变分原理 (2)

1、变分原理及其在量子力学计算中的应用谭长明2014-4-17 变分法（calculus of variations），是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达. 在处理量子力学中，我们重要的是解薛定谔方程，然而对于一些多体问题，直接解薛定谔方程是非常困难的，在第一性原理计算中我们通常采用基于密度泛函的方式去解决多体问题中的能量和本征函数，对于求解基态能量或基态波函数就相当于求解泛函的极值问题。变分法既然是处理泛函极值问题的数学工

2、具，因此，我们可以用变分法去求解体系的基态能量。这就是变分法在量子力学中的应用。变分法基础 A、泛函定义、泛函定义如果对于某一类函数 中的每一个函数 ， 都有一个值与之对应；或者， 变量对于函数 的关系成立，变量 称为函数 的泛函，记为：泛函是变量与函数的关系，为函数的函数（非隐函数），一种广义的函数。其中 称为宗量（而函数是变量与变量之间的关系） xy ixy xy xy xy xy举例短程线问题在指定平面内连接两定点的各种容许曲线中，选定一条使两点间沿该曲线的距离最短的曲线。定点： 连接AB两点的任一曲线的弧长可以表述为： 这里L只与曲线的函数形式相关。而不直接与X相关！2211,yxBy

3、xA dxdxdyxyLxx2121BAdydx22 xyi寻找最短弧长曲线 的形式即为变分学所要研究的问题。B、变分、变分 泛函的宗量的增量在指定域中都很小时，就称之为变分。(4.1)也为x的函数，须在指定x域中是微量， 在接近 的一类函数中任意变化的。如果 与 很接近，且函数有k阶导，也与很接近，即其差的模都很小，则 与 具有k阶接近度。称为k阶变分。 一般认为，具有相同量级的微量。 xyi xy xy xyxyxy1y xy xy1 xy xy1 xyk xyk1 xy xy1 kyyy, kyD、泛函的变分定义（几何意义）：泛函的增量：由的变分 所引起的泛函的增量，将 分解为线性项和非

4、线性项二部分：为同阶或更高阶小量，线性部分 称之为泛函的变分： (4.2) xy y xyxyxy xy xyxyxyxyxyLmax, xy 0 xy 0max, 0 xy xyxyL,泛函的变分可理解为泛函的增量的主部。而且其主部相对于变分 为线性的。定义二（Lagrange定义） 泛函变分是 对 的导数在 时的值，(4.3) xy ),(xyxy0 0 xyxy xyxyL,E、泛函的驻值、泛函的驻值 函数的驻值函数的驻值如果函数在 附近的任意点上的值都不大（小）于 ，即（或 ）则函数在上达到极大（或极小）值，且 ， 为驻点， 为驻值。对于多元函数， 取极值条件：即： 为驻点，为驻值；

5、极大或极小？ 极小； 为极大。 xy0 xx 0 xy 00 xyxyy0 xy0 xx 00 xxdy0 x0 xynxxxf,210dfnixfi, 2 , 1002010,nxxx02010,nxxxf02fd02fd泛函的驻值泛函的驻值如果泛函 在任何一条与 接近的曲线上的值不大于（小于）， 即 则泛函在曲线上达到极大（或极小）值。 而且在上有驻值条件：(4.4)与函数极值判定条件类似：取极小值 取极大值 xy xyy0 ,0 xy 000或xyxy xy xyy0 xyy0 0 xy0202注意：这里谈及的极值指相对的极大或极小，是从在相接近的许多曲线中找出一个最大的泛函值。由于曲线

6、的接近程度不一，还应具体分为曲线有几阶的接近度。若接近度为0阶的曲线 ，泛函在 达到极值的变分称为强变分。泛函的极值为强极大或强极小。若接近度为1阶的曲线 ，泛函在 达到极值的变分称之为弱变分。 xyy0 xyy0 xyy xyy F、变分的计算方法：微分与变分可互调换顺序：(4.5)(4.6)积分与变分可互调换顺序，设(4.7)和：(4.8) yyxx)(dxxyyFxx21,2121,xxxxdxxyyFdxxyyF21FF 2121FFFF积：(4.9)(4.10)商：(4.11)21FF 122121FFFFFFnFFnFFnn121FF22211221FFFFFFFG、基本预备定理、

7、基本预备定理 如果函数在线段 上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数， 有则在线段上有，一般条件包括：一阶或若干阶可微；在端点 处为零， xF21,xx xy 021dxxyxFxx21,xx 0 xF21,xx 0021xyxy xy ,xy对于多变量，类推；上述， 为宗量 的变分。H、泛函极值问题的求解、泛函极值问题的求解(变分法的主要步骤)最速降线问题： 当一重物沿连接不在同一铅垂线上的两点 的一条曲线，受重力作用自由下滑，不计摩擦力时，求在哪种曲线上下滑所需时间T最少。 xy xy11,0 , 0yxBA问题上升： 在满足固定边界（端点）条件，的函数中，求泛函：为极值的函数。

8、解：、设 为曲线 上的任意一点，由能量守恒定律，总势能： 11,00yxyy xy dxxyxygTx102121yxP, xyy 221mvyhmgmghgyv2运动学：设为曲线的运动方程，重物沿该曲线从A运动到B点，其运动速度可表示为：二速度v相等：从A到B的滑行时间T，应有积分， xyy 221dydxdtdtdsvdtdxy21dtdxygy212dxgyyTx 10221泛函的建立：式中时间T是依赖于曲线函数的函数，T称之为泛函，需求其极值。即求T取最短时间的曲线函数。、设为满足使泛函取极值的解，与之相接近的函数为 ，其导数。泛函的增量： 作为小量，按Talyor级数展开， xyy

9、xy xyxy xyxy dxyyyyyygTx10221121yy, 22222121111yyyyyyyyyyyyyy当 很小，（这时与有一阶接近度），泛函变分就为略去 二次以上高阶项后的线性主部。极值条件：、对第一项分部积分： yy,yyy2 dxyyyyyyyygTx10221211210T dxyyyyx2011 ydxyyydxddxyyyydxdxx11020211因为为通过 两点的具有与一阶接近度，即：于是，积分第一项： xyxy11,00yyxxyx xy 111,000yxyxyyy 11,00yxyy 0,001xyy 00010011212111021yyyyxyxyxyxydxyyyydxdx故，由于 为任选函数，且 ，由变分法基本定理：、从中就可求出 。 这类从泛函变分获得的微分方程 欧拉方程dxyyyydxdyyygTx1022)1(12121y 0112122yyydxdyyy xy二、变分法在量子力学中的应用 在处理量子力学中，我们重要的是解薛定谔方程，然而对于一些多体问题，直接解薛定谔方程是非常困难的，在第一性原理计算中我们通常采用基于密度泛函的方式去