概率论与数理统计1-6 随机事件的独立性

1、一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、独立试验序列二、独立试验序列 1.6 1.6 随机事件的独立性随机事件的独立性三、小结三、小结.,)()()(,独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设BABABPAPABPBA 2. 定义定义1.9注注. 1则则若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性(一一) 两个事件的独立性两个事件的独立性2 独

2、立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如图如图若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互

3、斥互斥但但不独立不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAP又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥可以证明：可以证明：时时，有有当当0)(, 0)( BPAPA、B 独立独立 与与A、B 互斥不能同时成立互斥不能同时成立证证若若A与与B 独立独立, 则则 )()()(BPAPABP 0)(, 0)( BPAP0)()()( BPAPABP AB故故即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).3.性质性质1.5(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A

4、)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件也相互独立也相互独立.；与与 BA；与与 BA.BA 与与证证 )()()(ABPAPBAP 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.且且A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(对偶律对偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP )(1BAP )()()(1ABP

5、BPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 .BAC 则则依题设依题设,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP例例1由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性

6、，所以 A与与B独立独立,进而进而.独独立立与与 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件两两两两独立的概念独立的概念(二二) 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两独立两两独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相相互互独独立

7、立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是三三个个事事件件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 个事件的独立性个事件的独立性定义定义 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21两两两两独独立立，则则称称nAAA.12)11(1032个个式式子子共共nCCCCCnnnnnnnn 定义定义1.11

8、)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA注注. 相互独立相互独立nAAA,21两两独立两两独立nAAA,21设一个口袋里装有四张形状相同的卡设一个口袋里装有四张形状相同的卡片片.在这四张卡片上依次标有下列各组在这四张卡片上依次标有下列各组数字：数字：110，101，011，000 从袋中任取一张卡片，记从袋中任取一张卡片，记1位位上上的的数数字字为为取取到到的的卡卡片片第第 iAi )3,2,1( i证明：证明：;,)1(321两两独立两两独立AAA.,)2(321不相互独立不相互独立AAA例例2证证 (1)()(2142)(3

9、21APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321两两独立两两独立AAA )()2(321AAAP040 81)()()(321 APAPAP.,321不相互独立不相互独立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121个个事事件件也也是是相相互互独独立立其其中中任任意意则则相相互互独独立立若若事事件件nkknAAAn 逆逆运运算算封封闭闭独独立立性性关关于于个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相

10、相互互独独立立个个事事件件若若.,)2(,. 22121nAAAnAAAnnn 两个结论两个结论n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用结论的应用nAAA,21则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-p

11、n )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：nAAA,21至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(nAAAP21=1- - p1 pn 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合病毒相互独立，混合100个人的血清，个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒个人的血清含有肝炎病个人的血清含有肝炎病第第记记iAi )100,2,1

12、( i则则004. 0)( iAP10021AAAB 例例3100肝肝炎炎病病毒毒个个人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B依题设，依题设，相互独立相互独立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常由元件组成的系统

13、正常工作的概率工作的概率.设一个系统由设一个系统由2n 个元件组成，每个元件个元件组成，每个元件的可靠性均为的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作，且各元件能否正常工作是相互独立的是相互独立的.(1) 求下列两个系统求下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？例例4系统系统.系统系统.解解,个个元元件件正正常常工工作作第第设设iAi rAPi )(则则),2,1(ni 设设 B1= 系统系统正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n B2= 系统系统正常工作正常工作考察系统考察系统：设设 C = 通路通路正常工作正常工作

14、， D= 通路通路正常工作正常工作 每条通路正常工作每条通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系统系统正常工作正常工作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作DCB 1nnnnAAAAAA22121 )()(21nAAAPCP )()()(21nAPAPAP nr )()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr )()(1DCPBP )(1DCP )(1DCP )()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系统系统正常工作的概率：正常工作的概率：考察系统考察系统：系统系统正常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元

15、件正常工作联元件正常工作 B2= 系统系统正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAAPAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ), 2, 1(ni )()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系统所以，系统正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2( nnrr)2( (2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？10 rnnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf 2)2(, 12)2(1)1()2)2(2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即亦即即即

16、是凹的，从而是凹的，从而故曲线故曲线，则，则令令nnrr 2)2()()(12BPBP 即系统即系统的可靠性比系统的可靠性比系统的大的大.二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型1. 定义定义1.12 (独立试验序列独立试验序列) 设设Ei (i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本空的样本空间为间为 i ,设设Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出现现的概率都不依赖于其它各次试验的概率都不依赖于其它各次试验Ei (i k)的结果的结果, 则称则称Ei 是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简称简称独立试独立试验验序列序列.mA 例例5 5 自

17、自1,2, ,101,2, ,10个数字中任取一个个数字中任取一个, ,取后取后还原还原, ,连取连取k k次次, ,独立进行试验独立进行试验, ,试求此试求此k k个数字个数字中最大者是中最大者是m(m 10)m(m 10)这一事件的概率。这一事件的概率。 解：令解：令 表示此表示此k k个数字中最大者不大于个数字中最大者不大于 m m 这这一事件，则一事件，则: :显然显然则则 kmm)()(10 ,11 mmmmm令令kkmmmmm)101()10()()()(1 mA则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n 次重复试验

18、具有下列次重复试验具有下列特点：特点：2. n 重贝重贝努利努利(Bernoulli)试验试验1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.一般地，一般地，对于对

19、于贝努里概型贝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p (0p1), 则在则在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3. 二项概率公式二项概率公式,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所所有有可可能能取取的的值值为为则则 X., 2, 1, 0n推导如下：推导如下：,)0(时时当当nkkX .次次次次试试验验中中发发生生了了在在即

20、即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次试试验验中中发发生生在在得得knA,种种knC且两两互不相容且两两互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布. 记为记为).,(pnBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1记记knkknqpC .)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道题题的的概概率率问问能能碰碰对对试试于于是是随随意意填填写写道道题题不不会会做做有有道道题题生生仅仅会会做做今今有有一一考考其其中中一一个个为为正正确确答答案案可可供供选选择

21、择的的答答案案个个每每道道选选择择题题有有道道选选择择题题设设某某考考卷卷上上有有 mm则则道道题题这这一一事事实实道道题题中中碰碰对对表表示示设设,4mBm例例6解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmm004. 0)(048. 0)(211. 0)(422. 0)(316. 0)(43210 经计算得经计算得,次次的的概概率率首首次次发发生生在在第第需需要要计计算算事事件件在在贝贝努努利利试试验验中中，通通常常kA.,1,发发生生次次第第发发生生次次均均是是前前次次即即试试验验总总共共进进行行了了AkAkk ppAPAPAPBPAAAABiAkiA

22、Bkkkkkkkik111121)1()()()()(,), 2 , 1(, 则则次试验中发生次试验中发生第第在在记事件记事件以以记这一事件记这一事件若以若以几何分布几何分布几何分布几何分布例例7.,1,次次打打开开门门的的概概率率求求该该人人在在第第的的概概率率被被选选中中即即每每次次以以开开门门他他随随机机地地选选取取一一把把钥钥匙匙打打开开这这个个门门其其中中仅仅有有一一把把能能把把钥钥匙匙他他共共有有一一个个人人开开门门knn则则次次打打开开门门表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解三、小结三、小结)()()(,. 1BPAPABPBA 两两事事件件独独立立

23、 ).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三三个个事事件件相相互互独独立立.,. 2相相互互独独立立与与与与与与相相互互独独立立重重要要结结论论BABABABA则则相相互互独独立立设设事事件件,.321nAAA)(nAAAP21）nAAAP211( )()()(nAPAPAP2115. 二项分布二项分布nkqpCknkkn, 2 , 1 , 0, 6. 几何分布几何分布nkppk, 3 , 2 , 1,)1(1 4.独立随机试验序列、贝努利试验独立随机试验序列、贝努利试验备用题备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反

24、例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A , B, C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红, 白白, 黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件, 问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红, 白白, 黑分别出现两面黑分别出现两面, 因此因此,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知例例2-1,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不

25、相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?射击问题射击问题例例3-1解解,名名射射手手击击落落飞飞机机第第为为设设事事件件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则.10, 2 , 1 i

26、)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中敌敌机机表表示示有有设设iAiA, B, C 分别表示甲

27、、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , ,1CBACBACBAA 由由于于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则例例3-2)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因因为为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41. 0 )()(2BCACBACABPAP 得得, 3ABCA 由由)()( 3ABCPAP 得得)()()(CPBPAP

28、7 . 05 . 04 . 0 因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为14. 0141. 06 . 036. 02 . 0 P.458. 0 .14. 0 要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自自该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是件乐器的测试是相互独立的相互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被认件中至少有一件在测试中被认为音色不纯为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的

29、概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音件是音色不纯的色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解解 , 3 )3 , 2 , 1 , 0( 件件乐乐器器随随机机地地取取出出件件表表示示事事设设以以 iHi, 件件音音色色不不纯纯其其中中恰恰有有i例例3-3.这批乐器被接收这批乐器被接收表示事件表示事件以以A纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的

30、乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有,)99. 0()(30 HAP,05. 0)99. 0(2 ,)05. 0(99. 02 ,)05. 0(3 ,3210的的一一个个划划分分是是 SHHHH)(1HAP)(2HAP)(3HAP,310019624)(2 HP.310034)(3 HP 30( )() ()iiiP AP H P A H故故000055. 08574. 0 .8629. 0 ,3100396)(0 HP而而,310029614)(1 HP经计算得经计

31、算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道题题的的概概率率问问能能碰碰对对试试于于是是随随意意填填写写道道题题不不会会做做有有道道题题生生仅仅会会做做今今有有一一考考其其中中一一个个为为正正确确答答案案可可供供选选择择的的答答案案个个每每道道选选择择题题有有道道选选择择题题设设某某考考卷卷上上有有 mm则则道道题题这这一一事事实实道道题题中中碰碰对对表表示示设设,4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP例例5-1解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44 mCBPmmmmEn: 可看成将可看成将 E 重复了重复了n次次, 这是一个这是一个n重重 贝努里试验贝努里试验.,21,互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用五五局局三三胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的乙乙