第15章信用风险定价1

1、.第15章 信用风险定价n15.1 信用评分模型信用评分模型n15.2 用期权定价模型计算违约概率用期权定价模型计算违约概率n15.3 用期权定价模型计算信用风险用期权定价模型计算信用风险溢价溢价.15.1 信用评分模型信用评分模型n15.1.1 Z-得分模型得分模型n1968年，爱德华年，爱德华.奥特曼（奥特曼（Edward Altman）首先提出）首先提出用公司的财务比率指标来预测违约率，称为用公司的财务比率指标来预测违约率，称为Z-得分（得分（Z-Score）模型。奥特曼利用企业的）模型。奥特曼利用企业的5个财务比率指标预测个财务比率指标预测企业的违约率，这五个比率指标分别是：企业的违约

2、率，这五个比率指标分别是：n 为流动资金为流动资金/总资产总资产(working capital/total assets);n 为留存收益为留存收益/总资产总资产(retained earnings/total assets);n 为息税前利润为息税前利润/总资产总资产(earnings before interest and taxes/total assets);n 为股票市值为股票市值/账面负债总额账面负债总额(market vale of equity/book value of total liabilities);n 为销售收入为销售收入/总资产总资产(sales/total a

3、ssets)。1x2x3x4x5x.nZ-得分模型为：得分模型为：n当当 时，公司违约的可能性很小；时，公司违约的可能性很小；n当当 时，应该对公司的信用保持警惕；时，应该对公司的信用保持警惕；n当当 时，公司有一定违约的可能；时，公司有一定违约的可能；n当当 时，公司违约的可能性很大。时，公司违约的可能性很大。n利用利用Z-得分模型，奥特曼对得分模型，奥特曼对66家公司进行了实证研究，家公司进行了实证研究，其中其中33家公司在一年内违约破产，另外家公司在一年内违约破产，另外33家公司得以生家公司得以生存。存。n得分模型自变量系数的选择没有理论根据，另外，根据得分模型自变量系数的选择没有理论根

4、据，另外，根据经验判断企业的违约可能性，而得不到企业违约的概率。经验判断企业的违约可能性，而得不到企业违约的概率。logistic模型可以给出企业违约的概率。模型可以给出企业违约的概率。543210 . 16 . 03 . 34 . 12 . 1xxxxxZ3Z37 . 2 Z7 . 28 . 1 Z8 . 1Z.n15.1.2 logistic模型模型n假设假设 是随机变量是随机变量 的观测值。随机变量可以是得分模型中的财务比率指标，的观测值。随机变量可以是得分模型中的财务比率指标，也可以其他影响企业违约的指标。例如，财务杠杆，资也可以其他影响企业违约的指标。例如，财务杠杆，资产利用率，盈利

5、能力，流动性，规模大小，效率，资产产利用率，盈利能力，流动性，规模大小，效率，资产负债表的结构。企业违约的概率为：负债表的结构。企业违约的概率为：n其中：其中： 为企业违约的概率；为企业违约的概率； 为常数；为常数； 为自变量为自变量 的权重；的权重； 为指标个数。为指标个数。),(21nxxxx),(21nXXXXniiixp1)exp(11piixn.n自变量的权重和常数项用极大似然估计。经过塔斯科自变量的权重和常数项用极大似然估计。经过塔斯科（Tasche，2003)的实证研究，的实证研究，logistic模型明显优于模型明显优于得分模型。得分模型。n为了反映自变量之间的相互作用，又提出

6、二次为了反映自变量之间的相互作用，又提出二次logistic模模型。型。n其中：其中： 为自为自 变量二次项的权重。变量二次项的权重。n二次二次logistic模型不仅反映了自变量的非线性关系，还反模型不仅反映了自变量的非线性关系，还反映了自变量之间的相互影响。自变量的权重和常数项用映了自变量之间的相互影响。自变量的权重和常数项用极大似然估计。利用统计软件极大似然估计。利用统计软件SPSS中的逻辑回归可以求中的逻辑回归可以求出常数出常数 、 和和 。nijninjiijiixxxp111)exp(11ijjixxiij.n15.1.3 距离模型距离模型n距离模型是由达萨拉思（距离模型是由达萨拉

7、思（Dasarathy,1991）提出的，他的基本思想是：提出的，他的基本思想是：“判断一个人要依判断一个人要依据他（她）所在的公司。据他（她）所在的公司。”同理，判断一个公同理，判断一个公司是否会违约，要看距离该公司最近的公司是司是否会违约，要看距离该公司最近的公司是否会违约。自变量可以选用资产收益率、资产否会违约。自变量可以选用资产收益率、资产负债率等指标。公司的资产收益率越高、资产负债率等指标。公司的资产收益率越高、资产负债率越低，公司违约的概率就越低；反之，负债率越低，公司违约的概率就越低；反之，公司违约的概率就越高。我们的目的是用距离公司违约的概率就越高。我们的目的是用距离模型对一家

8、新公司进行分类。模型对一家新公司进行分类。.n假设已经有假设已经有 个样本公司，每个样本选取个样本公司，每个样本选取 个指标作个指标作为自变量（或解释变量）。公司为自变量（或解释变量）。公司 的指标的指标为为 ，公司，公司 的指标为的指标为 。则公。则公司司 和公司和公司 之间的欧式（之间的欧式（Euclidean）距离为：）距离为：nkjkikijxxd12)(mji ,1nk 1iniixxx,21jnjjxxx,21mniijj.n通过计算公司之间的距离，我们可以得到一个的距离矩通过计算公司之间的距离，我们可以得到一个的距离矩阵。矩阵对角线上的元素均为零，因为公司与自身的距阵。矩阵对角线

9、上的元素均为零，因为公司与自身的距离为零。上下对称，共有离为零。上下对称，共有 个距离元素。个距离元素。n距离把样本公司分成两类：非违约公司和违约公司。非距离把样本公司分成两类：非违约公司和违约公司。非违约公司之间的距离较近，违约公司之间的距离也较近，违约公司之间的距离较近，违约公司之间的距离也较近，两类公司之间的距离较远。两类公司之间的距离较远。n如果要考察一家新公司是否会违约，我们必须考察与新如果要考察一家新公司是否会违约，我们必须考察与新公司距离最近的临近公司违约情况。如果临近公司均为公司距离最近的临近公司违约情况。如果临近公司均为违约公司，被考察公司违约的可能性较大；如果临近公违约公司

10、，被考察公司违约的可能性较大；如果临近公司均为非违约公司，被考察公司违约的可能性较小。司均为非违约公司，被考察公司违约的可能性较小。 2/ ) 1(mm.n选取临近公司的数量不能太多，也不能太少。如选取临近公司的数量不能太多，也不能太少。如果临近公司太少，结果不稳定；如果临近公司太果临近公司太少，结果不稳定；如果临近公司太多，会丢失一些有价值的信息。乔伊多，会丢失一些有价值的信息。乔伊（Choi,1986）认为临近公司的数量）认为临近公司的数量 ，比较合适。到目前为止，还没有一个公认的比较合适。到目前为止，还没有一个公认的l值。值。n例如，如果样本容量为例如，如果样本容量为81家公司，就选择距

11、新家公司，就选择距新公司最近的公司最近的3家公司作为临近公司。如果这家公司作为临近公司。如果这3家家临近公司全部为违约公司，新公司也为违约公司；临近公司全部为违约公司，新公司也为违约公司；如果这如果这3家公司全部为非违约公司，新公司也为家公司全部为非违约公司，新公司也为非违约公司；如果这非违约公司；如果这3家公司既有违约公司，也家公司既有违约公司，也有非违约公司，就很难断定新公司是否会违约。有非违约公司，就很难断定新公司是否会违约。4ml .n如果用临近公司不能判断公司是否会违约，可以计算新如果用临近公司不能判断公司是否会违约，可以计算新公司距违约公司和非违约公司重心的距离再进行判断。公司距违

12、约公司和非违约公司重心的距离再进行判断。如果新公司距违约公司的重心较近，可以断定新公司为如果新公司距违约公司的重心较近，可以断定新公司为违约公司；如果新公司距非违约公司的重心距离较近，违约公司；如果新公司距非违约公司的重心距离较近，可以断定该公司为非违约公司。要想判断一家公司是否可以断定该公司为非违约公司。要想判断一家公司是否会违约，上述三种方法可以结合起来使用。会违约，上述三种方法可以结合起来使用。n科迪斯和瓦尼可（科迪斯和瓦尼可（Cortes,Vapnik,1995）提出支持向）提出支持向量机（量机（Support Vector Machines, SVMs）。支持向）。支持向量机的主要思

13、想是利用一个理想的超平面，把样本公司量机的主要思想是利用一个理想的超平面，把样本公司分成违约公司和非违约公司。这个超平面分线性超平面分成违约公司和非违约公司。这个超平面分线性超平面和非线性超平面。关于支持向量机请读者参考其他文献，和非线性超平面。关于支持向量机请读者参考其他文献，是目前研究的热点问题之一。是目前研究的热点问题之一。.n15.1.4 支持向量机支持向量机n科迪斯科迪斯(Cortes)和瓦尼可（和瓦尼可（Vapnik,1995）提出支持）提出支持向量机（向量机（Support Vector Machines, SVMs）。由）。由于支持向量机需要估计的变量少，而且效果良好，受于支持

14、向量机需要估计的变量少，而且效果良好，受到广泛的关注。支持向量机的主要思想是利用一个理到广泛的关注。支持向量机的主要思想是利用一个理想的超平面，把样本公司分成违约公司和非违约公司。想的超平面，把样本公司分成违约公司和非违约公司。这个超平面分线性超平面和非线性超平面。这个超平面分线性超平面和非线性超平面。n假设我们用两个变量来考察样本公司，我们可以用一假设我们用两个变量来考察样本公司，我们可以用一条直线（或曲线）把公式分成违约和不违约公司，这条直线（或曲线）把公式分成违约和不违约公司，这样的支持向量机称为线性支持向量机。考查样本公司样的支持向量机称为线性支持向量机。考查样本公司是否违约需要多个指

15、标，这样就需要一个超平面把样是否违约需要多个指标，这样就需要一个超平面把样本公司划分成违约和非违约公司。本公司划分成违约和非违约公司。 .n假设用假设用 个指标度量公司的违约风险个指标度量公司的违约风险 ，每个指标的权重为每个指标的权重为 。对于线性支持。对于线性支持向量机，超平面为：向量机，超平面为：n其中其中: 为常数。为常数。n把被考察公司的参数代入公式后，如果被考察公司在把被考察公司的参数代入公式后，如果被考察公司在超平面上，超平面上， ，被考察公司可能违约，也可，被考察公司可能违约，也可能不违约；如果，能不违约；如果， ，被考察公司不会违约；，被考察公司不会违约；如果，如果， ，被考

16、察公司会违约。，被考察公司会违约。,21nTxxxX,21nTwwwWcwXWT0cwXWT0cwXWT0cwXWT0nc.n爱德华爱德华.奥特曼（奥特曼（Edward Altman，1968）的得分模）的得分模型就是一个线性超平面。型就是一个线性超平面。n对于非线性支持向量机，用对于非线性支持向量机，用 的函数的函数 代替代替 。超。超平面为：平面为：n对非线性支持向量机，求权重向量要困难得多。对非线性支持向量机，求权重向量要困难得多。38 . 1 c,54321xxxxxXT0 . 1 , 6 . 0 , 3 . 3 , 4 . 1 , 2 . 1TWX)(XfXcwXfWT0)(.n15

17、.2 用期权定价模型计算违约概率用期权定价模型计算违约概率n与其他方法相比，用期权定价模型计算公司的预与其他方法相比，用期权定价模型计算公司的预期违约率更加完善。从期违约率更加完善。从1993年起，年起，KMV公司就公司就向其他公司推荐这种方法。向其他公司推荐这种方法。KMV公司认为债务公司认为债务人的账面价值是引起违约的临界值。当债务人的人的账面价值是引起违约的临界值。当债务人的账面价值大于债务时，发生违约的概率较小；反账面价值大于债务时，发生违约的概率较小；反之，违约的概率较大。因为公司的账面价值数据之，违约的概率较大。因为公司的账面价值数据很少，很难获得公司账面价值的概率分布，这里很少，

18、很难获得公司账面价值的概率分布，这里用公司的市值代替账面价值。如果到期时公司的用公司的市值代替账面价值。如果到期时公司的债务为债务为 元，公司的市值元，公司的市值 为。则公司违约的概为。则公司违约的概率率 为：为：FTVq.n在在Black-Scholes期权定价模型中，假设公司的市值期权定价模型中，假设公司的市值服从几何布朗运动过程服从几何布朗运动过程:n其中：其中： 为公司的市场价值，对数收益率服从正态分为公司的市场价值，对数收益率服从正态分布；布；n 为收益率常数漂移项，表示公司资产收益率均值；为收益率常数漂移项，表示公司资产收益率均值；n 为资产收益率常数波动率，又称收益率的扩散项；为

19、资产收益率常数波动率，又称收益率的扩散项；n 为为 测度下的维纳过程。测度下的维纳过程。FVPqTdWVdtVdVttttVWP.n根据前面的章节，我们可以得到上述随根据前面的章节，我们可以得到上述随机微分方程的解为：机微分方程的解为：n其中：其中： 为无风险利率；为无风险利率；n 为为 测度下的维纳过程。测度下的维纳过程。n假设投资者是风险中性的，公司资产的假设投资者是风险中性的，公司资产的收益率应该是无风险利率，将公司的实收益率应该是无风险利率，将公司的实际资产收益率换成后，公司的违约概率际资产收益率换成后，公司的违约概率可以写成：可以写成：)21exp(20WtrVVtrWQ.n其中：l

20、nlnFVPFVPqTTln)21(ln20FTTrVP)21()/ln(20TTrFVP)(2dN TTrFVd)21()/ln(202.n为了使得为了使得 含义更加清晰，我们重新整理含义更加清晰，我们重新整理 表表达式。达式。n其中：其中： 表示公司资产在期末的期表示公司资产在期末的期望值；望值；n 表示到期时，公司债务的市场价值。表示到期时，公司债务的市场价值。n在标准正态分布中，在标准正态分布中， 可以理解为正态分布可以理解为正态分布距原点的距离。距原点的距离。TFTrVdln)21exp(ln202XTrTeVVE)2/(02)(2d2d2d2dF.n（1）如果）如果 ，则，则 ，公

21、司的违约概率，公司的违约概率为为 ，公司违约的概率小于不违约的概率。，公司违约的概率小于不违约的概率。n（2）如果）如果 ，则，则 ，公司的违约概率，公司的违约概率为为 ，公司违约的概率等于不违约的概率，公司，公司违约的概率等于不违约的概率，公司有可能违约，也有可能不违约。有可能违约，也有可能不违约。n（3）如果）如果 ，则，则 ，公司的违约概率，公司的违约概率为为 ，公司违约的概率大于不违约的概率。，公司违约的概率大于不违约的概率。n一般情况下，一般情况下，KMV公司在计算上市公司债券的违约率公司在计算上市公司债券的违约率时，用上市公司市值的实际增长率时，用上市公司市值的实际增长率 代替无风

22、险利代替无风险利率率 ，这样更符合实际情况。，这样更符合实际情况。FVET02d5 . 0qFVET02d5 . 0qFVET02d5 . 0qr.n例题例题15-1 计算公式的违约概率计算公式的违约概率n一家上市公司发行一家上市公司发行8年期债券，该公司当前的市值为年期债券，该公司当前的市值为1000万元，市值的实际增长率为万元，市值的实际增长率为10%，年波动率为，年波动率为20%，该公司长期负责，该公司长期负责400万元，短期负债为万元，短期负债为200万万元。求该公司的违约率。元。求该公司的违约率。n解：因为解：因为 年，年， 万元，万元， ， ， n 万元。距违约的距离为：万元。距违

23、约的距离为：8T1000V%10%20600200400FTTFVd)21()/ln(22034. 282 . 08)2 . 0211 . 0()600/1000ln(2.n因此，违约概率为：因此，违约概率为：n该公司距离违约点有该公司距离违约点有2.034个标准差，预期违约率为个标准差，预期违约率为2.098%，该公司的评级相当于标准普尔，该公司的评级相当于标准普尔B和和B-之间。之间。穆迪公司也用该模型计算公司的违约概率。穆迪公司也用该模型计算公司的违约概率。 %098. 202098. 0)034. 2()(2NdNq.n15.3 用期权定价模型计算信用风险溢价用期权定价模型计算信用风险

24、溢价n信用风险的期权定价模型是由麦顿信用风险的期权定价模型是由麦顿（Merton,1977）提出的，获得）提出的，获得1997年经济年经济学诺贝尔奖。假设银行在零时刻向公司贷款学诺贝尔奖。假设银行在零时刻向公司贷款 元，期限为元，期限为 年，年利率为年，年利率为 ，无风险利率，无风险利率为为 ， 为贷款信用风险溢价，或者利为贷款信用风险溢价，或者利差，差， ，我们的目的是求贷款信用风险溢，我们的目的是求贷款信用风险溢价。假设借款到期时，公司一次行向银行归还价。假设借款到期时，公司一次行向银行归还贷款本金和利息。在正常情况下，贷款本金和利息。在正常情况下， 时刻客户时刻客户向银行归还本金和利息为

25、：向银行归还本金和利息为：TsriTBeBeF)( BTTirssri.n由于公司资产的市场价值具有不确定性，银行由于公司资产的市场价值具有不确定性，银行有可能收回贷款，也有可能收不回贷款。假设有可能收回贷款，也有可能收不回贷款。假设 时刻公司资产的市场价值为时刻公司资产的市场价值为 ，这些资产可以，这些资产可以完全出售，并且没有交易成本，也没有其它债完全出售，并且没有交易成本，也没有其它债务。在到期时的务。在到期时的 时刻有可能出现两种情况。时刻有可能出现两种情况。n（1）如果）如果 ，公司有偿还能力，银行可，公司有偿还能力，银行可以得到贷款本金和利息，总数为以得到贷款本金和利息，总数为 。

26、n（2）如果）如果 ，公司破产，银行仅能获得的，公司破产，银行仅能获得的清算资产清算资产 ，总数小于，总数小于 。ttVTFVTFFFVTTV.n这样银行在这样银行在 时刻银行得到的本金和利息为：时刻银行得到的本金和利息为：n同时，同时， 时刻公司所有者权益的市场价值为：时刻公司所有者权益的市场价值为：n相当于公司股东买人一张欧式看涨期权的价值，相当于公司股东买人一张欧式看涨期权的价值，期权的执行价格为期权的执行价格为 。可以用。可以用Black-Scholes求求出看涨期权当前时刻的价值。出看涨期权当前时刻的价值。n其中：其中： 为公司的当前市值。为公司的当前市值。,minTVF0 ,max

27、FVSTT)()(21dNFedVNSrTTTFV.n根据麦顿（根据麦顿（1977）的推导，在均衡状态下，）的推导，在均衡状态下，当前时刻所有者权益当前时刻所有者权益 、公司的市场价值、公司的市场价值 和和贷款总额贷款总额 之间的关系为：之间的关系为：n其中：其中：dexNx22121)(BVSSVB)()(21dNXedVNBrTTTrFVd)21()/ln(22, 1SVB.n在前面的推导过程中，在前面的推导过程中， 表示公司的当前市值。事实表示公司的当前市值。事实上，公司在发行债券时，评级公司只把公司的市值作上，公司在发行债券时，评级公司只把公司的市值作为参考指标，账面价值才是公司信用级

28、别的最主要指为参考指标，账面价值才是公司信用级别的最主要指标。反映公司账面价值的指标是资产负债率。令标。反映公司账面价值的指标是资产负债率。令 表表示资产负债率，则示资产负债率，则n为了方便求解，在求当前的资产负债率时，折现率使为了方便求解，在求当前的资产负债率时，折现率使用的是无风险利率用的是无风险利率 ，而没有使用贷款利率，而没有使用贷款利率 。VFedrTdeFVrTVdri.n因为贷款利率差距因为贷款利率差距 （简称利差）等于风险贷（简称利差）等于风险贷款利率款利率 减去无风险利率减去无风险利率 ，即，即 ,或或者者 。n解得：解得：n代入代入 ，得：，得：TdTd21ln12, 1)

29、()(ln121dNddNTsTrsBeF)( rTFeBTsln1)()(21dNFedVNBrTsirrisrsi.n例题例题15-2 计算贷款利差计算贷款利差 n假设某客户到银行借款，借款期限为假设某客户到银行借款，借款期限为 年，年，无风险利率为无风险利率为 ，资产负债率为，资产负债率为 ，资产市场价值的年波动率为资产市场价值的年波动率为 。因为。因为%12938. 0112. 0219 . 0ln112. 011d818. 0112. 0219 . 0ln112. 012d174120. 0)938. 0()(1NdN793323. 0)818. 0()(2 NdN1T%5r%90d.n利息差为：利息差为：n风险利率等于无风险利率与利息差之和。这项风险利率等于无风险利率与利息差之和。这项贷款的利率应该为贷款的利率应该为6.33%。)()(ln121dNddNTs793323. 09 . 0174120. 0ln11%33. 1986790. 0ln) 1(.本章小结本章小结n信用评分模型包括信用评分模型包括Z-Z-得分模型、得分模型、logisticlogistic模型和距离模模型和距离模型。在型。在Z-Z-得分模型中，解释变量的权