(整理)第1章质点运动学

1、大学物理学大学物理学上上主讲主讲 蒋纯志蒋纯志 前言前言 物理学的发展，广泛而直接推动着技术的革命和社会的发展。 18世纪60年代开始的第一次技术革命以蒸汽机应用蒸汽机应用为标志，是牛顿力学和热力学牛顿力学和热力学发展的结果；19世纪70年代开始的第二次技术革命以电力的广泛应用和无线电通信电力的广泛应用和无线电通信为标志，是电磁学电磁学发展的结果；20世纪40年代兴起的并一直延续至今的第三次技术革命是相对论和量子论相对论和量子论发展的结果。 力学是物理学中最古老和发展最完美的学科。其渊源在西方可追溯到公元前4世纪古希腊学者柏拉图认为圆运动是天体的最完美的运动和亚里斯多德关于力产生运动的说教；在

2、中国可以追溯到公元前5世纪墨经中关于杠杆原理的论述。 力学成为一门科学理论是从17世纪伽利略论述惯性运动开始，继而牛顿提出的三个运动定律。牛顿定律为基础的力学理论叫牛顿力学或经典力学，它曾经被尊为完美普遍的理论而兴盛了约300年。在20世纪初发现了它的局限性，高速领域为相对论所取代，在微观领域为量子力学所取代，而在一般技术领域，仍保持着重要的地位。为什么鸟撞飞机发动机受伤叶片总是往外翻卷？ （逆飞机飞行方向）民航机鸟撞后外观我 国 中 科 院 等 离 子 体 所 的我 国 中 科 院 等 离 子 体 所 的EAST超导托卡马克装置（位超导托卡马克装置（位于合肥市科学岛）。于合肥市科学岛）。19

3、94年通年通过国际合作成功研制出过国际合作成功研制出HT-7超导托卡马克装置超导托卡马克装置 ，使我国，使我国成为继俄、日、法之后第四个成为继俄、日、法之后第四个拥有该类装置的国家。项目的拥有该类装置的国家。项目的名称在名称在2003年年10月正式由月正式由HT-7U改为改为EAST。 EAST装置的装置的主机部分高主机部分高11米，直径米，直径8米，米，重重400吨，由超高真空室、纵吨，由超高真空室、纵场线圈、极向场线圈、内外冷场线圈、极向场线圈、内外冷屏、外真空杜瓦、支撑系统等屏、外真空杜瓦、支撑系统等六大部件组成。六大部件组成。重庆菜园坝长江大桥。大桥创下了三项世界第一：钢箱拱梁跨距42

4、0米，为世界第一长；是世界第一座公路轻轨两用城市大桥；也是世界第一座采用缆索吊机安装的大桥。2007年通车重庆朝天门长江大桥，双层公轨两用桥，下层是轻轨轨道。主跨552米，号称世界第一拱桥，2009年通车嘉陵江轻轨大桥重庆悦来嘉陵江大桥物理学：研究物质世界最基本的结构、最普遍的相互作用物理学：研究物质世界最基本的结构、最普遍的相互作用以及最一般的运动规律的学科，是一门以实验为基以及最一般的运动规律的学科，是一门以实验为基础的自然科学。础的自然科学。力学：研究物体作机械运动力学：研究物体作机械运动(物体位置随时间的变化物体位置随时间的变化)的规的规律及其应用的科学。律及其应用的科学。(它是物理学

5、的基础它是物理学的基础)运动学：运动学：研究物体位置随时间变化的描述。研究物体位置随时间变化的描述。动力学：动力学：研究物体的机械运动和物体相互作用力之研究物体的机械运动和物体相互作用力之间的关系。间的关系。经典力学研究物体做低速运动，相对论力学研究物经典力学研究物体做低速运动，相对论力学研究物体做高速运动。体做高速运动。力学的总框架力学的总框架力学力学运动学（平动和转动）运动学（平动和转动）动力学动力学牛顿定律和转动定律牛顿定律和转动定律守恒守恒定律定律动量守恒定律动量守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律第第1 1章章 质点运动的描述质点运动的描述1 1 质点运动

6、的描述质点运动的描述2 2 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度3 3 相对运动相对运动物体如何简化？物体如何简化？物体运动如何描述？物体运动如何描述？1-1 1-1 质点质点 一、实际研究中要对对象一、实际研究中要对对象( (物体物体) )的简化的简化 建立理建立理想模型想模型 抓主要因素抓主要因素 忽略次要因素忽略次要因素如研究对象是地球如研究对象是地球A.A.公转公转E ES S主要因素：太阳的引力主要因素：太阳的引力而其他天体的作用力和形状而其他天体的作用力和形状均可忽略均可忽略 B.B.自转自转形状不可忽略形状不可忽略这两种情况应作不这两种情况应作不同的简化同的简化二、质点二

7、、质点 参考系和坐标系参考系和坐标系 1.1.质点质点 物体的形状可忽略，物体可看作有质量的点。物体的形状可忽略，物体可看作有质量的点。 公转的地球可看作质点，而自转的地球不能当成质点。公转的地球可看作质点，而自转的地球不能当成质点。 1.1.参考系和坐标系参考系和坐标系 物质的运动是绝对的，又是相对的。物质的运动是绝对的，又是相对的。 参考系：选作参考的物体。参考系：选作参考的物体。 匀速直线运动的火车中，有一个自由下落的物体，匀速直线运动的火车中，有一个自由下落的物体， 火车为参考系，火车为参考系， 以地面为参考系，分别作何运动？以地面为参考系，分别作何运动？ 坐标系：从数量上确定物体相对

8、于参考系的位置。坐标系：从数量上确定物体相对于参考系的位置。P时刻时刻t t 质点运动到质点运动到P P点点任选一参考点任选一参考点o (o (通常选坐标原点通常选坐标原点) )oPror为质点为质点 t t 时刻的时刻的 位置矢量位置矢量)(trr 位置矢量也叫位置矢量也叫 运动函数运动函数通常位矢是通常位矢是t t 的函数的函数 写成写成 称矢量称矢量1-2 描述物体运动的物理量一、位置矢量一、位置矢量( r )( r )描述质点在空间位置的物理量。ZOXYP(x,y,z)方法： 建立坐标系,P (x, y, z) 原点到P点的有向线段OP = r kzjyixr大小：222|zyxrr方

9、向：rzryrxcos cos cos 方向余弦1coscoscos222kjri运动方程运动方程x = x (t )y = y (t )z = z (t )ktzjtyitxtrr)()()()(轨道方程：0),(zyxf),( yxzz 或补例11 自由落体运动的运动方程为221gty 补例12 平抛运动的运动方程2021gtytvx从上运动方程中消去 t 得2202xvgy 为轨迹方程二、位移二、位移 ( )描述质点位置变化的大小和方向的物理量质点从A点运动到B点ZOXYABABrrr注意： 位移跟路程的区别路程：质点在空间运动轨迹的长度 是标量。rArB大小 （A指向B的长度）方向 A

10、 B |rrDrDsDsDZOXYAB rArB| |ABrrrABrrr rr |Cr位移的大小不等于位置矢量大小的改变量位移的大小不等于位置矢量大小的改变量sDrD三、速度（三、速度（ v ）描述质点位置变化的快慢和方向的物理量: 平均速度 瞬时速度：瞬时速度：dtrdtrvt0limtrv ZOXYABrArB大小：tr tr tr 方向：同与 r rDsD的极限方向（切向）当方向：0 trdtrdv 大小：称速率。 平均速率瞬时速率0dlimdtSSvtt tSv ZOXYAB rArBCr: 0 t但Sr |trvt|lim0tSt0limdtdS一般而言：tStrdtkzddtj

11、yddti xdv)()()(kvjvivzyxkdtdzjdtdyidtdxsDrD四、加速度四、加速度描述质点速度变化快慢和方向的物理量tva 平均加速度瞬时加速度:0dlimdtvvatt ddddddyxzvvvijkttt222222ddddddxyzijktttkajaiazyx 0;avt 方向：当的极限方向d dvt大 小 ：ZOXYABAvAvBvBvv 1-3 1-3 运动学的两类问题运动学的两类问题一、一、已知运动方程，求速度、加速度已知运动方程，求速度、加速度（求导数）。（求导数）。例1 一质点的运动方程为 x = 4t2, y = 2t + 3,其中x和y的单位是米（

12、m），t的单位是秒（s）。试求：（1）运动轨迹；（2）第一秒内的位移；（3）t = 0 和 t = 1两时刻质点的速度和加速度。解：解： （1）由运动方程x = 4t2 y = 2t + 3消去参数 t 得 x = ( y 3)2此为抛物线方程，即质点的运动轨迹为抛物线。（2）先将运动方程写成位置矢量形式jtitj yi xr)32(42jrt3 00 时，jirt54 11 时，所以第一秒内的位移为jijjirrr2435401（3）由速度及加速度定义ji tjdtdyidtdxdtrdv28 速度idtvda8 加速度iajivtiajvt8 ,28 1 8 ,2 0 时，时，所以方法：先

13、求导数表达式，再代入数据计算结果。方法：先求导数表达式，再代入数据计算结果。直角坐标系中单位矢量是常矢量。直角坐标系中单位矢量是常矢量。二、已知加速度a及初始条件，求速度及运动方程。 （用定积分） 例2 分析斜抛运动，并求出最远射程和最大高度。BOCxyvAyx例3 设质点在X轴上作直线运动，其加速度随时间 t 的变化关系为：a = 1-2t +3t2, t0= 0时， v = v0, 求速度随时间变化的函数关系（若还知道t0= 0时，x = x0, 试求运动方程）。解：解：dtdva 根据加速度公式上式可写成 adt = dv ,两边积分 ？vvttdvadt00320 tttvv速度vvt

14、tdvdttt0002)321(例4 如图1-6所示，在离水面高度为的岸边上，通过定滑轮用绳子拉船靠岸，收绳的速率恒为 ，求船与岸边距离为 时的速度和加速度。 解：设当船与岸边距离为解：设当船与岸边距离为 时，船到时，船到定滑轮的绳长为定滑轮的绳长为 ，则收绳的速率为则收绳的速率为 负号是为保证收绳的速率取正值。负号是为保证收绳的速率取正值。船是沿水面运动的，因此它的速度船是沿水面运动的，因此它的速度为为 ，由图由图1-61-6可知可知 ，因此，船的速，因此，船的速度为度为sldtdlv0dtdsv 22hls02222vshsdtdlhlldtdsv负号代表船向岸边靠近。 0vs例4如图1-

15、6所示，在离水面高度为的岸边上，通过定滑轮用绳子拉船靠岸，收绳的速率恒为，求船与岸边距离为时的速度和加速度。 船的速度为船的速度为02222vshsdtdlhlldtdsv负号代表船向岸边靠近。负号代表船向岸边靠近。 船的加速度为船的加速度为 3202022)(svhdtdlvhlldlddtdva负号表示加速度的方向指向岸边，船向岸边加速运动。负号表示加速度的方向指向岸边，船向岸边加速运动。2 2 切向和法向加速度切向和法向加速度一、自然坐标一、自然坐标质点作曲线运动，将质点运动的轨道作为一维坐标的轴线自然坐标。 自然坐标P 坐标原点YOXps 0s 0s ABtAetBenAenBe自然坐

16、标系坐标轴是变化的1 位置表示法位置表示法P点起轨迹的弧长S 弧坐标S = S ( t )2 速度的表示法速度的表示法t 时刻质点在A处取一切向单位矢量n取一法向单位矢量 ttdsvveedt3 加速度表示法加速度表示法0tttdevdvdvalimevtdtdtdt 二、二、 质点做圆周运动的角量描述质点做圆周运动的角量描述YOXA(t )B(t+t)1. 角位置 单位 rad2. 角位移 rad3. 角速度 srad dtdtt0lim4. 角加速度 220limdtddtdtt2 srad单位q=q q（t）qD=Bq qqDA-wb三、圆周运动的线量与角量的关系三、圆周运动的线量与角量

17、的关系RS tdvdaRRdtdt路程路程dtdSv dtRdR速度大小速度大小 加速度加速度0tttdevdvdvalimevtdtdtdt 切向加速度切向加速度 tvve速度速度A(t ) YOXte2te/tddte如何计算如何计算22nvavRR 代表切身单位矢代表切身单位矢量对时间的求导，它也量对时间的求导，它也是一个矢量，其大小表是一个矢量，其大小表示单位矢量转动的角速示单位矢量转动的角速度，与半径度，与半径R转动的角速转动的角速度相同，方向沿径向指度相同，方向沿径向指向圆心，如图向圆心，如图2-3 /tddtetnddtee21ttteee|ttnndddeeee法向加速度法向加

18、速度（向心加速度）（向心加速度）ttnnaa ea e2tndvveedt22222ndvvaaadttannaarca图17anata可以证明质点做一般曲线运动时，可以证明质点做一般曲线运动时，法向加速度法向加速度2nva 为曲线的曲率半径如图如图 总加速总加速度与切向加速度与切向加速度的夹角度的夹角总结：角量与线量的关系RS Rwv Ra 2Rwan例例6 6 一一质点质点在半径为在半径为0.50.5米的圆周上运动，其角位置为米的圆周上运动，其角位置为 ，试问：当，试问：当 t t 为何值时，法向加速度和为何值时，法向加速度和 切向加速度的大小相等？切向加速度的大小相等？例例5 5 质点的运动方程为质点的运动方程为 试求质点的轨道方程、速度和角速度、加速度和试求质点的轨道方程、速度和角速度、加速度和 角加速度。角加速度。 （匀速圆周运动，各个加速度的情况？）（匀速圆周运动，各个加速度的情况？）tytx3sin2,3co