连续信号与系统的频域分析

1、连续信号与系统的频域分析开始下一页结束本章说明 以正弦信号为基本信号，分析工程上常用的周期信号和非周期信号的基本特性以及信号在系统中传输问题。建立周期信号频谱概念，掌握其特点。利用傅里叶变换建立信号时域和频域的内在联系。通过傅里叶变换性质进一步揭示信号在一个域的变换与运算在另一个与所引起的效应。了解系统频率特性对信号传输的影响。给出理想滤波器与实际滤波器的概念。开始下一页结束内容n周期信号的分解与合成n 周期信号的傅里叶变换n 周期信号的谐波分析n 吉伯斯现象n 周期信号的对称性与谐波含量的关系n周期信号的频谱及特点n 频谱的概念n 周期信号频谱特点n 指数形式的傅里叶级数n 双边频谱n 周期

2、、脉宽与频谱的关系n 信号的频宽与信号的持续时间的关系开始上一页 下一页结束n非周期信号的频谱傅里叶变换n 非周期信号的傅里叶变换n 单个脉冲信号的频谱及特点n 典型信号及其频谱n傅里叶变换性质及应用n系统的频域分析n 系统的频域分析及频响特性n 信号不失真传输n 理想滤波器与实际滤波器n信号的功率谱和能量谱n调幅波及其频谱引言 由电路理论的学习可知，简单信号（如直流信号和正弦交流信号）作用于线性系统的响应一般较容易求取，这些方法在电路课中已经学习并已完成。但是由于通信系统所要传输的信号是多种多样的且常常具有较为复杂的波形，要求这样一些信号的响应就不容易了。为了解决这个问题，我们再次应用前一章

3、的思想。一.思想1.将复杂信号分解成许多简单信号不同频率不同幅值的正弦信号（时域 分析中是分解成许多冲激信号或阶跃信号）；2.用电路中相量法求出每个正弦信号（许多虚指数）激励的响应；3.叠加全部响应获得复杂激励作用下的响应。此外，信号和系统均具有其频率特性，也需要我们研究其频率特性二.信号的频率特性信号的分解 周期信号的傅立叶级数 非周期信号的傅立叶变换（从频率角度认识信号特性）三.系统的频率特性研究信号通过系统时，系统频率特性对信号的影响。 傅立叶变换还可以将系统的时域微分方程变成频域的代数方程，并为零状态响应求取又开辟了另一条路径。现在我们就进行信号的频域分析。 开始上一页 下一页结束一.

4、周期信号分解与合成傅氏变换n1.周期信号的傅里叶级数谐波之和形式的傅氏级数一个周期为T的周期信号 在一个周期内-T/2,+T/2满足狄利赫理条件(1.连续或只有有限个间断点2.只有有限个极值点3.在一个周期内绝对可积）信号 可以表示成：信号与系统的频域分析可以直观地观察到一个时间信号的频率特性从频域角度认识信号特性傅里叶变换可以将系统时域微分方程转化成频域代数方程sec/221radTfT为周期信号的周期开始上一页 下一页结束)(tf)(tf物理意义：任意一个代表信号的周期函数均可以用一个直流分量、基波分量和一系列谐波分量之和表示任意一个代表信号的周期函数是由许许多多的不同频率、不同幅值的正弦

5、分量组成 )cos()2cos()cos(212121110kktkAtAtAa 的直流分量 的基波分量 的二次谐波分量 的K次谐波分量n2.周期信号的谐波分析周期信号的分解与合成周期信号是由直流分量，基波分量及一系列谐波分量之和组成周期方波信号：仅含有奇次谐波为偶数为奇数）.)5sin513sin31(sin2)()(0,(2, 0)sincos(2)(010tttAtfnbnnAbaatnbtnaatfTnnnnnnT开始上一页 下一页结束)(tf)(tf)(tf)(tftAtfnTsin2)(1)3sin31(sin2)(3ttAtfnT)5sin513sin31(sin2)(5tttA

6、tfnT 可见随着所取得谐波项数的增加，合成信号的边沿更陡峭，顶部纹波增多但更趋平坦更接近方波形状结论：用基波及各次谐波来近似（组成）信号时所取得谐波分量愈多，波形越接 近原信号波形。 1.频率较低的谐波振幅较大，它们是组成方波的主体（含主要信息量） 2.频率较高的谐波分量振幅较小，它们决定了方波的细节（含细节信息）由直流分量、基波分量以及具有不同幅值和相位的各次谐波的叠加可以在时域内构成原周期信号。 开始上一页 下一页结束n3.吉伯斯现象 由具有不连续点的周期信号的合成可见，当选取傅里叶级数项数增多时，合成的波形虽在总趋势上更逼近原信号，但在不连续点两侧呈现起伏。随着项数的增多，起伏峰便靠近

7、不连续点，但峰值的大小并不下降，且起伏在不连续点两侧呈衰减振荡形式的现象。 n4.周期信号的对称性与谐波含量的关系1偶函数信号关于Y轴对称开始上一页 下一页结束2奇函数信号关于原点对称3偶谐函数信号半波重叠信号开始上一页下一页结束4奇谐函数信号半波镜像信号开始上一页 下一页结束几种常用的周期信号的傅里叶级数周期方波周期矩形波周期三角波周期锯齿波全波整流半波整流开始上一页 下一页结束二.周期信号的频谱及特点n1.周期信号的频谱概念频谱：为了直观而准确地表示信号中各频率分量的大小和相位，将各次谐波分 量大或相位按频率的高低排列成谱线得到的图称为频谱。它从频域的角度 反映了该信号所携带的信息。可分为

8、：幅度谱将信号的各次谐波的振幅按频率的高低排列的谱线 （各次谐波的振幅随频率变化的关系）相位谱将信号的各次谐波的相位按频率的高低排列的谱线 （各次谐波的相位随频率变化的关系） 频谱图中的每一个垂线称谱线，所在位置为n倍角频率，每个谱线的高度为高次谐波的振幅或相位。开始上一页 下一页结束n2.周期信号的频谱特点离散的由频率离散的谱线组成，每个谱线位移各谐波分量。谐波的谱线只在基波的整数倍频率上出现。收敛的随谐波频率增加各次谐波的振幅下降。 当谐波次数趋于无穷大时，谐波分量的振幅趋于零n3.指数形式的傅里叶级数njnnTTtjnTntjnnnTeAAdtetfTAeAtf2/2/)(221)(开始

9、上一页 下一页结束周期信号可以由直流分量和一系列虚指数信号组成；在指数形式的傅里叶级数中由于每对相同N值的正负倍基波频率合成一个余弦信号（谐波分量）所以其频谱图的谱线在频率轴的负半轴也存在双边频谱。但这并不意味着有负频率的存在， 只是把第n次谐波正弦分量分解成两个虚指数后出现的数学形式。可以画正频率轴的单边频谱（只有幅度谱为实数时才可以将幅度谱和相位谱画在一起）。n4.双边频谱周期矩形脉冲频谱开始上一页 下一页结束n实例：开始上一页 下一页结束n5.周期和脉宽与频谱的关系2,2,2BTAATn信号频带宽幅度基波频率开始上一页 下一页结束1当信号的周期不变，脉冲宽度减小时 频谱幅度减小；相邻谱线

10、间隔不变；频谱包络线过零点的频率增高，频谱幅度收敛速度变慢；频率分量增多；2当脉冲宽度不变，周期增大时 频谱幅度减小；谱线间隔变小，谱线加密；包络线过零点的频率不变； 离散谱变成连续谱，幅度趋近于零，但频谱包络形状不变 （各次谐波分量的幅度之间的相对比例关系不变）；信号的频带宽度： 从频谱图上可以看出，信号的主要信息部分（幅度）集中在的低频分量， 而频率较高的分量的信息（分量）较小，可以视近似程度加以忽略。因此， 定义信号频带宽度为频谱第一个过零点的频率。T2Bn6.信号频宽与信号持续时间的关系信号的频带宽度与信号的持续时间成反比（脉宽与频宽成反比）即信号持续时间愈长（时域脉宽宽，变化速度慢）

11、信号的频带愈窄（频域变化速度快）；反之亦然。开始上一页 下一页结束三.非周期信号频谱傅里叶变换n1.非周期信号的傅里叶变换 当周期信号的周期趋于无穷大，周期信号就变成了非周期信号。所谓无限大周期是指一个信号作用系统之前，前一个信号作用的效应已全部消失非周期信号。非周期信号的分解傅里叶变换。即：将非周期信号表示成为虚指数函数的连续和。从频域角度认识信号的频率特性。)(1)()()()()()()()(jjejFjFtfjFFjFtfFjFtf为复数，简称频谱密度函数。为幅度谱，表示各频率分量幅度的相对大小。 为相位谱)(jF)(j)(jF开始上一页下一页结束傅里叶变换的物理意义：1非周期信号可以

12、分解为无限多个频率为，幅度为djF)(tjetjen2.单个脉冲信号的（频谱）傅里叶变换开始上一页下一页结束)(tf的虚指数信号分量的连续和形式，每一对 的分量对应一个正弦分量。2周期信号的能量是集中在一些谐波分量中；非周期信号的能量是分布在所有频率分量中，每个频率分量的能量为无穷小；3信号也应满足狄氏条件即绝对可积说明：1非周期单个矩形脉冲频谱与周期矩形脉冲的频谱包络形状相同，均为抽样函数信号 形状（因为非周期信号的周期为无穷大各个频率分量的实际振幅为无穷小，无法画出了，因此必须用其频谱密度函数作出，它反映了各频率分量相对大小）2周期矩形脉冲的复振幅 非周期信号的频谱密度函数 存在关系 只要

13、知道非周期信号的频谱，就可以利用以上关系求出该非周期信号变成周期信号后的复振幅也适用于其它信号，实现周期信号的傅里叶级数分解。3周期矩形脉冲信号频谱的一些特点在单个矩形脉冲信号频谱中仍然保留：脉宽与频宽成反比，4非周期信号的频谱特点：连续的，收敛的xxxSasin)()2/(2nSaTAAn)2/()(SaAjFnnjFTA)(2开始上一页 下一页结束n3.典型非周期信号的（频谱）傅里叶变换1单边指数信号2方波信号开始上一页 下一页结束3余弦脉冲信号4冲激信号开始上一页 下一页结束5直流信号6阶跃信号开始上一页 下一页结束7符号函数8单边正、余弦信号开始上一页 下一页结束9抽样信号开始上一页

14、下一页结束四.傅里叶变换性质及应用n1.线性性 傅里叶变换的性质揭示了信号的时域特性与其频域特性的对应关系。即信号在一个域的运算或变化，在另一个域所引起的效应，从而可使变换运算时得以简化。 n2.尺度变换性正常速度播放12倍原速度播放 二倍原速度播放以三种速度播放声音及对应频谱信号时域波形的压缩与扩展对应其频域图形的扩展与压缩，且两域内压扩倍数一致开始上一页 下一页结束n3.对称性)(211)(t信号时域波形与频谱函数具有对称互易关系，即除幅度相差 外其图形可以互换2n4.时移性实例：开始上一页 下一页结束n5.频移性)(000)(1)(abjtjeaFaebatf)()()()(00Fetf

15、Ftftjtje0)(F0这种将频谱搬移的过程称调制。f (t) 称为调制信号， )()(21cos)()()(000FFttfFtfttf0cos)(t0cos开始上一页下一页结束)(tf)(tf时域 乘对应频域将频谱沿轴向右向左搬移称为载波信号，称为已调信号n6.时域微分及积分性0)(,tft)()0(Fn7.时域卷积定理开始上一页下一页结束积分性微分性)()()(*)()()(),()(21212211jFjFtftfjFtfjFtf两个门信号的卷积：两个抽样信号的卷积：实例：开始上一页 下一页结束n8.频域卷积定理周期信号的傅里叶变换：)()(/2,)(221)(2/2/nAjFTeA

16、AdtetfTAeAtfnnjnnTTtjnTntjnnnTnTnnTttnnT2, )()()()(冲激序列的频谱：开始上一页 下一页结束)(*)(21)()()()(),()(21212211jFjFtftfjFtfjFtf)()(2*)(21)()()(*)()(000000FFetfejFtttfttftjtj频移特性有频域卷积定理推出：五.连续系统的频域分析n1.系统频域分析（求响应）及系统频响特性时域卷积定理和叠加定理为依据1系统函数定义：对于LTI系统，输入激励为 ，系统冲激响应为 则系统零状态响应为 根据时域卷积定理)()()()()()()()(),()(jEjYjHjHjF

17、jYjHthjFtfzszs系统函数为物理意义：单位冲激响应的傅里叶变换)()()(jjejHjH由系统本身的结构及参数特性，与激励响应无关)()(jjH系统的幅频特性，为偶函数系统的相频特性，为奇函数开始上一页 下一页结束)(*)()(thtfty)(tf)(th2求系统响应 傅立叶变换可以将时域中激励、响应的微分方程变成激励、响应的代数方程从而简化了零状态响应的求取。但是是以增加两次积分变换为代价的。A 周期信号通过线性系统的稳态响应（分析）电路理论课中完成学习步骤：将周期信号傅立叶级数分解许多不同频率和幅值的正 弦信号（各次谐波分量）. 分别求出各次谐波单独作用于系统的响应电路理论方法

18、（直流稳态分析和正弦稳态分析的相量法） 【注意】直流信号激励下电感L短路，电容C断路 正弦信号激励下容抗和感抗随频率变化 将各次谐波的的响应瞬时值叠加 LnXCnXLC1开始上一页 下一页结束B非周期信号通过线性系统的瞬态响应（分析）步骤：将非周期激励信号傅里叶变换 求出系统的系统函数 求出零状态响应)()()()()()()()(jHjEjYjEjYjHjEtezszs实例：)(1)()(jEtejjjEYH11111)()()(jjjjEHUYR111)()(111)()()()(VtetettutyttC)()1 ()()()()(可见响应与激励的波形也不同了信号在通过系统时，系统的频率

19、特性对其的影响使响应与激励的波形发生了变化称为失真。开始上一页下一页结束n2.理想不失真传输系统输出信号与输入信号的不同将取决于系统的特性 当时间常数（系统的参数特性）愈小，输出信号波形愈接近输入信号波形，即失真愈小。 通过以上实例可见一般线性系统的响应波形与激励波形不同。也就是说信号在通过系统传输过程中由于系统对它的影响而发生失真。在通信技术中除了某些情况下有意识用电路进行波形变换外，总是希望在信号传送过程中失真最小。因此我们需要针对产生是真的原因研究信号通过系统不产生失真的理想条件。1造成信号失真的因素由于系统对各个频率分量的幅度衰减程度不同，从而使响应的各频率分量的相 对比例关系发生了变

20、化幅度失真由于系统使各个频率分量的相位不与频率成正比，从而使各个频率分量的相对 位置发生变化相位失真但是在以上两种失真中信号并没有产生新的频率分量因此称为线性失真 开始上一页 下一页结束2理想不失真传输条件信号不失真传输 输入信号经过系统后，输出信号与输入信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而形状不变。不失真传输系统的频率特性 即：系统幅频特性在整个 频率范围内为常数 （无限宽均匀通频带） 系统相频特性在整个频率 范围内与频率成正比 （过原点的直线）0)(0)(,)()()()()()()()()(),()()()(00tkHkeeHFYHekFYFtfYtyttkftytjjtj开始上一

21、页 下一页结束3理想滤波器与实际滤波器滤波器能使规定频率的信号通过，而其它频率信号受到抑制的系统（装置）理想滤波器系统的幅频特性和相频特性在某一频带内满足不失真传输条件（即幅频特性在某一频带内为常数，相频特性在某一频带内与频率成正比或为过原点的直线）滤波器分类按频率传输特性分 ： LPF（低通滤波器）HPF（高通滤波器）BPF（带通滤波器）开始上一页 下一页结束按通带特性分：（低通滤波器为例）巴特沃兹滤波器通带平滑（最平坦型）过渡带陡度不严格（阶跃响应有过冲） 边界逼近程度差切比雪夫滤波器通带纹波（起伏型）过渡带陡度严格（阶跃响应有过冲） 边界逼近程度好贝赛尔滤波器通带平滑（较平坦型）过渡带陡

22、度不严格（阶跃响应无过冲） 边界逼近程度差理想低通滤波器特性在（ ）频率范围内，信号不失真传输其他频率信号完全受到限制（阻断）cc,开始上一页 下一页结束理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 冲激响应可见，在t0时h(t)0，理想滤波器它们均是非因果系统，是物理不可实现系统。实际低通滤波器的频率特性 实际低通滤波器的冲激响应开始上一页下一页结束阶跃响应六.信号的功率谱和能量谱我们前面用频谱来表征信号频率特性，现在我们将用另一种表征信号特性的方法。n1.周期信号的功率谱周期信号具有无限大的能量，但其功率是有限的功率信号，其重要参数为平均功率。电路理论的结论：非正弦周期信号（电压和电流）的有效值为该

23、信号所含各次谐波分量有效值的平方和的平方根。表示成 所有的理想（低通、高通、带通、带阻）滤波器均为非因果系统，是物理无法实现的。物理上可以实现的系统只能是用对理想特性的逼近来实现。当然所找到的系统函数与理想特性间的误差应在工程允许范围内。按其逼近方式不同，选择不同的系统函数，设计出的滤波器也不同。（有巴特沃兹滤波器，切比雪夫滤波器，贝塞尔滤波器等） 122012201220212202;21;21nnnnnnmnnmUUUIIIUUUIII或开始上一页 下一页结束如果该电流或电压作用于单位电阻，则在一个周期内吸收平均功率 即：周期信号的平均功率为该信号各次谐波分量之和帕什瓦尔定理，表明时域中信

24、号与频域中的信号功率相等。功率随频率的变化关系称信号的功率谱其形状与振幅谱的平方相同，周期信号的功率分布在各次谐波分量中。二.非周期信号的能量谱非周期信号的能量是有限的能量信号，在 平均功率为零。信号的总能量即信号在1电阻上瞬时功率为在信号出现的全部时间内可以证明该等式表明信号在时域的能量于在频域的能量相等帕什瓦尔定理在非周期信号的表示式雷利定理 1002/2/12202122022/2/2cos;)(1)(1nnnnTTnnnnTTIUIUUUUIIdttuTdttiTP1220212nnAAPtdFdttfW22)(21)()(2tf开始上一页 下一页结束非周期信号是由无限多个振幅为无穷小

25、的频率分量所组成，因此个频率分量的能量也为无穷小，为了表明信号能量在各个频率分量中的分布情况，我们也利用分析振幅频谱类似方法借助密度的概念来定义能量密度频谱函数（单位频带内的能量）简称能量谱 与幅度频谱的平方相同信号在整个频率范围全部能量为2)(1)(FG0)(dGW七.调幅波及其频谱n1.调制的概念用待传输的低频信号去控制一个高频振荡的振幅频谱或初相等参数之一。 振幅调幅AM用低频信号去 控制高频振荡的 频率调频FM 相位调相PM 待传输的低频信号称为调制信号 高频信号称为载波信号，仿佛起着运送低频信号的工具作用。 称为已调信号载波信号的幅度随调制信号变化就称为调幅波)(tftA0costt

26、Af0cos)(开始上一页 下一页结束2.调制的目的1因为声音、图像、编码所转变的电信号的主要信息量（主要频率分量）集中在低频段上，不能直接以电磁波形式辐射到空间进行远距离传播，因为只有当馈送到天线的电信号频率足够高（即信号的波长足够短）天线的尺寸可以与波长相比拟，才有足够的电磁波能量辐射到空间去传输信号。但是低频信号所对应的波长可以从十几公里到几十时公里，要造出如此大的天线显然是不可能的。 即使可以有如此大的天线，把这种低频信号辐射出去，各个电台所发出的信号也将在空间纠混在一起，相互干扰，使接收者无法获得所需要的信号。因此为了能将信号辐射出去，需要把要传输的低频信号托附到高频振荡上。 开始上

27、一页 下一页结束2频分复用：同时为了使接收者有效接收所需要的信号，不同电台可以使用不同的高频载波信号，接收者只要用一个选频网络就可以避免干扰地把所需电台信号接收。因此将若干个要传送的信号，分别搬移到不同载波频率上，并使各信号的频谱互不重叠，就可以在一个信道内同时传送多个信号（或者：将信道按频率划分成若干个频段，使每个频段内仅传输一路信号），使信号互不重叠传送的传输方式称为频分复用。开始上一页 下一页结束3.调制原理傅立叶变换的频移特性的应用)()(21)()(*)(21)(*)(21)()(21)(21cos)()()()()(cos)(),()(),()(0000000000FFAAFXFY

28、etAfetAfttAftyAXtAtxYtyFtfjtj开始上一页 下一页结束可见信号时域乘以一个等幅高频振荡，相当于在频域把原信号的各频率分量均搬至高频振荡的频率上，幅度为原来的信号的一半。即在响应 中保留有原信号的各频率分量信息我们现在实现了把低频信号送到高频段上，可以较容易用天线发射出去。但到了接收端，要得到我们所需信息就应使之还原为原低频信号解调)()(21)(2cos)(21)(212cos1)(21cos)()(,cos)()(221Ytftyttftfttfttftyttftycccc开始上一页 下一页结束)(Y4.解调原理1同步解调由于上面的解调方式由在接收端乘上一个本地载波

29、，因此会使接收机复杂化。由于在实际中接收机数量太多，而发射机数目一般很少，因此为了在接收机 端省去一个本地载波故而只好在发射机上做文章。在发射机上加一定强度的高频振荡（载波信号）2包络解调这时可以利用简单的包络检波器（二极管RC电路）方便地提取一已调信号的包络（调制信号）来恢复原信号。)(0)(,cos)()(teAteAAtteAtfc已调信号的包络为足够大，只要开始上一页 下一页结束5.调幅波的频谱1调制信号为一个某频率的正弦信号 )cos(2)cos(2)cos()cos()cos(1 )(0000tAmtAmtAttmAtfcccc结论：已调波（调幅波）信号的频谱有三个不同频率的正弦波组 成。上下边频对称排列在载频两侧。 已调波（调幅波）信号的频宽为调制信号频率的二倍2调制信号为复杂的周期信号有许多不同频率的谐波分量组成 2SB开始上一页 下一页结束2调制信