函数的凹凸性

1、函数的凹凸性专题一、函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数在区间上连续，对，假设恒有，那么称的图象是凹的，函数为凹函数；2、凸函数定义：设函数在区间上连续，对，假设恒有，那么称的图象是凸的，函数为凸函数.二、凹凸函数图象的几何特征1、形状特征如图，设是凹函数图象上两点，它们对应的横坐标，那么，过点作轴的垂线交函数图象于点，交于点. 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的局部位于弦的下方；凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的局部位于弦的上方.简记为：形状凹下凸上.2、切线斜率特征凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大而增大即的二阶导数；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率随增大

2、而减小即的二阶导数.简记为：斜率凹增凸减.3、增量特征 设函数为凹函数，函数为凸函数，其函数图象如下列图.当自变量依次增加一个单位增量时，函数的相应增量越来越大；函数的相应增量越来越小.由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量凹函数的增量特征是：越来越大； 凸函数的增量特征是：越来越小.三、常用的不等式1、二次函数中，；2、反比例函数中，；3、指数函数中，；4、对数函数中，；5、对数函数中，；6、幂函数中，；7、幂函数中，；8、正弦函数中，；9、余弦函数，；10、正切函数，.四、函数凹凸性在高考中的应用1、05湖北理6在，四个函数中，当时，使得恒成立的函数的个数是 2、 06重庆理9如下列图，

3、单位圆中弧的长为，表示弧与弦所围成弓形面积的倍，那么函数的图象是 3、07江西理8 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下列图盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，那么它们的大小关系正确的选项是 、 、 、4、98全国理10向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如以下列图所示，那么水瓶的形状是 5、09广东理8 甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线假定为直线行驶甲车、乙车的速度曲线分别为和.如图2所示那么对于图中给定的和，以下判断中一定正确的选项是 、在时刻，甲车在乙车前面

4、 、时刻后，甲车在乙车后面、 在时刻，两车的位置相同 、时刻后，乙车在甲车前面6、00江西理7假设，那么 7、11山东理9函数的图象大致是 8、13新课标I文9函数在上的图象大致为 9、16新课标7函数在的图象大致为 10、13江西理10如图，半径为的半圆与正夹在两平行直线，之间，与半圆相交于，两点，与两边相交于，两点.设弧的长为，假设从平行移动到，那么函数的图象大致是 11、17全国II理23，那么的最大值为_.12、，那么的最小值为_.13、，且，那么_.填14、，且，那么的最小值为_.15、在中，的最大值为_.16、，且，那么的最小值为_.17、，且，那么的最小值为_.18、，那么的最小值为_.19、，且，那么的最小值为_.20、10安徽文16假设，那么以下不等式对一切满足条件恒成立的是_.； ； ； ； 21、14新课标理24假设，且.那么的最小值_.22、15重庆文14，且，那么的最大值为_.23、05全国卷