北方工业大学期末概率论复习要点

1、1 1(二十四)2 2 建议复习内容建议复习内容 1。 有关概念的定义、含义、性质、定理、有关概念的定义、含义、性质、定理、推论等知识要点，及各种算法、公式。推论等知识要点，及各种算法、公式。 2。 有关的例题、作业习题，有关的例题、作业习题，3 3随机事件的随机事件的运算运算及及原理原理：第一章第一章 概率论的基本概念（知识点）概率论的基本概念（知识点）交换交换 结合结合 分配分配 对偶对偶概率函数概率函数P( (A) )的定义（的定义（3）及性质（及性质（6 6）：）：条件概率条件概率定义定义样本空间的样本空间的划分，完备事件组划分，完备事件组“事件事件A与与B相互独立相互独立”的定义的定

2、义乘法定理乘法定理 加法公式加法公式 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式4 4 第一章：第一章：课件课件:例例02-1.1,例例02-1.2. 即参考资料即参考资料:例例1.4.1;课件课件:例例04-1. 即参考资料即参考资料:例例1.5.4; 作业习题一之作业习题一之 23、25、27. . 5 5第二章第二章 随机变量及其随机变量及其分布分布（知识点）（知识点） 随机变量随机变量及其及其分布分布函数函数的的定义定义及及性质性质离散随机变量离散随机变量的定义及分布律，分布函数的特点的定义及分布律，分布函数的特点 4个分布律：个分布律： 二项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布二项分布

3、、超几何分布、泊松分布、几何分布连续型随机变量连续型随机变量的定义，的定义， 其其概率密度概率密度及及分布函数分布函数的的性质性质与与关系关系 3个分布：个分布：均匀分布、指数分布、正态分布均匀分布、指数分布、正态分布。6 6随机变量函数随机变量函数的的分布分布 离散随机变量离散随机变量函数函数的分布律之求法的分布律之求法 连续型随机变量连续型随机变量函数函数的的概率密度的求法，概率密度的求法， 一维正态分布一维正态分布的的线性变换。线性变换。7 7 第二章：第二章：课件课件:例例06-2, 即参考资料即参考资料:例例2.20;课件课件:例例06-6, 见参考资料第见参考资料第48页页;作业习

4、题二之作业习题二之 15；28；30. 8 81. n维随机变量维随机变量的的定义定义，联合分布联合分布函数函数的的性质性质。第三章第三章 多维随机变量及其多维随机变量及其分布分布（知识点）（知识点）n维离散随机变量维离散随机变量的的定义定义及及分布律分布律，其，其分布函数分布函数的的特点特点n维连续型随机变量维连续型随机变量之之概率密度概率密度、分布函数分布函数的的性质与关系性质与关系 n个个离散随机变量离散随机变量函数函数的分布律之求法的分布律之求法2. n个随机变量函数个随机变量函数的的分布分布. n个个连续型随机变量连续型随机变量函数函数的的概率密度的求法概率密度的求法9 9边缘分布

5、联合分布律联合分布律与与边缘分布律边缘分布律的关系的关系 联合概率密度函数联合概率密度函数与与边缘概率密度边缘概率密度的关系的关系条件分布条件分布 随机变量的相互随机变量的相互独立性独立性 多维正态分布多维正态分布的的线性组合。线性组合。1010 第三章：第三章： 课件课件:例例7-57-5. 即参考资料即参考资料:例例1.4.1; 课件课件: (3.5.3 ) 即参考资料第即参考资料第79页页:(2)极值分布极值分布; 课件课件:例例7-67-6. 即参考资料即参考资料:例例3.7; 作业习题三之作业习题三之 1、 2、 5、24 11 11第四章第四章 随机变量的数字特征（知识点）随机变量

6、的数字特征（知识点）2.随机随机变量变量的的数学期望数学期望的的 意义、求法意义、求法及及性质，性质， 7个分布个分布 的数学期望。的数学期望。 1. 随机随机变量函数变量函数的的数学期望数学期望 定义定义及及求法求法3. 随机随机变量变量的的方差方差的的 意义、求法意义、求法及及性质，性质， 7个分布个分布 的方差。的方差。4.变量间变量间的的协方差协方差及及相关系数相关系数的的 意义、求法意义、求法及及性质性质， 二维正态分布二维正态分布的协方差及相关系数。的协方差及相关系数。1212 第四章：第四章：课件课件:例例11-4.1-4.1. 即参考资料即参考资料:第第4.2.3节之节之6;课

7、件课件:例例12-5-5. 即参考资料即参考资料:第第4.2.3节之节之2;课件课件:例例12-6-6. 作业习题四之作业习题四之 16；19；23 .1313第五章第五章 大数定律即中心极限定理（知识点）大数定律即中心极限定理（知识点）1:1:几乎处处收敛几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛的定义依概率收敛、依分布收敛的定义2 2：契比雪夫契比雪夫 大数定律（独立大数定律（独立、方差有界）， 贝努利大数定律贝努利大数定律 （二项分布二项分布的频率稳定性的频率稳定性）， 辛钦大数定律辛钦大数定律 （独立同分布）。（独立同分布）。3 3：林德贝格林德贝格勒维中心极限勒维中心极限 定理（独立同分布

8、），定理（独立同分布）， 德莫弗德莫弗- -拉普拉斯拉普拉斯 定理定理 （二项分布二项分布）， 李雅普诺夫李雅普诺夫 定理定理 ( (李雅普诺夫条件李雅普诺夫条件) )。满足条件的满足条件的随机变量随机变量的的算术平均序列算术平均序列与它们的与它们的数学期望数学期望的的算术平均序列算术平均序列之差之差依概率收敛于零依概率收敛于零。则则随机变量和随机变量和的的标准化标准化序列序列依分布收敛依分布收敛于于N(0,1),4：引理：引理：契比雪夫不等式契比雪夫不等式1414第六章第六章 样本及抽样分布（知识点）样本及抽样分布（知识点）1.1.随机样本、随机样本、统计量统计量的的定义定义: : 2. 2

9、. 几个常用的统计量：几个常用的统计量：样本平均值样本平均值; ; 样本方差样本方差; ; 样本标准差样本标准差; ; 样本样本k k阶阶( (原点原点) )矩矩; ; 样本样本k k阶阶( (中心中心) )矩矩; ;样本极差样本极差; 样本中位数样本中位数; ; 样本分布函数。样本分布函数。8个个3 3：几个：几个抽样分布抽样分布(0) 正态正态分布分布(一一) 2分布分布;(二二) t分布分布;(三三) F分布分布 4个个4 4：分布的分布的上上 、下下 、双侧双侧 分位点分位点5 5：正态总体的正态总体的样本均值样本均值与与样本方差样本方差的分布的分布 4个个 15151.1、矩估计法矩

10、估计法 用用样本原点矩样本原点矩作为作为总体原点矩总体原点矩的的估计量估计量、用、用样本样本原点矩的连续函数原点矩的连续函数作为作为总体原点矩的连续函数总体原点矩的连续函数的的估计估计量，量，这种估计方法称为这种估计方法称为矩估计法矩估计法. 第七章第七章 参数估计（知识点）参数估计（知识点）1.待估参数的点估计待估参数的点估计1.2、极大似然估计法极大似然估计法写样本的写样本的似然似然函数函数L( )，是是 的函数的函数。1616 设设 总体总体X的分布函数的分布函数F(x ; )含有一个未知参数含有一个未知参数 , 对于给定的值对于给定的值 (0 1),若由样本若由样本 X1,X2,Xn确

11、定的两个统计量确定的两个统计量 (X1,X2,Xn) 和和 统计量统计量 (X1,X2,Xn),满足满足2.区间估计区间估计 我们称我们称随机区间随机区间 ( , )为为 的的置信度为置信度为1- 的的置信区间置信区间,分别称分别称 和和 为置信度为为置信度为1- 的的双侧双侧置信区间置信区间的的置信下限置信下限和和置信上限置信上限, 1- 称为称为置信度置信度.1),.,(),.,(11nnXXXXP17 17 第七章：第七章：课件课件:例例16-6-6. 即参考资料即参考资料:例例7.1.1;课件课件:例例17-02-02. 即参考资料即参考资料:例例7.1.5;作业习题七之作业习题七之

12、5、11、20 ；1818 提出提出关于总体的假设关于总体的假设. 根据样本对所提出的根据样本对所提出的 假设做出判断假设做出判断:是接受假设是接受假设,还是拒绝假设还是拒绝假设.第八章第八章 假设检验（知识点）假设检验（知识点）1.假设检验问题假设检验问题具体作法步骤是具体作法步骤是: 1. 根据实际问题提出根据实际问题提出原假设原假设H0和和备择假设备择假设H1 , 一般是关于总体某些参数值的范围；一般是关于总体某些参数值的范围； 2. 确定确定检验统计量检验统计量(通常是相应参数点估计的函通常是相应参数点估计的函数数)以及以及拒绝域的形式拒绝域的形式； 3. 给定显著性水平的值给定显著性

13、水平的值 (0 1),以及样本容量以及样本容量n；1919 4. 按按 求出求出拒绝域拒绝域,即找到拒即找到拒绝域的边界点也称绝域的边界点也称临界点临界点。5. 取样，根据样本观察值做出判断取样，根据样本观察值做出判断:是接受假设是接受假设H0 (即拒绝假设即拒绝假设H1 )，还是拒绝假设，还是拒绝假设H0 (即接受假即接受假 设设H1 ) 。.H|H00为真拒绝P2020 第八章：第八章：课件课件:例例19-01-01. 即参考资料即参考资料:例例8.2.1;课件课件:例例20-02-02. 即参考资料即参考资料:例例8.2.2;课件课件:例例20-03-03. 即参考资料即参考资料:例例8

14、.2.3;作业习题八之作业习题八之 3、 7、 14.21213.原假设原假设H0: = 0 。备择假设备择假设H1 : 点估计点估计、双侧、双侧区间估计区间估计和双侧和双侧假设检验假设检验的六个模式的六个模式(显著性水平为显著性水平为 、置信度为置信度为1- )1. 无偏无偏点估计点估计2.相关统计量及分布相关统计量及分布拒绝域拒绝域为为(1)：单个正态总体，：单个正态总体， 02为已知，为已知，均值均值 0的的nXz00 N (0, 1)0 21u|z| 4. 的的置信区间置信区间为为).(/ 210unX X0 22221. 无偏无偏点估计点估计2.相关统计量及分布相关统计量及分布3.原

15、假设原假设H0: = 0 。备择假设备择假设H1 : 拒绝域拒绝域(2)：单个正态总体，：单个正态总体， 2为未知，为未知，均值均值 0的的01)(nt|t|21 nsXt0 )1(ntX0 1).(ntnSX(2/1 4. 的的置信区间置信区间为为23231. 无偏无偏点估计点估计为为2.相关统计量及分布相关统计量及分布3.原假设原假设H0: 2 = 02 。备择假设备择假设H1 : 4. 2 的的置置信区间信区间为为上上半半拒绝域拒绝域的（的（下下界限界限）(3)：单个正态总体，：单个正态总体， 为未知，为未知，方差方差 2的的)1(2n202)(1n2122 )(2022s1n )(1n

16、222 或或下下半半拒绝域拒绝域的（的（上上界限界限）),)()(,)()(/1nS1n1nS1n2222212 1)(n)X(XSn1i2i2 24242.相关统计量及分布相关统计量及分布3.原假设原假设H0 ： 1 - 2= ,备择假设备择假设H1 ：4. 1 - 2= 的的置信区间置信区间为为拒绝域拒绝域(4)两个正态总体，两个正态总体， 12、 22 已知，已知，均值差均值差 1 - 2= 的的2121u|z| N (0, 1)(222121nnYXz 1. 无偏无偏点估计点估计为：为：)(YX ).nnuYX(2221212/1 25251. 1 - 2= 的无偏的无偏点估计点估计为：为：2.检验统计量检验统计量3.原假设原假设H0 ： 1 - 2= ,备择假设备择假设H1 ：4. 1 - 2= 的的置信区间置信区间为为拒绝域拒绝域(5)：两个正态总体，：两个正态总体， 12= 22 = 2 为未知，为未知，均值差均值差2)n(nt|t|2121 n1n1S)YX(t21w .)2()1()1(221222211nnSnSnwS2),nt(n21 21 .n1n1S2)n(ntYX21w212/1)( 其中其中.2wwSS )(YX 26261. 12 、 22的无偏的无偏点估计点估计为为2.相关统计量及分布相关统计量及分布3.原假设