复杂网络-小世界模型

1、复杂网络 关于复杂性 大量个体所组成的复杂系统，在没有中心控制、非完全信息、仅仅存在局域相互作用的条件下，通过个体之间的非线性相互作用，可以在宏观层次上涌现出一定的结构和功能。什么是复杂网络 复杂网络是对复杂系统的抽象和描述方式，任何包含大量组成单元（或子系统）的复杂系统，当把构成单元抽象成节点、单元之间的相互关系抽象为边时，都可以当作复杂网络来研究。 复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法它关注系统中个体相互关联作用的拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基础。复杂网络研究所关心的问题 如何定量刻画复杂网络 网络是如何发展成现在这种结构的 网络特定结构的后果是什么（包括网络结构的鲁棒性和网络结

2、构的动力学行为和以及过程）描述一个网络N个节点，E条边在这N个点之间E=N(N-1)/2描述一个网络 描述一个网络的最简便的方法就是通过矩阵来描述 无向型 有向型Weighted networks复杂网络的特性-度 在一个无向型的网络中一个节点i的度Ki就是和节点i相连的边的数目： 这里复杂网络的统计特性-平均路径长度平均路径长度：网络研究中, 一般定义两节点间的距离为连接两者的最短路径的边的数目; 网络的直径为任意两点间的最大距离; 网络的平均路径长度l则是所有节点对之间距离的平均值, 它描述了网络中节点间的分离程度, 即网络有多小。复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数大规模真实网络的平均

3、路径长度比想象的小得多, 称之为 “小世界效应”。平均路径长度 尽管许多实际的复杂网络的节点数巨大，网络的平均路径长度却小得惊人，具体地说，一个网络称为是具有小世界效应的，如果对于恒定的网络节点平均度，平均路径长度L的增加速度至多与网络规模N的对数成正比。平均路径长度聚类系数 假设网络中的一个节点i有Ki条边将它和其他节点相连，这Ki个节点之间最多可能有Ki(Ki-1)/2条边，而Ki个节点之间实际存在的边数Ei和总的可能的边数Ki(Ki-1)/2之比就定义为节点i的聚类系数Ci，即 Ci=2Ei/(Ki(Ki-1)聚类系数 整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数Ci的平均值。 在很多类

4、型的网络当中，随着节点数目的增多，它的聚类系数会趋向于某一个非零常数，在某种程度上有”物以类聚“的特性。复杂网络模型 研究表明，大多数的真实网络具有小世界性（较小的最短路径）和聚集性（相对较大的聚集系数）。规则网络 (1)规则网络是指平移对称性晶格,任何一个格点的近邻数目都相同 (2)各个节点的具有相同的度值 (3)如图为最近邻耦合网络：每个节点都与它左右的K/2个节点相连 (4)对大的N, K, 有：聚集系数C3/4, 平均路径长度L无穷大规则网络 规则网络具有大的聚集系数和大的最短平均距离随机网络 随机网络虽然具有小世界性，但是聚集性 也很小。小世界网络 所以后来提出了一个兼具小世界性和高聚集性的网络模型，他们通过将规则网络中的每条边以概率 p 随机连接到网络中的一个新节点上, 构造出一种介于规则网络和随机网络之间的网络(简称W S 网络) , 它同时具有较小的平