弹性力学 第5章(6,7节)

1、 位移变分法是取位移为基本未知函数，位移变分法是取位移为基本未知函数，假设位移函数形式，使之满足位移边界条假设位移函数形式，使之满足位移边界条件，利用位移变分方程确定待定系数，从件，利用位移变分方程确定待定系数，从而求得位移，进而求出形变分量及应力分而求得位移，进而求出形变分量及应力分量的方法。量的方法。5-6 位移变分法mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试设定位移试函数的方法函数的方法，令 1. 1.瑞利瑞利- -里茨法里茨法 其中 为已知的边界条件， 为在边界上等于零的设定的x，y的

2、函数， 为互不依赖的2m个系数。 00, u v. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法ususmAmB ,mmuvmmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00显然 u，v已满足位移边界条件。而 ， 用来反映位移状态的变化，故位移的变分为位移的变分为mAmB.,mmmmmmBvvAuu(d)(a)( . d)(dd)(esvfufyxvfufUyxsAyx)( . )(fBBUAAUUmmmmm瑞利-里茨法mAmB 位移的变分通过 ， 的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移

3、变分方程.,mmmmmmBvvAuu(d)将式(d)，( f )代入(e)得.0ddddddAsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的、独立的，为了满足上式，必须:mAmB)( )2 , 1(.ddd,dddgmsvfyxvfBUsufyxufAUAsymymAsxxmmmm瑞利-里茨法mAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨变分方程里茨变分方程。它是关于 ，的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从而得到位移的解答。（1）位移试函数设定与前节一致，且u,v 不仅满足位移不仅满足位移边界条件，而且也满足应力边界条件边

4、界条件，而且也满足应力边界条件。伽辽金法2.2.伽辽金法伽辽金法（2）待定系数方程由虚功方程可知，()() d dyxyxyxxyAfufvxyxyyx()() d0.xyxxyxyyslmfumlfvs满足应力边界条件，则：()() d d =0hyxyxyxxyAfufvxyxyyx（ ）将位移的变分 ， （式(d )）代入，同样由于 ， 为完全任意的和独立的变分，得到umAmBv()() d d =0hyxyxyxxyAfufvxyxyyx（ ）)( )2 , 1(. 0dd)(, 0dd)(imyxvfxyyxufyxmyxyAymxyxAx将上式括号内的应力用位移来表示，得伽辽金变分

5、方程伽辽金变分方程: :)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m 式( j )也是关于 ， 的线性代数方程组，从上式解出 ， ，便得到位移的解答。伽辽金法mAmBmAmB)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m例例1 1 图示矩形板ab，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。1q2q5-7 位移变分法例题应用瑞利应用瑞利- -里茨法里茨法

6、，设定位移 满足两个约束边界条件 .,111111yBvBvxAuAu. 0)( , 0)(00yxvu例题例题 (a)(b)其余的应力边界条件及平衡微分方程由下列变分方程变分方程代替（其中 ）：0yxff1111d ,d .yxssUf usAUf vsB(c)对式(c)右边的积分，应包含所有的应力边界条件（当 或 处积分为0），0 yxff例题例题 且其中的 ， 应代入相应的边界方程。将式(a)代入 U ，计算式(c)的左边项。 共建立两个方程，求出 和 ，得位位移解答：移解答：1v1u11 BA例题例题 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d) 对于图示的简单问题，式(d)正好

7、是其精确解。).1()( ,0)(,0),( ,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例题例题 (e)例例2 2本题全部为位移边界条件：全部为位移边界条件：本题以y轴为对称轴，u应为x的奇函数,v应为x的偶函数。例题例题 (f)设定位移势函数设定位移势函数为)().1 ()1 ()1 (),1 ()1 (2222221110111gbybyaxBbyaxvBvvbyabxyaxAuAu 位移(g)已满足对称性条件已满足对称性条件(f)(f)和全部边和全部边界条件界条件(e)(e)。 因 全部为位移边界条件且均已满足，从55 式(u)可见，也可应用伽辽金变分法。, 0,usss例题例题

8、将位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答与书中用瑞利-里茨法 给出的结果相同。 因 ，故伽辽金变分方程伽辽金变分方程为 . 0dd)2121(2, 0dd)2121(21122200222220022yxvyxuxvyvyxuyxvyuxuabab0yxff,11BA例题例题 (h)解：对a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.(13.25 ,53.28度）baTT例题例题3 3 单位厚度 的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。（取 ，并设 ）。) 1(2 . 0ba例题例题 qyxbuvbaaoq解：在图示

9、荷载作用下，深梁的位移应对称于x轴，而反对称于y轴。 因此，位移分量u应为 、 的奇函数，而v为 x 、y 的偶函数，x y如图所示。可以设定位移势函数如下：,)1 (2322122yAxAAabxyaxu.)1 (2322122yBxBBaxv上式已满足两端的约束边界条件，以及对称和反对称性条件。以下按瑞利-里茨法进行计算。, ax, 0),(vu例题例题 假设只取u，v中一项，即将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得：,)1 (22111abxyaxAuAu).1 (22111axBvBv)961 ()1 ( 24422222211axaxbayAEU)1 (442122311422

10、1axbaxBAaxB).21 (442222221axaxbaxA例题例题 在本题中体力 ，在 边界上只有 的均布荷载， 。由此，瑞利-里茨方程成为 abdxdyUU001421212342115412BabAabEbaBA0yxffbyqfy0 xf, 01AU.11sydsvfBU例题例题 再积分求U， 应力边界是 ，且 ，从 到 积分。再将U代入上式，得到两个求 的方程：bydxds aa11,BA, 01581571621158121112BAbaAabE.38158382112112qaABabE当取 ，且 时，上两式方程简化为由此解出 ,位移分量的解答是

11、2 . 0ba , 0353911BA.565111EqaBAEqaA3125. 11.4625. 11EqaB,)1 (3125. 1222axyaxEqau).1 (4625. 122axEqav例题例题 例题例题4 4图中所示的薄板，厚度 ，三边固定，一边受到均布压力q的作用。试用瑞利-里茨的位移变分法求解，其中取 ， 。10ba 例题例题 aa b xyq解：在瑞利-里茨法中， 设定位移试函数应满 足位移边界条件，并 应反映图示问题的对称性。取,)(232122xAyAAxyaxu.)(232122xByBByaxv上式已反映了位移对称于y轴的要求：v为x的偶函数，u为x的奇函数。 仅

12、取各一项进行运算，由于体力 ，面力只存在于AB边（），因此求解 的位移变分方程为：,)(22111xyaxAuAu.)(22111yaxBvBv0yxffby 例题例题 11,BA当 ，且取泊松系数 时，形变势能简化为将u、v 代入,01AU .11ABbyydxvfBU.)(21)()(22221xvyuyvxuEU例题例题 （a）（b）0ba . 221692224422122442211xaaxxAxaaxyAEU.222211yaxxBA222122442122yxBxaaxB aadxdyUU00121533415732212216BaAEa.15211aBA形变势能U为将U及 代入

13、式(a)，(b)，得)(byqfy, 073211BaA.10334211EaqBaA(c)(d)从式(c)、 (d)解出,106721031EaqA .106796021EaqB ),1 (106721022axEaqxyu).1 (106796022axEqyv例题例题 于是得到位移分量，再求应力分量，取 ，得：0).1 (106710522axaxqyxayqx1067210.0 xy),1 (106796022axqy0y例题例题 在对称轴上，x=0， ,在 边界， ,),31 (106721022axayqxuEx),1 (106796022axqyvEy.960)1 (105106

14、71)(222ayaxaxqxvyuExy 本题中，由于u，v中各只取一项，且取 ，因此，求出的位移解的精度较低；而由近似解的位移求应力时，其应力精度要降低一阶，其精度更差些。对于实际问题，应取更多的项数进行计算。0总结 1.变分法变分法是弹性力学中另一独立的求解方法。 在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立变分方程的条件，建立变分方程，并进行求解。弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以互相导出。由于变分法得出的常常是近似的解答，所以也将变分法归入弹性力学的近似解法。教学参考资料教学参考资料 2.有限单元法有限单元法是20世纪中期发展

15、起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中在有限单元法中, ,首先将区域离散化，把连续体变换为离散首先将区域离散化，把连续体变换为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。应用到离散化结构，从而建立求解的方法。 有限单元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。教学参考资料教学参考资料3.3.对于工程技术人员来讲，这些弹性对于工程技术人员来讲，这些弹性 力学的近似解法，是用来解决实际问题力学的近似解法，是用来解决实际问题的有效手段。因此，读者不仅要理解，的有效手段。因此，读者不仅要理解，而且要能应用这些近似解法。

16、而且要能应用这些近似解法。教学参考资料教学参考资料 1.1.变分法是研究泛函及其极值的求解方变分法是研究泛函及其极值的求解方法。法。弹性力学中的位移变分法弹性力学中的位移变分法，是取位 移函数为宗量，由总势能处于极小值的 条件来导出变分方程，然后进行求解的。 以下列出平面应力问题的有关变分公式 及方程。教学参考资料教学参考资料 （二）本章内容提要（二）本章内容提要2.2.弹性体的功和能弹性体的功和能总势能外力功外力势能形变(内力)势能,pVUE,d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfufW.WVAxyxyyyxxyxUd)d(21教学参考资料教学参考资料.dd21212dd2121222

17、222222yxyuxvyvxuyvxuEyxEAAxyyxyx3.3.在虚位移上弹性体的功和能在虚位移上弹性体的功和能 虚位移虚位移( (位移变分位移变分) ) ,是在约束条件允许下，在平衡状态附近的微小位移增量。虚位移状态 其中u，v为实际平衡状态下的位移。vu, ,vvvuuu教学参考资料教学参考资料当虚位移发生时，当虚位移发生时，外力的虚功外力势能的变分形变势能的变分.d)(dd)(svfufyxvfufWyxsAyx.dd)(AxyxyyyxxyxU.WV教学参考资料教学参考资料 4.4.变分方程变分方程在封闭系统中，假定没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚

18、位移过程中，形变势能的增加应等于外力势能的减少，即上式也可以改用下列各形式表示和解释。位移变分方程位移变分方程.WU.d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx教学参考资料教学参考资料虚功方程虚功方程最小势能原理最小势能原理 其中 。或者表示为，.d)(dd)(dd)(svfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx0pE, 0p2E.pminEVUEp教学参考资料教学参考资料Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()(. 0d)()(svflmufmlsyxyyxyxx位移变分方程的又一形式位移变分方程的又一形式教学参考资料教学参考资料7.7.位移变分法位移变分法 瑞利里茨法瑞利里茨法：设定位移试函数， 预先满足 上的约束边界条件，再满足瑞利里茨变分方程，, ),(),(, ),(),(00mmyxvByxvvyxuAyxuummmmusAsAsxmmymymmxmsvfyxvfBUsufyxufAU.ddd,ddd)2 , 1(m教学参考资料教学参考资料 伽辽金法伽辽金法：设定位移势函数预先满足 上的约束边界条件和 上的应力边界条 件，再满足伽辽金变分方程，s. 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222yxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA教学参考资料教学参考资料)2