24章圆总复习（共3个课时）

1、一、圆的概念一、圆的概念n1.1.平面上到定点的离等于定长的所平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做有点组成的图形叫做圆圆. .其中其中, ,定点定点称为称为圆心圆心, ,定长称为定长称为半径半径的长的长( (通常通常也称为半径也称为半径).).以点以点O O为圆心的圆记作为圆心的圆记作OO, ,读作读作“圆圆O”.O”.n2 2. .圆心确定圆的圆心确定圆的位置位置, ,半径确定圆半径确定圆面积的面积的大小大小. . 3.圆是圆是轴对称轴对称图形图形,圆的对称轴圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线是任意一条经过圆心的直线,它它有无数条对称轴有无数条对称轴. 4.圆也是圆也是中心对称中心

2、对称图形图形,它的对它的对称中心就是圆心称中心就是圆心. 5.圆的圆的旋转不变性旋转不变性.6.圆上任意两点间的线段叫做圆上任意两点间的线段叫做弦弦,经过圆心经过圆心的弦称为的弦称为直径直径,圆心到弦的距离称为圆心到弦的距离称为弦心弦心距距.7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称简称弧弧.直径分圆为两条相等的弧直径分圆为两条相等的弧,称为称为半圆半圆.大于大于半圆的弧称为半圆的弧称为优弧优弧,小于半圆的弧称为小于半圆的弧称为劣劣弧弧.8. 圆心相同圆心相同,半径不同圆称为半径不同圆称为同心圆同心圆.9. 半径相同半径相同,圆心不同的圆称为圆心不同的圆称为等圆等圆.n

3、10.10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为在同圆或等圆中，能够重合的弧称为 等弧等弧. .n11.11.顶点在圆心的角称为顶点在圆心的角称为圆心角圆心角. .n12.12.顶点在圆上顶点在圆上, ,它的两边分别它的两边分别 与圆还有与圆还有 另一个交点另一个交点, ,像这样的角像这样的角, ,叫做叫做圆周角圆周角. .一、一、垂径定理垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形” 若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦, ,并且平分并且平分弦所对的两条弧弦所

4、对的两条弧. .2. 2.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦分弦所对的两条弧所对的两条弧.(1)直径直径 (过圆心的线过圆心的线) (2)垂直弦垂直弦 (3) 平分弦平分弦 (4)平分弧平分弧知二得二知二得二注意注意: “ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗这句话对吗?错错!OABCDMOABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例1 1、O

5、O的半径为的半径为10cm10cm，弦，弦ABCDABCD， AB=16AB=16，CD=12CD=12，则，则ABAB、CDCD间的间的 距离是距离是_._.2.如图，有两个同心圆，大圆的如图，有两个同心圆，大圆的弦弦AB为小圆的切线，切点为为小圆的切线，切点为C.若若AB=4cm，求圆环的面积，求圆环的面积.ACBOABCP3. 如图，如图，AB是是 O的任意一条弦，的任意一条弦，OCAB，垂足，垂足为为P，若，若 CP=7米，米，AB=28米米 ，你能求出这个广场的半，你能求出这个广场的半径吗？径吗？O4.4.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径。假设钢

6、珠的直径是径。假设钢珠的直径是1212毫米，测得钢珠毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为顶端离零件表面的距离为9 9毫米，如图所毫米，如图所示，则这个小孔的直径示，则这个小孔的直径ABAB长是长是 毫米毫米9 mm36OABCD5.某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽为为7.2m，拱顶高出水面，拱顶高出水面2.4m，ABO7.2m2.4m 现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面船舱顶部为方形并高出水面2m的货船要经过的货船要经过这里。问：此货船能顺利通过这座桥吗？这里。问：此货船能顺利通过这座桥吗？r=3.9 m 在在同圆同圆或或等圆等圆中中,

7、,如果如果两个圆心两个圆心角角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心两条弦心距距中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那么它们所对那么它们所对应的其余各组量都分别相等应的其余各组量都分别相等. .OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出AOB=AOB二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系三、圆周三、圆周角定理及推论角定理及推论 9090的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . .OABCOBACDEOABC定理定理: : 在同圆或等圆中在同圆或等圆中, ,同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角相等所对的圆周角相等, ,都等都等于这

8、弧所对的于这弧所对的圆心角的一半圆心角的一半. . 推论推论: :直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 . .直角直角直径直径判断判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等. (2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等. 1.如图：圆如图：圆O中弦中弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的圆心角是则这条弦所对的圆心角是,圆周角是圆周角是.OBA60度度30度度CAOB2.已知已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，如果，如果 AOC等于等于140度时，度时，求求 B的度数。的度数。110度度 3

9、.如图：如图：AB是圆是圆O的直径，的直径，BD是圆是圆O的弦，的弦，延长延长BD到到C，AC=AB，BD与与CD的大小有什的大小有什么关系？么关系？ 为什么？为什么？BDCAO若若B=70度度,则则DOE=。E例例1:求下列各图中的角求下列各图中的角ACO.EBD80ADCOB40.=100=160=25=138圆周角圆周角弧弧圆心角圆心角圆周角圆周角弧弧圆心角圆心角圆的内接四边形外角等于内对角圆的内接四边形外角等于内对角圆周角圆周角弧弧圆周角圆周角直径所对的圆周角为直角直径所对的圆周角为直角圆心角圆心角弧弧圆周角圆周角圆的内接四边形对角互补圆的内接四边形对角互补EBACDO.25=42CD

10、.OBAE42由弧到角由弧到角,由角看弧由角看弧例例2: (1)已知已知 o的内接的内接ABC中中,A=30,BC=2, 求求 o 的半径。的半径。 ABCOA2A1A330 (2)已知已知 o的内接的内接ABC 中中,BC=2，R=2， 点点A是圆上任意一点，求是圆上任意一点，求A。. 想 一 想R=2A=30, A=150例例3、已知：如图，、已知：如图，AB是半圆的直是半圆的直 径径，AC是一条弦，是一条弦，D是弧是弧AC 的中点的中点，DEAB于于E交交AC于于F， DB交交AC于于G， 求证：求证：AF=FGADEBFGCO.5123467A+BCD=180A+BCD=180同理同理

11、,ABC+ADC=180,ABC+ADC=180 与与 所对的所对的圆心角的和是圆心角的和是360AADCEDCE那么那么,BCD+DCE=180,BCD+DCE=180延长延长BCBC到到E E，E定理定理 圆的内接四边圆的内接四边形的形的对角对角互补，并且任互补，并且任何何一个外角一个外角都等于它的都等于它的内对角内对角。如图如图,四边形四边形ABDC为为OO的内的内接四边形接四边形, ,已知已知BOCBOC为为100100, ,求求BAC及及BDCBDC的度数。的度数。 解：解：BAC=50BAC=50, , BDC=130 BDC=130如图如图,BC是直径，则是直径，则DBCDBCB

12、AE等于：等于：( ) (A)60 (B)90(C)120 (D)180 B 如图，如图，O1与与O2都经过都经过A A、B B两点，经过点两点，经过点A A的直线的直线CDCD与与O1交交于点于点C C，与，与O2交于点交于点D D经过点经过点B B的直线的直线EFEF与与O1交于点交于点E E，与，与O2交于点交于点F F求证：求证：CE CE DF DF.p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外练练1：有两个同心圆，半径分别为和：有两个同心圆，半径分别为和r，是圆环内一点，则的取值是圆

13、环内一点，则的取值范围是范围是.OPrOPR2.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距离最长为上一点的距离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的半径为的半径为_.2cm3.3.怎样要将一个如图所示的怎样要将一个如图所示的破镜重圆破镜重圆？ 直线和圆相交直线和圆相交nd d r;r;nd d r;r;n 直线和圆相切直线和圆相切n 直线和圆相离直线和圆相离nd d r;r;五五. .直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd切线的判定定理切线的判定定理 定理定理 经过半径的外端经过半径的外端, ,并且垂直于这条半径的并且垂直于这条半径的直线是圆的切

14、线直线是圆的切线. .CDOAn如图如图nOAOA是是OO的的半径半径, , 且且CDOACDOA, ,n CDCD是是OO的切线的切线. .（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）（）经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条并且垂直于这条半径的直线是圆的切线半径的直线是圆的切线. 如图如图,AB是圆是圆O的直径的直径,圆圆O过过AC的中点的中点D,DEBC于于E,试说明试说明:DE是圆是圆O的切线的切线.ABCDEO.切线的性质定理切线的性质定理 圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径. .nCDCD切切OO于于, OA, OA是是O

15、O的半径的半径CDOACDOA.n从圆外一点向圆所引的两条切线长从圆外一点向圆所引的两条切线长相等相等; ;并且这一点和圆心的连线平分并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角两条切线的夹角. .ABPO12ABCODEFABCOODEF.21cbarS.2cbar切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆半径与三边关系半径与三边关系.n三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积.PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2实质实质性质性质三角形的外三角形的外心心三角形的内三角形的内心心三角形三边垂直平分线的交点三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的到三角形各边的距离相等距离相等到三角形各顶点到三角形各顶点的距离相等的距离相等锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内, ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心三