周期信号的傅里叶变换

1、3.9 3.9 周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶变换变换l 正弦正弦/ /余弦信号的傅里叶变换余弦信号的傅里叶变换l 一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换正弦正弦/ /余弦信号的傅里叶变换余弦信号的傅里叶变换)()()sin()()()cos()(21111111jtt一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换ntjnneFtfT1)(.,11其傅里叶级数为角频率为令周期信号周期为dtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(小结小结:1.由一些冲激组成离散频谱由一些冲激组成离散频谱.2.位于信号的谐频处位于信号的谐频处.3.大小

2、不是有限值大小不是有限值,而是无穷小频带内而是无穷小频带内有无穷大的频谱值有无穷大的频谱值.周期信号的傅立叶变换存在条件周期信号的傅立叶变换存在条件 1.1.周期信号不满足绝对可积条件周期信号不满足绝对可积条件. .2.2.引入冲激信号后引入冲激信号后, ,冲激的积分是有意冲激的积分是有意义的义的. .3.3.在以上意义下在以上意义下, ,周期信号的傅立叶变周期信号的傅立叶变换是存在的换是存在的. .4.4.周期信号的频谱是离散的周期信号的频谱是离散的, ,其频谱密其频谱密度度, ,即傅立叶变换是一系列冲激即傅立叶变换是一系列冲激. .dtetfFtGtftfdtetfTFeFtfFTtGtf

3、FStftjTTTtjnTTnntjnnT220022111111111)()()()()()(1)(:)()()(令之间的关系形成的非周期信号的与取其一个周期的周期信号1111)(1)(1:)(221010ntjTTnnndtetfTFTFFF之间关系为与则103147)()()(1111例变换：周期单位序列的傅里叶pnnTttnnT3.10 3.10 抽样信号的傅里抽样信号的傅里叶变换叶变换l 时域抽样时域抽样l 频域抽样频域抽样抽样量化编码连续信号f(t)抽样信号fs(t)数字信号抽样脉冲p(t)问题：问题：1 1）抽样后离散信号的频谱是什么样的？它与未）抽样后离散信号的频谱是什么样的？

4、它与未被抽样的连续信号的频谱有什么关系？被抽样的连续信号的频谱有什么关系？2 2）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所）连续信号被抽样后，是否保留了原信号的所有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号有信息？即在什么条件下，可以从抽样的信号无失真的还原原始信号？无失真的还原原始信号？)(2)(snnnPP22)(1sssTTtjnsndtetpTP*时域抽样时域抽样)(*)(21)(PFFs)()(snnsnFPF)()()(tptftfs2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样-自然抽样自然抽样)(2)(snsssnFnSaTEF上式表明上式表明:

5、 :信号在时域被抽样后信号在时域被抽样后, ,它的频谱它的频谱F Fs s( () )是连是连续信号的频谱续信号的频谱F(F() )以抽样频率以抽样频率s s为间隔为间隔周期地重复而得到的周期地重复而得到的. .在重复过程中在重复过程中, ,幅度幅度被抽样脉冲被抽样脉冲p(t)p(t)的傅立叶系数所加权的傅立叶系数所加权, ,加权加权系数取决于抽样脉冲序列的形状系数取决于抽样脉冲序列的形状. .-mmF()1抽样前抽样前E sFs()ms抽样后抽样后sTTtjnsnTdtetpTPsss1)(122nsssnFTF)(1)(冲激抽样冲激抽样-理想抽样理想抽样上式表明上式表明: :由于冲激序列的

6、傅里叶系数由于冲激序列的傅里叶系数P Pn n为为常数常数, ,所以所以F(F() )是以是以s s为周期等为周期等幅地重复幅地重复, ,如下图所示：如下图所示：F()- mm抽样前抽样前Fs()1/Tss- s抽样后抽样后nsssnFTF)(1)(nnFFFtf)()()()()()()(11其其中中*频域抽样频域抽样nnTtftf)(1)(111上式表明：上式表明： 若若f(tf(t) )的频谱的频谱F(F() )被间隔为被间隔为1 1的冲激序列在频域中抽样，则的冲激序列在频域中抽样，则在时域中等效于在时域中等效于f(tf(t) )以抽样间隔为以抽样间隔为周期而平移。从而也就说明了周期而平

7、移。从而也就说明了“周周期信号的频谱是离散的期信号的频谱是离散的”这一规律。这一规律。nnTtftf)(1)(1113.11 3.11 抽样定理抽样定理l 时域抽样定理时域抽样定理l 频域抽样定理频域抽样定理一个带限信号一个带限信号f(t),f(t),如果频谱如果频谱| |m m, ,则则信号信号f(t)f(t)可以唯一地由其均匀时间间隔可以唯一地由其均匀时间间隔T Ts s1/(2f1/(2fm m) )上的抽样值上的抽样值f(nTf(nTs s) )确定确定. .且抽样频率且抽样频率f fs s2f2fm m( (s s22m m). ). 而而f fs s=2f=2fm m称为奈奎斯特称

8、为奈奎斯特(Nyquist(Nyquist) )频率频率; ;T Ts s=1/(2f=1/(2fm m) )称为奈奎斯特间隔称为奈奎斯特间隔. .时域抽样定理时域抽样定理Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷积卷积Fs()ms1cH()相相乘乘F()m一个时限信号一个时限信号f(t),f(t),如果集中于如果集中于| |t|t|t tm m, ,则其频谱则其频谱F(F() )可以唯一由可以唯一由其均匀频率间隔其均匀频率间隔f fs s (f(fs s1/(2t1/(2tm m)上上的抽样值的抽样值F(nF(ns s) )确定确定. .频域抽样定理频域抽样定理时域抽样与频域抽样的对称性时域

9、抽样与频域抽样的对称性f(t)f(t)F(F() ) 以以s s为周期重复为周期重复T Ts sF(F() )f(t) f(t) 以以T Ts s为周期重复为周期重复s s若若f(t)f(t)被等间隔被等间隔T T取样取样, ,将等效于将等效于F(F() )以以s s=2=2 /T/T为周期重复为周期重复; ;而而F(F() )被等间隔被等间隔s s取样取样, ,则等效于则等效于f(t)f(t)以以T T为周期重复为周期重复. .因此因此, ,在时域中进行抽样的过程在时域中进行抽样的过程, ,必然导必然导致频域中的周期函数致频域中的周期函数; ;在频域中进行抽样的在频域中进行抽样的过程过程,

10、,必然导致时域中的周期函数。必然导致时域中的周期函数。作业作业: : 3-41 3-41 改改)1000()(2tSatf下次课包括下次课包括4.1-4.54.1-4.5节的内容，节的内容，请预先做好听课准备。请预先做好听课准备。第三章总结 及习题课知识点回顾知识点回顾: :周期信号傅里叶级数分析周期信号傅里叶级数分析非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 典型周期信号的典型周期信号的FSFS 典型非周期信号的典型非周期信号的FTFT 傅里叶变换基本性质傅里叶变换基本性质 抽样信号的抽样信号的FTFT 抽样定理抽样定理,.)2, 1(sin)(2:

11、,.)1 ,0(cos)(2:)sincos(2)(:10010011111110ntdtntfTbntdtntfTatnbtnaatfTttnTttnnnn正弦分量幅度余弦分量幅度三角形式傅里叶级数傅里叶级数(FS)为所有的整数其中指数形式ndtetfTFnFenFtfTtttjnnntjn10011)(1)()()(:111函数函数f(t)的对称性与的对称性与FS系数关系系数关系20111101cos)(4cos2)(:)(1)TnnntdtntfTatnaatftf为偶函数2011111)sin()(4)sin()(:)(2)TnnndttntfTbtnbtftf为奇函数为所有的奇数且公

12、式同上和为奇谐函数nbatnbtnatftfnnnnn,)sincos()(:)(3)111傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义deFtfdtetfFtjtj)(21)(:)()(:反变换正变换典型信号的典型信号的FTjatueat1)(22|2aaeta)2()(SatGjt2)sgn(1)(t)(21jtu1)()()()(cos000t)()(sin000 jtnTnt)()(111非周期信号的非周期信号的FT的性质的性质)(2)(:ftF对称性)()(Ftf已知)()(:11niiiniiiFatfa线性)(|1)(:aFaatf尺度变换偶函数奇函数虚函数奇函数偶函数实函数奇函数偶函数奇偶

13、虚实性)(,)(:)(,)(:)(,| )(:|XRXRF)()()( :)()()(:)()(nnnnFtfjtFjtf频域微分时域微分dFtfjttfFjFdft)()()0()(:)()0()()(:频域积分时域积分0)()(:0tjeFttf时移)()(:00 Fetftj频移dFdffFdttfParseval222| )(|21| )(|)(:定理)()()()(:2121FFtftf时域卷积)()(21)()(:2121FFtftf频域卷积一般周期信号的一般周期信号的FTdtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(周期信号的周期信号

14、的FS与其单周期信号的与其单周期信号的FT之间的关系之间的关系1)(101nnFTF)()(snnsnFPF时域抽样信号的时域抽样信号的FT)(2)(:snsssnFnSaTEF自然抽样nsssnFTF)(1)(:理想抽样nnTtftf)(1)(111频域抽样信号的频域抽样信号的FT频域抽样定理频域抽样定理时域抽样定理时域抽样定理msmsmfTff212|或msmsmtftTtt212|或.)sin()cos()()sin()cos()()sin()cos()(,)()(:111100111021110121的波形画出且如图和已知周期信号例题nnnnnnnnntndtnacatftndtncc

15、tftnbtnaatftftf)(1tft0T1)(2tft0T11)(tftT21)()()(:21tftftf由函数对称性可知解%.95),/(,)(00总能量的分量的能量贡献为信号以下所有频谱使得在秒弧度频率并确定的能量试求信号例题tueat:2ajFadtedttfEat1)(,21)(,:022因为该信号有从频域计算从时域中计算由定义解)/(706.12)(1295.0%95,021)(111|)(|1000002220sradaarctgaaaaarctgadadFEParseval则有的能量包含当定理根据?0,:).()(),(,)(,6100|0100|1)(:,:3nnant

16、ftytytfaTHS才保证值对于什么样的问且的输出为滤波器输入到滤波器时的信号为其傅里叶级数系数当基波周期为其频率响应是波器一连续时间理想低通滤例题. 0,8|8|100|12|100|.12,)(.)(,)(12)(1将恒为值的即对于因此有其高次谐波可表示为是周期信号在低通滤波器的通带内所有频率分量都这意味着是其本身输出的通过理想低通滤波器后的基波频率解nannnnntftftftf2:).(),()(:4Ftf求如图为周期信号已知例题)(tft01441.2)() 1(24sin4)() 1(24sin2)1(2)(4212)(11)( :21232121nnnFnndtetGtGTdt

17、etfTFFSnnntjnTtjnn求解利用周期信号的方法解)() 1(24sin4)(2)()(2)()()()24(4sin2)1(2)(4)()(.)(2)( :1211nnnFTtTttftfetttGtftnnTTjT的卷积求解与号将信号转换为主周期信方法解tdfttfbatfdtdFTFtf)1(2)3(sin)()2()() 1 (:),()(:502求下列信号的已知例题abjabjeaFajbatfdtdeaFabatfaFaatf)(|)()(|1)()(|1)() 1 ( :解)() 0(2)2(21)1( 2)2(21)1( 2)() 1() 3 ()()()(4sin)

18、()()(21)() 2( :00022FeFjdfeFtfeFtfFFFjttfFFtfjtjj解dxxxdxxxFT20)sin()2(2sin) 1 (:6及其性质证明下式利用例题002sin2)()0(2)()(21)0()(21)(21)()()(221)()(21)()1(:dxxxdSafdSadSafdeSadeFtfSaSatftGtftjtj即义根据傅里叶反变换的定则设证dxxxdSadSadtdFdttfParsevalSatftGtf22211222)sin()()(4211|)(|21)()(2)()()()2(:即定理根据则设证.),()().()(),()(),3

19、()3()()()()(:7的值和并求出性质证明的利用是的是的且和已知例题BABtAytgFTHFTthFFTtfthtftgthtfty3,31)3(31)()3(3131)3(91)()(91)()(91)3()3()3(91)()()()(:BAtytgYYGYHFGHFGHFY即由时域卷积和尺度性质解)()()()()()()( )()(:8ffjFtfFtf试证明若例题)()()()( )()(2)(| )()( )()(2)()()( )()2(1)( )( )()()( )()()( )()()()()()()(:ffjfjffdejfdeffdejfdtefdtdetufdtefdtufdtefdfFtffdftfjjjtjtjtjtjtt证明kHzfkHzfkHzfkHzfkHzfFFKFFtytfccccc2 . 0)5(5 . 0)4(1)3(2)2(2) 1 (?.),(,5.1.,)(),(,:92121低通滤波器低通滤波器低通滤波器低通滤波器高通滤波器理由该如何选择出端尽量恢复原信号使输每种滤波器只能用一次及作为分别