概率论频率概率古典概型

1、1频率、概率、古典概型频率、概率、古典概型2一一 . 频频 率率()nmfAn频率的性质：频率的性质： (非负性非负性) (1) 0( )1nf A (规范性规范性)(2)()1nf1频率的定义：频率的定义：频率与概率频率与概率在在 n 次试验中次试验中,事件事件A发生的次数发生的次数 m称为事件称为事件A的频数的频数,而比值而比值 m/n 称为称为事件事件A发生的频率发生的频率，记，记作：作： 3则则是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)3(21KAAA)()()()(2121knnnknAfAfAfAAAf 3频率的稳定性频率的稳定性 在不变的条件下在不变的条件下,重复进行重复进

2、行 n 次试验次试验,事件事件A发生的频率发生的频率 m/n 稳定地在某一常数稳定地在某一常数 p 附近摆附近摆动动, 并且并且 n 越大越大,摆动幅度越小则称常数摆动幅度越小则称常数 p为为事件事件A 在该条件下发生的概率在该条件下发生的概率(简称简称:频频率的稳定值为该事件的概率率的稳定值为该事件的概率) 记作：记作：P(A)= p概率统计定义概率统计定义（ 可列可加性可列可加性 ）4 我们首先引入的计算概率的数学模型，我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型5古典概型古典概型一古

3、典概型（等可能概型一古典概型（等可能概型)一般一般, 如果随机试验如果随机试验 E 具有：具有：(1) 有限性：有限性： 它的样本空间只有有限个样本点它的样本空间只有有限个样本点则称随机试验则称随机试验E为为古典概型古典概型,也称也称等可能概型等可能概型 (2) 等可能性：在每次试验中等可能性：在每次试验中,每个基本事件发生的每个基本事件发生的 可能性相同可能性相同62 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球. 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.7 因为抽取

4、时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得 . 也就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 34791086158 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球， i =1,2,10 . 称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说

5、或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同 .S=1,2,10 ,则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i =29记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=? P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=? P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6二古典概型中事件概率的计算公式二古典概型中事件概率的计算公式10这里实际上是从这里实际上是从“比例比例” 转化为转化为“概率概率”记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=6/10静态动态 当我们要求当我们要求“摸到红摸到红球球”的概率时，只要找出的概率时，只要找出它在静态时相应的比例它在静态时相应的比例.

6、2 347910861511这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题 .定义定义 设试验设试验E是是古典概型古典概型, 其样本空间其样本空间S由由n个样本点组成个样本点组成 , 事件事件A由由k个样本点组成个样本点组成 . 则定则定义事件义事件A的概率为：的概率为：称此概率为称此概率为古典概率古典概率. 这种确定概率的方法这种确定概率的方法称为称为古典方法古典方法 . A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n S中的样本点总数中的样本点总数12下面我们就来介绍如何计算下面我们就来介绍如何计算古典概率古典概率.排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的

7、重要工具 .13基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所要用到的所要用到的1. 加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,； 第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1 + n2 + + nm 种方法种方法 .14例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.

8、火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3 + 2 种方法种方法回答是回答是15基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法 .mnnn212. 乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,； 第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，16例如，若一个男人有三顶帽子和两例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有

9、多少种打扮？件背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮2317 加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础 .18排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式排列和组合的区别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排列而组合不管而组合不管顺序顺序19从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2

10、个个的组合总数有的组合总数有3种种236P 233C 201、排列排列: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为： k = n时称全排列时称全排列!)(nnnnpPnnn1221排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式)!(!)()(knnknnnnpkn12121ABDC例如：例如：n=4, k =3第第1次选取次选取第第2次选取次选取第第3次选取次选取BDCBCDBDC2423434P2412344P22从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：knnnn 例如：从

11、装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k =3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法23!)!(!kknnkPCknkn2、组合、组合: 从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为： knC常记作常记作nk，称为组合系数。，称为组合系数。!kCPknkn你能证明吗？你能证明吗？24组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：nk 3、组合系数与二项式展开

12、的关系、组合系数与二项式展开的关系knknknbaknba0)(25令令 a=-1,b=101210nnnnnn)(nnnnnn2210利用该公式，可得到许多有用的组合公式：利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令令 a=b=1,得得knknknbaknba0)(26nmnmxxx)()()(111由由221102010jnjjmjjnmjxjnxjmxjnm有有比较两边比较两边 xk 的系数，可得的系数，可得 iknimknmki 0运用二项式展开运用二项式展开274、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目组，各组元素数目分别为分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为nrrr

13、rrrnkk2121,!r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个元素个元素211kkrrrnn rrCCC12! !knr rr因为因为28请回答：请回答：对排列组合，我们介绍了几个计算公式对排列组合，我们介绍了几个计算公式？排列：排列： 选排列，全排列，选排列，全排列， 分组分配分组分配. 组合；组合； 允许重复的排列允许重复的排列 ; 29三、古典概率计算举例三、古典概率计算举例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片同一盒中，现从盒中任意一张一张

14、地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE问问: 在多大程度上认为这样的结果在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？30拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在验，则我们所关心的事件在1260次试验中次试验

15、中大约出现大约出现1次次 .42200079. 012601! 74p解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7！31 这样小概率的事件在一次抽卡的试验这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术是魔术. 具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这的把握怀疑这是魔术是魔术.32解：解：=0.3024允许重复的排列允许重复的排列问：问：错在何处？错在何处？例例2 某城市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个个数字组成，每个数字可能是从数字可能是从0- -9这十个数字中的任一个，求这十个数字中的任一个，求电

16、话号码由五个不同数字组成的概率电话号码由五个不同数字组成的概率. .计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不同.从从10个不同数字中个不同数字中取取5个的排列个的排列510510Pp 510510Cp 33例例3 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品P(B)=？( )MNMknkP BNn次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品34解：把解：把2n只

17、鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法总数为的分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故nnn2)!2(! 2! 2 ! 2)!2()!2(2 !2/)!2(!)(nnnnAPnn例例4 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，堆，每堆每堆2只只 . 问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的的概率是多少？概率是多少？35 “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的以认为各基本事件或样本点是等可能的.在在

18、实际应用中，往往只能实际应用中，往往只能“近似地近似地”出现等出现等可能，可能，“完全地完全地”等可能是很难见到的。等可能是很难见到的。1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.需要注意的是：需要注意的是：36 在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我我们就可以认为基本事件是等可能的并在此们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率基础上计算事件的概率.37Ex1:掷两颗均匀骰子，求出现点数之和是掷两颗均匀骰子，求出现点数之和是8的概率。的概率。答案：答案：P=5/36掷一颗骰子，有掷一颗骰子，有6个等可能的结果，

19、掷两颗骰子，个等可能的结果，掷两颗骰子，有有66=36个等可能结果，设个等可能结果，设X为第一颗骰子掷出的为第一颗骰子掷出的点数，点数，Y为第二颗骰子掷出的点数。为第二颗骰子掷出的点数。A=X+Y=8,只有（只有（2，6），（），（3，5），（），（4，4），），（5，3），（），（6，2）。）。382、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率

20、是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？4102815)(AP错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只39例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？ 正确的答案是：正确的答案是：410252815)(AP请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也

21、不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.40“分球入箱分球入箱”问题问题设有设有n个球，每个都以相同的概率个球，每个都以相同的概率1/N(N n)落入落入N个箱个箱子中的每一个中。根据以下条件，分别求事件子中的每一个中。根据以下条件，分别求事件A=某预某预先指定的先指定的n个箱子中各有一球个箱子中各有一球的概率的概率p.条件：条件：1.球编号，每个箱子容纳的球数不限。球编号，每个箱子容纳的球数不限。2.球编号，每个箱子只容纳一个球。球编号，每个箱子只容纳一个球。3.球不编号，每个箱子只容纳一个球。球不编号，每个箱子只容纳一个球。4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限球不编号，每个箱子容纳的球数不限

22、以以n=3,N=4为例计算。为例计算。41“分球入箱分球入箱”问题问题1.球编号，每个箱子容纳的球数不限。球编号，每个箱子容纳的球数不限。因为每个箱子容纳的球数不限，所以这是一个可重因为每个箱子容纳的球数不限，所以这是一个可重复的排列问题。复的排列问题。34! 3p32342“分球入箱分球入箱”问题问题2.球编号，每个箱子只容纳一个球。球编号，每个箱子只容纳一个球。这是一个选排列问题。这是一个选排列问题。34! 3Pp 4124643“分球入箱分球入箱”问题问题3.球不编号，每个箱子只容纳一个球。球不编号，每个箱子只容纳一个球。这是一个组合问题。这是一个组合问题。341Cp 4144“分球入箱分球入箱”问题问题4.球不编号，每个箱子容纳的球数不限球不编号，每个箱子容纳的球数不限201p总情况数为：总情况数为：按占位法作，共有位置按占位法作，共有位置4+1+3-2=6（两端不算）个，（两端不算）个，三个球在三个球在4个箱子中的一种分布就对应于三个球在这个箱子中的一种分布就对应于三个球在这6个位置上的一种占位法，共有个位置上的一种占位法，共有2036C453、