123角的平分线的性质课件（新版）新人教版唐小茜

1、旧知回顾角的平分线的定义是什么？旧知回顾 已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。ABO要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.已知AB=AD.将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为BAD的平分线.BEDCA动脑思考动脑思考把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边AB与AD相等，从几何作图角度怎么画？BADC动脑思考动脑思考BC=DC从几何作图角度怎么画？BADC 角平分线的画法（）分别以M，N为圆心大于MN一半的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C（

2、3）作射线，则射线OC即为所求ABOMNC()以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N8想一想：为什么想一想：为什么OC是角平分线呢？是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分AOB.证明：连接CM，CN 在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC （SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOBABMNCO9操作：用纸剪一个角，把纸片对折，操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展（

3、使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕开，观察两次折叠形成的三条折痕. .10问题问题1 1：第一次的折痕和角有什么关系？：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？为什么？ 问题问题2 2：第二次折叠形成的两条折痕与角：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？的两边有何关系，它们的长度有何关系？11归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.12已知：如图，

4、已知：如图，OP是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为，垂足分别为D，E求证：求证：PD=PE证明证明: 1=2 , : 1=2 , OP=OPOP=OPPDO=PEO=90PDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PDOPEO (AAS)PD=PE (PD=PE (全等三角形的全等三角形的对应边相等对应边相等) ) A AO OB BD DP PE EC C1 12 2角平分线的性质定理角平分线的性质定理定理定理 角的平分线上的点到这个角的两边角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的距离相等。定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：

5、（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直）垂直 距离。距离。定理的作用：定理的作用： 证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD = PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有推理的理由有三个，必须写三个，必须写完全，不能少完全，不能少了任何一个。了任何一个。A AO OB BD DP PE E14判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF.（2）如图2，P是A

6、OB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.AOBPEF图2图3AOBPEAOBPEF图1（3）如图3，在AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.BOAPEDC已知：如图，已知：如图，PDOA，PEOB，垂，垂足分别是足分别是D，E， PD=PE。求证：点求证：点P在在AOB的平分线上。的平分线上。证明证明: : 在在RtODPRtODP和和RtOEPRtOEP中中, ,ODP=OEP=90ODP=OEP=90OP=OP, PD=PEOP=OP, PD=PERtOPDRtOPE (HL)RtOPDRtOPE (HL) 角的内部

7、到一个角的两边的距离相角的内部到一个角的两边的距离相等的点，等的点， 在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。定理定理 定理定理 2的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPC OBPD PD= PE （角的内部（角的内部到一个角的两边的距离相到一个角的两边的距离相等的点，等的点， 在这个角的平分线上在这个角的平分线上）用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线BOAPEDC知识运用知识运用 如图，开发区一个工如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较等，并且与河上

8、公路桥较近桥头的距离为近桥头的距离为500米。米。你能尝试确定工厂的位置你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。吗？并说明理由。北北比例尺比例尺1：20000 到公路的距离与到河岸的距离相等到公路的距离与到河岸的距离相等工厂在河岸与公路的角平分线上工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上在这个角的平分线上）以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.52.5则另一点就是工厂的位置。则另一点就是工厂的位置。 例题讲解例题讲解例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平的角平分线分线BM、CN相

9、交于点相交于点P.求证：求证：点点P到三边到三边AB、BC、CA的距的距离相等离相等.证明：过点证明：过点P P作作PDPD 、PEPE、PFPF分别垂直于分别垂直于ABAB、BCBC、CACA，垂足为，垂足为D D、E E、F F BMBM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上上 PD=PEPD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PFPE=PF. . PD=PE=PFPD=PE=PF. . 即点即点P P到边到边ABAB、BCBC、CACA 的距离相等的距离相等DEFABCPMN课堂小结 3 3 角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理1 1，定理，定理2 2是是证明角证明角相等，线段相等相等，线段相等的新途径。的新途径。定理定理1 1多用于证明多用于证明线段相等线段相等，定理定理2 2多用于多用于证明角相等或点在角证明角相等或点在角平分线上。平分线上。1 1 角的平