数学是研究和描述自然现象和社会现象客观规律的重要工

1、第一章 函 数irichlet，1805年1859年）给出了函数的现代定义。在数学的庞大家族中，主要以函数为研究对象的数学分支有“微积分学”、“实变函数论”、“复变函数论”等；而函数思想方法作为一种基本的数学观念已渗透到数学、自然科学、经济科学和管理科学等各个领域。函数是近代数学的基本概念之一，是微积分学研究的对象。高等数学就是以函数为主要研究对象的一门数学课程；其中极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，它是这门课程的基本推理工具；连续则是函数的一个重要性态，连续函数是高等数学研究的主要对象。基本内容：基本概念：映射与函数概念；函数的图象与几何特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性）；基本初等函

2、数、初等函数、复合函数、分段函数以及反函数概念。基本运算：函数的定义域；函数的四则运算及其复合运算；函数的图形变换等。基本理论：对应法则。具体应用：函数在具体问题中的应用。本章重点：函数的概念，基本初等函数及定义域、图象、简单性质等课标导航1掌握数集的定义及表示法，并能用邻域表示实数。2掌握实数绝对值的定义与简单性质，并能用不等式和绝对值表示实数的范围。3掌握函数的概念，重点是定义域、对应法则、值域环节。4理解并能熟记基本初等函数的定义、定义域、解析式、值域、图象和性质。5搞清楚复合函数的概念、复合与分解。侧重于分解。6了解分段函数的概念、反函数概念。7领会初等函数的概念，把握函数的特性。一、

3、知识梳理与链接（一）基本概念1实数、绝对值、集合 实数人们的实践活动总是要与数打交道，它是数学中最重要基本的对象。数可归纳为【注】在高等数学中，所遇到的数基本上是实数。 绝对值绝对值是表示数在数轴上的对应点到原点的距离，函数的定义域或区间范围及其邻域等往往用绝对值表示。数的绝对值定义为 邻域【定义】以点为中心的任何开区间称为点的邻域，记为设是任一正数，则开区间就是点的一个邻域，这个邻域称为点的邻域，记作 ，即 其中：点称为这个邻域的中心，称为这个邻域的半径。由于相当于，因此因为表示点与点间的距离，所以表示：与点距离小于的一切点的全体。点的邻域去掉中心后，称为点的去心邻域，记作 ，即 这里是表示

4、集合集合是数学上一个最基本的概念，数学的每一个分支都离不开它。按照某一法则规定的研究对象的全体称为集合，集合里的各个对象称为这个集合的元素。元素是构成集合的事物或对象，集合是一个基本的数学工具，应用越来越广泛。集合的种类很多，常用到的有以元素多少的分类 全集：研究的所有事物全体构成的集合，记为或 【注意】全集是相对的，在一定条件下是，在另一条件下则不是空集：不包括任何元素的集合。记为或子集：若的元素都是集的元素（，则），称为的子集，记为2映射【定义】设、是两个非空集合，如果存在一个对应法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一的元素与之对应，则称为从到的映射，记作3函数的定义【定义】设数集，则

5、称映射：为定义在的函数，通常简记为 ，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域，记作，即【定义】设有两个变量和，若按照某种对应规则或规律，变量在数集中每取一个值，变量就有一个确定的值与之对应，则称变量是变量的函数，通常简记为 ，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域，记作，即.4.显函数、隐函数、复合函数、参数方程所确定的函数、反函数、分段函数给定的函数基本上是用公式表示的，因为这种表示法便于理论上的分析研究，而用公式表示的函数尤以显函数、隐函数、复合函数、参数方程所确定的函数、分段函数为多见。显函数：形如 ， 的给定的函数，则称为的显函数。隐函数：若自变量为的函数是由方程 确定的，则称为的隐函

6、数。参数方程所确定的函数：设为参变量，若自变量为的函数是由方程组 确定的，则称为由参数方程所确定的的函数。复合函数：设函数的定义域，函数的定义域，值域，而且，那么经过中间变量而成为的函数，这种函数称为由与复合而成的复合函数。记作 分段函数：在不同的定义区间内用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。反函数：设函数的定义域，值域，如果对于任意，存在唯一，使，则有反函数，且与相反的对应法则称为的反函数，记作 习惯上记作5几个常用的函数常函数：形如的函数，其中为常数，称为常函数。绝对值函数：形如的函数，称为绝对值函数。符号函数：函数，称为符号函数取整函数：函数（设为任一实数，不超过的最大整数称为的整数

7、部分，记作）称为取整函数6基本初等函数【定义】幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这五大类函数统称为基本初等函数。7初等函数【定义】由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次复合而成的函数，且能用一个解析式表示的函数称为初等函数。（二）性质、法则、公式1.实数的基本性质有序性：任意两个实数，之间有且仅有三种关系之一成立.；.；.稠密性：任意两个实数，不论相差多么小，在它们之间一定存在着另外无限多个有理数（或无理数）。连续性：全体实数与数轴上的全体点之间有着一一对应关系。因此实数充满整个数轴而没有空隙，实数可以用数轴上的点来表示。正因为这个原因，常把点和实数混同使用，不加以区别。2.

8、集合的运算有：并、交、差和补；并和交都满足交换律、结合律；并对交或交对并具有分配律。3.函数的四则运算设函数，的定义域分别为，且， 则和（差）：积：商：4函数的特性函数的有界性给定函数，且，如果存在一个正数集，对于所有，有 成立，则称函数在上有界。否则，称函数在上无界【注意】在上有界的函数的图形，在上的那一条曲线必介于两条平行于轴的直线之间。函数的单调性给定函数，且，如果对于任意，有，则称函数在内是单调增加（或单调减小）.一般地，函数在内是单调增加（或单调减小）时，它的图形沿着轴的正向是一条不降（或不升）的曲线。【性质】两个单调增加（减少）函数之和是单调增加（减少）函数；两个正单调增加（减少）

9、函数的乘积是单调增加（减少）函数；函数是单调增加的充分必要条件是是单调减少函数；函数（）是单调增加的充分必要条件是是单调减少函数；单调增加（减少）函数的反函数存在，且也是单调增加（减少）函数；若及都是单调增加，则也是单调增加；若及都是单调减少，则也是单调增加.函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称，如果对于任意一个有恒成立，称函数为偶函数；如果对于任意一个有恒成立，称函数为奇函数.函数的周期性给定函数，定义域，如果存在一个正数，对于所有，有 其中：，则称为函数为在上的周期函数。满足上述关系的称为函数的周期，通常我们所说周期函数是指最小的正周期。单值性与多值性对于定义域内每一个值，只确定一个值的

10、函数就是单值性，否则就是多值性。二、友情提醒与内容强化解读我们所采用的函数定义是前两世纪由俄罗斯伟大数学家罗巴契夫斯基（，17931856）及德国数学家狄利克雷（Dirichlet，18051859）引入的，且很快获得数学界的普遍承认。1绝对值不等式实质上是以点为中心，长度为的开区间，即点的邻域；对一个量进行估量时，也常是以绝对值不等式的形式出现的。2集合通常是研究某些具有共同特性的事物组成的集体，是个原始的概念，不加以定义的。它是表示具有某种属性的事物的全体，或是一些确定对象的全体。即明确范围，确定了对象的全体。3理解映射时，必须把握构成映射具备的三要素：集合，即定义域；集合，即值域；对应法

11、则，使对每个，有唯一确定的与之对应。 对每个，元素的像是唯一；而每个，元素的原像不一定是唯一的；映射的值域是的一个子集，即，不一定4掌握函数时必须深刻领会在函数定义中，对每个，对应法则，总有唯一的确定值与之对应，这个值称为函数在处的函数值，记为，即，因变量与自变量之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。记号和的含义是有区别的：前者表示自变量和因变量之间的对应法则，而后者表示与自变量对应的函数值，但为了叙述方便，习惯上常用记号“，”或“，”来表示定义在上的函数，这时应理解为由它所确定的函数函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在内，因此构成函数的要素是：定义域及对应法则.如果两个函数的定义域相同，

12、对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。表示函数的方式没有任何限制，因此，不要认为函数就是式子。式子只是表示函数的一种主要形式，表示函数还可以用图形、列表、语句等其它形式。理解函数时必须细心搞清楚函数的定义域。要注意和不同，前者是函数的记号，表示一个变量，后者是函数值，表示一个数。建立一个函数时最重要的问题是寻找变量之间的对应法则，但解决这个问题没有一个统一的方法，必须对具体问题具体分析，分析问题中的数量关系。5学习函数定义之后，绝不能认为：“有两个变量，一个变，另一个也变，两个变量就成函数关系”。这种说法很不确切。我们知道，函数关系是反映物质运动过程中两个变量的相互联系及其依

13、从关系。定义中告诉我们：自变量在什么范围内（定义域上）取值；因变量按怎样的法则（对应规律）被确定；值域.这是确定两个变量是否成函数关系的三要素。很明显，定义域和对应规律确定了，函数的值域也就确定了。因此，定义域与对应规律是确定函数的必不可少的要素。只有当这两点完全确定，我们才称两个变量成函数关系，更清楚地说变量是自变量的函数。否则我们就会得出许多荒唐可笑的结论：如拖拉机的耗油量与你的饭量成函数关系。因耗油量、饭量是两个变量，一个会变，另一个也会变。这显然是不对的，因为两变量之间没有确定的对应规律。比如在下列函数中，中是的函数，不是.；.这时因对中每一值，都有一个值与之对应，所以是的函数；因中，

14、虽表面上不含，但不论取什么实数，总有确定的值5与之对应；因为对于，有无穷多个值与之对应，所以不是；是的函数。这类函数是分段函数。它是由几个解析式子表示的一个函数；不是的函数，因对任何值，在实数范围内无值与之对应。6要明确判断两个函数是否相同的根据，是函数定义的两个要素：定义域与对应规律。如果两个函数的定义域和对应规律都相同（函数的值域也必相同）。那么这两个函数就是相同的。两者有一不同，就是不同的函数。比如下列各对函数中，是同一函数；也是同一函数；不是同一函数；不是同一函数。因定义域、值域及对应规律都相同；与是表示同一函数，因对应规律同为,函数的定义域（或存在域）也相同。例如与是表示同一个函数。

15、由此可知一个函数由定义域与对应规律完全确定，而与用什么字母表示无关，这点应特别注意。因对应规律不同，事实上；因定义域不同，.7函数法除解析法、图示法及表格法外，还有其它表示法，如用语句来表达一个函数。例如：“是不超过的最大整数”。则也表示是的函数，通常记为.如：；等。又例如：“设是有理数时，的值是1；是无理数时，的值是0”。这句话也确定了是的函数。记为，这个函数叫做狄利克雷函数。以上这两个函数以后将经常用到。8设由函数所确定的反函数为，若再将中与位置对调得函数，那么是的反函数。与是表示同一个函数，是的反函数，所以也是的反函数，与在坐标系下是同一个图形，而与是横坐标与纵坐标位置互换，即点换成，因

16、此两者图形对称于直线，故与的图形对称于直线.9设在其定义域内有界。即对一切有成立，所以对，也有成立,即在的一部分（子集）上也有界。又若在其定义域内无界，但在的子集上不一定无界，因为有界与否，是与所在区间紧密联系在一起的。例如：函数.在整个定义域（(+,0)及(0,+)）上无界，但在子集上却有界。事实上，对一切有界成立。但是在另一子集上函数却又无界。10函数与函数的复合函数通常记为，即，它与复合映射一样，与能构成复合函数的条件是：函数在上的值域必须含在函数的定义域内，即.否则不能构成复合函数。不是任意两个函数都可以复合而成复合函数的。例如，这两个函数，只有当（即角的终边在第一、二象限内），函数的

17、值域,作为函数的定义域，才能有意义。一般地，函数的值域，包含在函数的定义域之中，即，复合才有意义，这也是复合的必要条件，否则，复合就无意义，如在本例中，当时，就无意义。如此，两个函数复合的条件应该重视了。11分段函数是用几个式子来表示一个（不是几个）函数，不仅与函数定义并不矛盾，而且有现实意义，自然科学和工程技术中，经常遇到分段函数的情形，它不是初等函数。12领会函数的奇偶性的要点是定义域关于原点对称是讨论函数的奇偶性的必要（先决）条件，若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。偶函数的图形关于轴对称。因为为偶函数，则，所以点在图形上，那么关于轴对称的点也在图形上；奇函数的图形关于原点对称

18、。因为为奇函数，则，所以点在图形上，那么关于原点对称的点也在图形上；两个奇（偶）函数的代数和是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数；若及都是奇函数，则也是奇函数；若是偶函数，是奇函数或偶函数，则也是偶函数；若是偶函数，且，则是偶函数。学了函数特性之后，不能认为函数就分为两类：奇函数与偶函数，仔细钻研教材，领会到函数中有这样特性的两类函数，但并非只有奇函数或偶函数。还有既不是奇函数也不是偶函数的，例如：线性函数,(为非零常数)，不仅如此，还有既是奇函数又是偶函数的，且这样的函数只有一个.13掌握周期函数时必须注意以为周期的周期函数的图形特点是在轴上每隔长度，

19、重复出现这一周期内的图形。并非每个周期函数都有最小正周期，如：狄利克雷（Dirichlet）函数，这一周期函数，任何正有理数都是它的周期，因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期。具有相同周期的两个周期函数之和及积仍是周期为的周期函数，但当是两个已知周期函数的最小周期时，在作和及积之后，可以不再是新周期函数的最小周期了。例如：都是以为周期的周期函数，但没有最小周期；都是以为周期的周期函数，但以为周期的周期函数三、典型例题分析浏览及解题方法技能技巧解读要把函数概念掌握好，并用它来解决一些问题，关键在于抓住自变量与因变量的对应关系和函数定义域这两个要素，对分段函数比较生疏，也必须予以注意。例

20、1 求函数的定义域。解： 当时，无意义，的定义域为.又 时,无意义，定义域为.综上 的定义域为，即(1,+ ).例2 求函数的定义域和值域。解： 由于在实数范围内，负数是没有平方根的，所以，有,即，值域为0,1.【小结】在微积分中，我们都在实数范围内进行讨论，求函数的定义域，就是在实数范围内求出能使函数有对应值的自变量的全体；无理函数中遇到偶次方根时，定义域是被开方式为非负数的实数集合；在分式函数中，要除去使分母为0的那些值；在对数函数中，要除去使真数部分小于等于0的那些值；如果所给定的函数为基本初等函数经过四则运算后而得到的，则定义域为整个基本初等函数的定义域的交集。如在例1中例3 求函数的

21、定义域。解 要使 ，必须，即当时，即使不属于实数范围，因时，因而也可认为是有定义的。由上所述，函数的定义域为以及例4 设函数，计算、.解 0<2,1<2, 计算时要分两种情形：当时，；当时，【注意】函数的定义域说明自变量在哪个范围内取值时，函数关系的解析表达式才能成立。通常若该表达式后面不加注明，就把定义域理解为能使表达式有意义的那些自变量的全体，在这种意义下，定义域也叫做函数的存在域。例5 自变量跑过区间，问函数跑过怎么样的集合。解 时，；又当时，；故知y跑过集合 .例6 若自变量的诸值组成一等差级数，求证：1°对于线性函数，函数值也组成一等差级数；2°对于指数函数，函数值组成一等比级数。 图11【证明】 因组成等差级数，则证1°：，此即也组成等差级数。再证2°： 而 此即组成等比级数。例7证明函数分别在区间与上有界。【分析】欲证函数在某一区间上有界，只须找到一个，使得对于一切，有成立：或者找到两个数（其中），使得对于一切，有成立。分别称为在上的下界与上界。证明：上单增。,注意到,于是有 图12.这就证明了在，1上有界，2lg与0分别是它的下界与上界。对于，显然0是的下界，因。为了