F(x)F(y)F(z)=+Fijk=AF dr.dz+F(x) dxF(y) dyF(z)=功的几何意义：功的几何意义：dAF (x) dx=功在数值上等于示功图曲功在数值上等于示功图曲2. 2. 功率功率平均功率平均功率: : A=N t瞬时功率瞬时功率: :=NAttlim0=dAdt=Fdr.dt.= FvF (x)xdxo示功图示功图F12xxxA =F (x) dxx12线下的面积。线下的面积。 例例 1 一质量为一质量为 m 的小球竖直落入水中，的小球竖直落入水中， 刚接触刚接触水面时其速率为水面时其速率为 . 设此球在水中所受的浮力与重力设此球

16、在水中所受的浮力与重力相等相等, 水的阻力为水的阻力为 , b 为一常量为一常量. 求阻力对求阻力对球作的功与时间的函数关系球作的功与时间的函数关系 .0v vbFr解解 如图建立坐标轴如图建立坐标轴ttxbxbrFWdddddvv即即tbWd2v又由又由 2 - 5 节例节例 5 知知tmbe0vvtbWttmb020de2v) 1(e21220tmbWmv0vxo二、动能定理二、动能定理rdF则力则力在这段元位移上的功为：在这段元位移上的功为：设有一质点沿任一曲线运动，在曲线上任取一元位移设有一质点沿任一曲线运动，在曲线上任取一元位移dA = F.drdt=dtd mv()v.=mv dv

17、.=mvdv所以：所以：21mvdA=mvdv()2=1mv2122mvmv-)2(dA=122dA=1221其中其中表示。表示。mvE212K称为质点的称为质点的动能动能，用，用K1EK2合外合外E-dr =.F21上式为质点的动能定理。上式为质点的动能定理。即：即：1mv2122mvF-_.dr=合外合外2A=1221三、保守力的功三、保守力的功mg dy=(+mg j ).(dxidy j )yy=()abm gm gdAdr=G.yxoyyaabbdrGmgdy=A1. 1. 重力的功重力的功若物体从若物体从a出发经任意路径回到出发经任意路径回到a点，则有点，则有: :Adr=G.=

18、0物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零. .MmrGF=2cos=()F ds90 +02. 2. 万有引力的功万有引力的功=dAF dr.MmrG=2drMmrGsin=2dsrabrdsF太阳太阳地球地球Mmrdrab)(=abGMmGMmrrMmGA2=rrabdrr3. 3. 弹簧弹性力的功弹簧弹性力的功Fkx=kxdx=Fdx=dAkx=ab()1221kx22x自然长度自然长度弹簧弹簧xFokxdx=baAxx* *保守力的定义：保守力的定义： drF.=0或：若有一个力能满足条件：或：若有一个力能满足条件：则称此力为则称此力为保守力保守

19、力。 若力若力F 对物体所作的功决定于作功的起点和终点对物体所作的功决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关，称此力为保守力。而与作功的路径无关，称此力为保守力。如某力的功与路径有关，则称这种力为如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力非保守力。四、势能四、势能保守力的功只与质点运动的始末位置有关与路径无关。保守力的功只与质点运动的始末位置有关与路径无关。 a by重重)A =mgmgy(A引引)(=abGMmGMmrrA弹弹kx=ab()1221kx22功与能量的改变相关功与能量的改变相关保守力的功与势能增量的关系：保守力的功与势能增量的关系：则：则： 重力势能：重力势能：mgyE =P重

20、重引力势能：引力势能：=rE-GMmP引引弹性势能：弹性势能：=kxE212P弹弹p E=pbpa()=EEA保保保保dr=.FbaPE势能势能，用，用表示。表示。势能零点：势能零点：pbbapaErdFEbapardFEabparMmGrMmGE1).1).以以b b点为势能零点点为势能零点: :引力势能引力势能: :2).2).以无穷远点为势能零点以无穷远点为势能零点: :aaparMmGrdFE3).3).当保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功当保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。时，系统势能增加。保守力与势能。保守力与势能。*关于势能的讨论：关于势能的讨论

21、：势能零点势能零点六、质点系的动能定理与功能原理六、质点系的动能定理与功能原理AAAmv22112非保内非保内外外保内保内=+mvib2ia1 1、质点系的动能定理：、质点系的动能定理：将其推广到质点系，有将其推广到质点系，有 : :AA外外内内+A=AAA非保内非保内外外保内保内+由质点的动能定理：由质点的动能定理：mv22112mv2baA =由质点系的动能定理：由质点系的动能定理：ApapbEE=)(保内保内且：且：2 2、功能原理：、功能原理：AAAmv22112非保内非保内外外保内保内=+mvib2iaAAmv22112非保内非保内外外=+mvib2iapapbEE)(AAmv221

22、12非保内非保内外外=+mvib2iapapbEE)(+(+)kakbEEEE=()+pb(+)pa系统的功能原理：系统的功能原理：AkakbEEEE=()+A外外非保内非保内pb(+)pa机械能机械能，用，用E 表示。表示。E =Ek+Ep则系统的功能原理还可表示为：则系统的功能原理还可表示为：AA非保内非保内外外=+1EE2AkakbEEEE=()+A外外非保内非保内pb(+)pa由系统的功能原理：由系统的功能原理：E=+则：则：EEEkbpbkapa+恒量恒量七、机械能守恒定律七、机械能守恒定律若：若： 系统的机械能不变。系统的机械能不变。AA非保内非保内外外+0=设设 地球质量地球质量

23、 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 .EmERmvh 解解 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 ，系统的机械能系统的机械能 E 守恒守恒 .1） 人造地球卫星人造地球卫星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 ，是在地面上发射人造地球卫星，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度所需的最小速度 .1v)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv解得解得hRGmRGmEEEE12vvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛顿第二定律和万有引力定律得由牛顿第二定律和万有引力定律得vh2EERGmg

24、)2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hR E故故E1gRvm/s109 . 731v计算得计算得第一宇宙速度第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0EhRGmRGmEEEE12v2） 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度0 )(21pkEE22EERmmGmEvvh设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 . EmERm 第二宇宙速度第二宇宙速度 ，是，是抛体脱离地球引力所需抛体脱离地球引力所需的最小发射速度的最小发射速度 .2vE 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 系统机械能系统机械能 守恒守恒 .0;0, vFr当当若此时若此时则则EEE

25、222gRRGmv第二宇宙速度第二宇宙速度0E0)(21EE22RmmGmEvvhkm/s2 .112v计算得计算得问题：质量分布均匀的球或球壳与质点之间的引力和引力势能结论：等效，将所有质量集中于球心；结论：球壳内的质点受力为零；aaparMmGrdFE问题：第三宇宙速度vh抛抛 体体 的的 轨轨 迹迹 与与 能能 量量 的的 关关 系系0E0E 椭椭 圆圆(包括圆包括圆)km/s9 . 71v0E0E 抛物线抛物线km/s2 .112v0E0E 双曲线双曲线sm.4k16 3v作业 练习5Learn from yesterday, live for today, hope for tomo

26、rrow. The important thing is to not stop questioning. Albert Einstein第五章第五章 角动量和角动量定理角动量和角动量定理1 1）角动量）角动量2 2）质点的角动量定理）质点的角动量定理3 3）角动量守恒定律）角动量守恒定律一、质点的角动量：一、质点的角动量：r质点相对于质点相对于o 点的点的角动量角动量，0r=Lmvr=pL 的大小的大小|L|为：为：L=| |rmv| |sim为为r 和和mv 的夹角，的夹角，L 方向为方向为r 和和mv 的右旋。的右旋。Lmv*关于角动量的讨论：关于角动量的讨论：角动量与位矢有关，谈到角动

27、量时必须指明是对哪角动量与位矢有关，谈到角动量时必须指明是对哪一点而言。一点而言。当质点作圆周运动时，当质点作圆周运动时，= =2则角动量大小为：则角动量大小为：L = r mv 2= mr在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：角动量的单位为角动量的单位为: : kg m2/sLx= ypzzpyLy= zpxxpzLz= xpyypx二、质点的角动量定理：二、质点的角动量定理：1 1、力矩、力矩r0FM力对某一固定点的力矩力对某一固定点的力矩Frsim=M其中其中为为r 和和F 的夹角的夹角r=MF力矩的矢量关系为：力矩的矢量关系为：有心力对力心

28、的力矩为零。有心力对力心的力矩为零。在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：Mx= yFzzFyMy= zFxxFzMz= xFyyFx力矩的单位为：力矩的单位为： N m*关于力矩的讨论：关于力矩的讨论：上式也称为力对轴的力矩。上式也称为力对轴的力矩。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。2 2、质点的角动量定理、质点的角动量定理r=Lmv将质点对将质点对o 点的角动量点的角动量对时间对时间t 求导：求导：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv2 2

29、、质点的角动量定理、质点的角动量定理r=Lmv将质点对将质点对o 点的角动量点的角动量对时间对时间t 求导：求导：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv02 2、质点的角动量定理、质点的角动量定理r=Lmv将质点对将质点对o 点的角动量点的角动量对时间对时间t 求导：求导：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv r=F =M于是有：于是有：dLdt=M上式为质点的角动量定理，上式为质点的角动量定理，dLdt=M表示成积分形式：表示成积分形式：* *在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的力矩在应用角动量

30、定理时，一定要注意等式两边的力矩和角动量必须都是对同一固定点。和角动量必须都是对同一固定点。t2LL21M dtt1=3 3、质点角动量守恒定律、质点角动量守恒定律由：由：dLdt=M知，若知，若0=M则有：则有： r=mv=L常矢量常矢量* *质点在有心力作用下角动量守恒。质点在有心力作用下角动量守恒。 例例 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为周运动，其半径为r0，角速度为，角速度为0 。现通过圆心处的。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r时的角速度。时的

31、角速度。解：以小孔解：以小孔o 为原点，为原点，mr0rov绳对小球的拉力为绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。则小球对点的角动量守恒。mvr = mv0r0因：因：v = r有：有：mr2 = mr02 0 =则：则：r2r020作业 练习6习题课第一章第一章 运动的描述运动的描述l1).运动学的两类问题:第一类问题：第一类问题：( (求导问题求导问题) )第二类问题：第二类问题：( (积分问题积分问题) )rr =( )t 已知：已知：a =(t )a 已知：已知：v=(t )rr =(t )v求：求：、=a a =vv( )t(t )求：轨迹求

32、：轨迹、l2).自然坐标系l计算法向加速度:edtdsevva+tev=dtdRvne2atan+=22222ntyxaaaaal3).圆周运动:l4).相对运动:l教材中典型习题教材中典型习题lP23 / 思考题 1-1lP23 / 1-5, 1-9, 1-12, 1-15l作业: P23 / 1-3, 1-6, 1-12第二章第二章 牛顿运动定律牛顿运动定律l1).1).牛顿第二定律及应用牛顿第二定律及应用, , 三种变力三种变力; ;l典型习题典型习题lP 37 / 2-6, 2-8, 2-12,lP 40 / 2-5第三章第三章 动量动量 动量定理动量定理l1).1).质点系动量定理质

33、点系动量定理l2).2).动量守恒；动量守恒；l典型习题典型习题lP52 / 3-1， 3-7，l作业：作业：3-14第四章第四章 功和能功和能l1 1）变力做功）变力做功l2 2）势能）势能l3 3）机械能守恒）机械能守恒l典型习题典型习题lP70/ 4-1,4-2, 4-12, 4-13l作业作业:P70 / 4-3, 4-7, 第五章第五章 角动量和角动量定理角动量和角动量定理1 1）角动量）角动量2) 2) 质点的角动量定理质点的角动量定理3 3）角动量守恒定律）角动量守恒定律典型习题典型习题P102 / 5-4,5-5Logic will get you from A to B. I

34、magination will take you everywhere. Albert Einstein第六章第六章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1 1）如何描述刚体定轴转动；）如何描述刚体定轴转动；2 2）刚体定轴转动定律；）刚体定轴转动定律；刚体刚体: :特殊的质点系特殊的质点系平动平动: :各点运动完全相同各点运动完全相同一、刚体定轴转动的描述一、刚体定轴转动的描述3.定轴转动的描述定轴转动的描述: :特点特点: : 各点都做圆周运动各点都做圆周运动相相同时间内转过相同的同时间内转过相同的 角度角度. .有相同的角速有相同的角速度和角加速度度和角加速度. .4. 描述刚体定轴转动的物理量

35、描述刚体定轴转动的物理量1). 角位置角位置参考线参考线)(,trsox 角位置角位置 角位移角位移 角位置角位置角位移角位移4、描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量A.t B. t+t 角速度角速度=limt0t=ddt(rad.s-1)=t平均角速度平均角速度瞬时角速度瞬时角速度limtt=0 角加速度角加速度=ddt=ddt22=t平均角加速度平均角加速度瞬时角加速度瞬时角加速度(rad.s-2)R=s 线量和角量的关系线量和角量的关系ttttR00= slimlimRsR=R=vRsR=v=vRat=Rttt=limlim0vRt0t=Rdda2=vnR22=RRRa2=n

36、2=vRR2=5. 各量之间的关系各量之间的关系200000021,0tttdtdtdtddtdtdtddtddtdtaaaaaaa二二 刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、质点系的角动量定理一、质点系的角动量定理1 1、质点系对固定点的角动量定理、质点系对固定点的角动量定理设一质点系设一质点系n 由个质点组成，其中由个质点组成，其中i 质点受力为：质点受力为：现对现对i 质点应用角动量定理，有：质点应用角动量定理，有：ddt(ri mivi )ri ( Fi外外+fij )=对对i 求和，且一对内力对任一点的力矩的矢量和为零，求和，且一对内力对任一点的力矩的矢量和为零，Fi外外+fij于是有：于

37、是有：2 2、质点系对固定轴的角动量定理、质点系对固定轴的角动量定理i 质点的线速度：质点的线速度：vi=ri对质点系有：对质点系有：dtd( ri mivi )ri Fi外外= M合外合外=Mi=ddt(miri2)令：令：I = =miri2I 称为称为转动惯量转动惯量，则：，则：Mi = =(I)=ddtdLdt上式为质点系对固定轴的角动量定理。上式为质点系对固定轴的角动量定理。3 3、转动惯量的计算、转动惯量的计算单个质点的转动惯量：单个质点的转动惯量：I = =mr2质点系的转动惯量：质点系的转动惯量：I = =miri2I = = mr2dm质量连续分布的刚体的转动惯量：质量连续分

38、布的刚体的转动惯量：dldm 质量为线分布质量为线分布dsdm 质量为面分布质量为面分布dVdm 质量为体分布质量为体分布 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布 例例 求质量为求质量为m、半径为、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。解解:若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。222mRdmRdmR dmrI2Rdm讨论：讨论：若圆环质量分布不均匀，结果相同。若圆环质量分布不均匀，结果相同。 例例 求质量为求质量为m、半

39、径为、半径为R、厚为、厚为l 的均匀圆盘的转动的均匀圆盘的转动解：取半径为解：取半径为r 宽为宽为dr 的薄圆环的薄圆环,dVdm drlr2dmrdI32 ZORlR21drlr2dII4R03 可见，转动惯量与可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴的转无关。所以，实心圆柱对其轴的转22mR21IlRm lrdr2 动惯量也是动惯量也是mR2/2。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 例例 求长为求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的的均匀细棒对图中不同轴的ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm=dx dmrI2C d

40、mrI2A3/mLdxx2L02 12/mLdxx22L2L2 转动惯量。转动惯量。平行轴定理平行轴定理2mhIIcomoomr122 I =ooml1122 I =oomr142 I =ooml13 I =2转动惯量单位：转动惯量单位：kg.m2*关于转动惯量的讨论：关于转动惯量的讨论：转动惯量和转轴有关。转动惯量和转轴有关。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的。 转动惯量转动惯量和质量分布有关。和质量分布有关。转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯转动惯量具有可加性，一个复杂形状刚体的转动惯量等于刚体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。量等于刚

41、体各个组成部分对同一轴转动惯量之和。作业 练习7“It is not so very important for a person to learn facts. For that he does not really need a college. He can learn them from books. The value of an education is not learning of many facts but the training of the mind to think something that cannot be learned from textbooks.”

42、Albert Einstein二、刚体的定轴转动定律二、刚体的定轴转动定律1 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩sinrFMz ZfrPdOzM转动平面转动平面 FrMz 2 2、刚体定轴转动的转动定律、刚体定轴转动的转动定律IdtdIMn1iiz 上式为刚体定轴转动的转动定律。上式为刚体定轴转动的转动定律。m 反映质点的平动惯性，反映质点的平动惯性，I反映刚体的转动惯性反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态改变而产生角加速度的原因。*关于转动定律的讨论：关于转动定律的讨论：MI 与与地位相当地位相当maF * *刚体刚体转动转动定定律的律的另一种

43、形式另一种形式刚体刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。dtdIIM dtdLdtIdM )(则：则：dtdLM 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 例例 如图所示，两物体如图所示，两物体1 1和和2 2的质量分别为的质量分别为m1与与m2，m22T1Tm1滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为J, ,半径为半径为r 。如物体如物体2 2与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速，求系统的加速度度a 及绳中的张力及绳中的张力 T1 与与 T2（设绳子与滑轮间无相（设绳子与滑轮间无相对滑动）；对滑动）；如物体如物体2 2与桌面

44、间为光滑接触，求系统的加速度与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力及绳中的张力 T1与与 T2 。fm=Ngm2m=1T=m a1gm12T=m a2fa =rNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm1解：解：0N=gm2Ir=1T2T r+=r2+m2mgm1m2I()r2+m1m2I1T+=r2+m1mgm2m1I()r2+m1m2I2Tmr2+a =gm2mgm1m1m2I解得：解得：gm1r2+m1m2Ia=+=r2gm1m2I()r2+m1m2I1T=gm2m1r2+m1m2I2Tm= 0转动动能与角动量的关系转动动能与角动量的关系2ILE 2k 2mpE 2k 2kmv

45、21E 三、定轴转动的动能定理三、定轴转动的动能定理1 1、转动动能、转动动能22n1i2ii22in1iikI21rm21rm21E )(2kI21E 2 2、力矩的功、力矩的功dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中iiirFM 对对i 求和，得：求和，得：MddMdAi )(dMA21 力矩的功率为：力矩的功率为：MdtdMdtdAP O转动平面转动平面Zdm上式上式 A 为力矩的功。为力矩的功。r ddFndFdF Mz3 3、刚体定轴转动的动能定理、刚体定轴转动的动能定理ddIdtdddIIdtdIM 2121 dIdM当当=1 1 时，时，=1 1 所以：所以：2122I21I2

46、1dM21 例例 一根长为一根长为l、质量为、质量为m 的均匀细直棒，其一端有的均匀细直棒，其一端有力矩为重力对力矩为重力对O的力矩。的力矩。 棒棒dlcosglgdmcosldM 一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加角时的角加速度和角速度。速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外解：棒下摆为加速过程，外上取质元上取质元dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时角时，该质量元的重力对该质量元的重力对轴的元力矩为：轴的元力矩为： Ogdmdmldl 重力对整个棒的合力矩

47、为：重力对整个棒的合力矩为： Ogdmdmldl dMM L0dlcosglcosmgL21cosgL22 代入转动定律，可得：代入转动定律，可得：2Lcosg3mL31cosmgL21IM2 ddI dtd ddIdtdIIM dIdcosmgL21 00dIdcosmgL212I21sinmgL21 Lsing3IsinmgL dIMd 2mL31I cosmgl21M代入代入四、对定轴的角动量守恒定律四、对定轴的角动量守恒定律012LLttIILLdLMdt 021 0M 12LL II * *角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的两种情况：转动惯量保持不变的刚体转动惯量保持不变的刚

48、体转动惯量可变的物体转动惯量可变的物体例：旋转的舞蹈演员例：旋转的舞蹈演员例：回转仪例：回转仪0 ，则：，则：0II 0M 当当时，时，当当I 增大时，增大时， 就减小；当就减小；当I 减小时，减小时， 就增大，就增大，I从而从而 保持不变。保持不变。作业 练习8，9An example isnt another way to teach, it is the only way to teach. Albert Einstein 例例1 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支点

49、为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ?vamm 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 .2233malmamv 例例2 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀

50、细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前

51、后系统角动量守恒前后系统角动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg 例例3 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设设跷板是匀质的跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员

52、M落在跷落在跷板上板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多可弹起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu m 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh 例例 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质量一质量为为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始时小球开始时静止于圆环上的点静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然然后从后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小求小球滑到点球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球