大学物理2电势电能

1、第第8 8章章 电势电势8.1 8.1 静电场力的功静电场力的功 电势能电势能rdFdA rrqqF4200rdrrqq4200drrqq2004drFrrABrABqq01). 1). 场源电荷为点电荷场源电荷为点电荷1.1.静电场力的功、静电场力是保守力静电场力的功、静电场力是保守力drrqqABArrAB2004BArrqq11400静电场力作功与路径无静电场力作功与路径无关，静电场力是保守力关，静电场力是保守力drFrrABrABqq0drFrriAiBrABq0qiq2q1i2). 2). 场源电荷为场源电荷为 电荷系电荷系 EqF0iiEq0iiirriABdrrqqAiBiA20

2、04rdFdAiiidrrqq2004rdEqii0iBiAiirrqq11400204iiirqE2. 2. 电势能电势能 WWWldfAbbaaababqE点电势点电势能能ab点电点电势能势能静电场力作功与路径无关，静电场力静电场力作功与路径无关，静电场力是保守力是保守力l dFA为此，引入电势能的概念为此，引入电势能的概念定义：静电场力作功等于相应电势能的负增量（减量）定义：静电场力作功等于相应电势能的负增量（减量）iiBiAiABrrqqA114000ABBAl dFl dFAB3 3、 静电场的环路定理静电场的环路定理E dlL01)1)表述表述 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒

3、等于零。静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零。 即即0LLl dEql dfE dlL02)2)证明证明静电场力是保守力静电场力是保守力讨论讨论静电场的基本方程静电场的基本方程保守场保守场微分形式微分形式0E f dlq E dlWWabababEdlWqWqabababqE如图示如图示点电荷点电荷 在场中受力在场中受力Eqf8.2 8.2 电势差和电势电势差和电势qWqWba根据静电场的根据静电场的环路定理环路定理与试验电荷无关与试验电荷无关反映了电场在反映了电场在a b两两点的性质点的性质q baldE 势能零点aaldE 电电势零点的选择势零点的选择( (参考点参考点) )任意任意

4、 视分析问题方便而定视分析问题方便而定参考点不同电势不同参考点不同电势不同若选若选b b点的势能为参考零点点的势能为参考零点则则 a a点的电势由下式得到点的电势由下式得到ba称称 为为a ba b两点的两点的电势差电势差 讨论讨论 baabldEqA)(baqq q电荷由电荷由a a到到b b电场力作功为电场力作功为 通常通常理论理论计算计算有限有限带电体电势时选带电体电势时选无限远无限远为参考点为参考点理论理论计算计算无限无限带电体电势时选带电体电势时选有限远有限远为参考点为参考点实际实际应用中或研究电路问题时取应用中或研究电路问题时取大地大地、仪器、仪器外壳外壳等等电势的量纲电势的量纲S

5、I制：单位制：单位 V (伏特伏特) 量纲量纲 132IMTLqW电势是一个长程物理量电势是一个长程物理量8.3 8.3 电势的叠加原理电势的叠加原理1.设有一点电荷系设有一点电荷系,在其静电场中任一在其静电场中任一P点的场强为点的场强为rdEErdEPPPPP)(2100iPiPPPPrdErdE)(00212.对电荷连续分布的带电体对电荷连续分布的带电体(有限空间分布有限空间分布)dPrpdq1.1.点电荷场电势公式点电荷场电势公式rldEdrrQr204rQ048.4 8.4 电势的计算电势的计算QPrEl d PPl dErdrrQr204 rdl d2.2.任意带电体电势任意带电体电

6、势方法一、方法一、 由定义式出发由定义式出发 0PPldE方法二、方法二、 电势叠加原理电势叠加原理 iPPiiPPldEldE00ii分立带电体Qd连续带电体 iPPiildE0rdq04iiPirq04例例 计算均匀带电计算均匀带电球面球面的电势的电势 如图如图PldEdrrQdlRRr2040RQo解：方法一解：方法一均匀带电球面电场的分布为均匀带电球面电场的分布为rrQERrERr4020 Rr RrPRQ04RQ04Rr Rr与电量集中在球心的与电量集中在球心的点电荷点电荷的电势分布相同的电势分布相同图示图示Ur0R等势体等势体Rdqd04 QQRdqd04QR40RQo方法二：方法

7、二：在球面上任取一电荷元在球面上任取一电荷元dqdq则电荷元在球心的电势为则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势球面上电荷在球心的总电势思考：思考：电量分电量分布均匀？布均匀？圆环、圆环、圆弧？圆弧？例例 计算电量为计算电量为 的带电的带电球体球体的电势分布的电势分布Qrl dERQo解：解：03rE Rr RrdrrQdrrRRr20043Rr Rrrl dEdrrQr204rQ04lopdqdxrdqd04xaldx04dxa解：在坐标解：在坐标 x 处取一个处取一个电荷元电荷元dqdxr该点电荷在该点电荷在 p 点的电势大小为点的电势大小为电势大小直接

8、相加电势大小直接相加p求：如图所示求：如图所示 点的电势点的电势 例例 长为长为 l 均匀带电直线电荷线密度为均匀带电直线电荷线密度为x 例例 计算单位长度带电计算单位长度带电 的的无限长细棒场中一点无限长细棒场中一点a a的电势的电势barrbal dE解：解：arabrbEdrrrE20bardrrbarr20drrbrr021)/ln(20abrrabrarbEdr01bbmr取arln20aba)/ln(20abrr例例 计算电量为计算电量为 的带电圆环轴线上一点的电势的带电圆环轴线上一点的电势Qrdqd04 QQrdqd04rQ04RQo解：解： 方法一、方法一、在球面上任取一电荷元

9、在球面上任取一电荷元dqdq则电荷元在则电荷元在P点的电势为点的电势为由电势叠加原理球面上电荷在球由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势心的总电势rPx2204RxQ2/3220)(4)(xRxQxExxdERQo方法二、方法二、考虑在考虑在P-无限远处路径上任无限远处路径上任一点一点dq则电荷元在则电荷元在P的电势为的电势为rPx2204RxQxdxRxQx2/3220)(4Pxxxd 例例 计算电荷面密度为计算电荷面密度为 的均匀带电圆盘轴线上的均匀带电圆盘轴线上一点的电势一点的电势2204xudqd 22004xudqdRQR解：解： 方法一、方法一、在球面上任取一带电在球面上任取一带电

10、 圆环圆环dqdq由电势叠加原理由电势叠加原理rPx)(2220 xRx220042xuuduR方法二（略）、方法二（略）、u例例. .平行板电容器两板间的电势差平行板电容器两板间的电势差d0E ldEdlE解：解：平行板电容器内部的场强为平行板电容器内部的场强为两板间的电势差两板间的电势差El dEdl方向一致方向一致l dE,均匀场均匀场Ed 计算如下几种情况下的电势计算如下几种情况下的电势XLPQ长为长为L L半径为半径为R R圆柱体（圆柱体（面）轴线上一点面）轴线上一点P P的电势的电势高为高为L L半径为半径为R R圆锥体（圆锥体（面）顶点的电势面）顶点的电势 例例 如图所示，已知如

11、图所示，已知 r =6cm, d =8cm,q1= 310-8C ，q2=-310-8C 。求：。求： (1)将电荷量为将电荷量为210-8C的点电荷从的点电荷从点移点移到到点，电场力作功多少？点，电场力作功多少？ (2) 将此点电荷从将此点电荷从C点移到点移到D点，电场力作点，电场力作功多少？功多少？rrrd/2d/2ACBD.q2q1已知已知 r =6cm, d =8cm, q1= 310-8C， q2=-310-8C 。求：求： AAB, ACD 。 解解：(1)AAB=q0UAUB()+=40q1rq2+r2d2q0q12+r2d4+q22+r2d4= 9.01092.010-93.0

12、10-86.010-2-3.010-81010-2+0= 3.610-6 Jrrrd/2d/2ACBD.q2q1.ACD=q0UCUD()+=40q2rq1+r2d2q0q1d2+q2d2= -3.610-6 J(2)= 9.01092.010-93.010-81010-23.010-8610-20 例例 两个同心球面，半径分别为两个同心球面，半径分别为10cm和和30cm。小球面均匀带有正电荷。小球面均匀带有正电荷10-8C大球大球面带有正电荷面带有正电荷1.510-8C 。求离球心分别为。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。处的电势。r1r2q2q1=900(V)r12q40+=r2

13、q40U1=9.01092010-210-8+9.01093010-21.510-8r1q40+=2qU2=9.01095010-2(1.5+1)10-8=4.50(V)已知：已知：r1=10cm, r2=30cm, q1=10-8 C, q2=1.510-8 C 求：求：U1，U2 解：解：r1r2q2q1 例例 如图所示，在边长为如图所示，在边长为1m的正方形的正方形的左上角有一点电荷的左上角有一点电荷 q1 = 10-12C ，左下角，左下角有一点电荷有一点电荷 q2 = -10-12C ，电荷量为，电荷量为Q = 10-11C的电荷均匀分在右边的细线上。求正的电荷均匀分在右边的细线上。

14、求正方形中心的电势。方形中心的电势。1mq1q2o.r140Ud=dq=dqdxaQ=2+x2a2()r已知：已知：a=1m,q1=10-12 C, q2=-10-12 C, Q =10-11 C。 求求：U0解：解： q1与与q2在在O点的电势互相抵消点的电势互相抵消a=1mq1q2o.ard x2xr140Ud=dq=dqdxaQ=2+x2a2()r+2+a2()2a2()a2aQ40=ln+2+a2()2a2()a2aQ40=dxa2a22+x2a2()U=0.16V8.5 8.5 等势面等势面 电势梯度电势梯度 5-5-1 5-5-1 等势面等势面由电势相等的点组成的面叫等势面由电势相

15、等的点组成的面叫等势面 满足方程满足方程12312 n Cz, y, x 当常量当常量C C取等间隔数值时取等间隔数值时可以得到一系列的等势面可以得到一系列的等势面23等势面的疏密反映了等势面的疏密反映了场的强弱场的强弱电场线与等势面的关系电场线与等势面的关系(1).(1).电场线处处垂直等势面电场线处处垂直等势面在等势面上任取两点在等势面上任取两点 a a、b b，则，则babaldEldE(2).(2).电场线指向电势降的方向电场线指向电势降的方向等势等势= 0= 0a a、b b 任取任取 处处有处处有点电荷的等势面点电荷的等势面+电偶极子的等势面电偶极子的等势面电平行板电容器电场的等势

16、面电平行板电容器电场的等势面+8.6 8.6 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系 dldElEl方向方向lEbarrbal dErr)()(abrrl dEl dErd)(dll dEE),cos(dlElzEyEZYxExkzjyix梯度算符梯度算符即电场强度在即电场强度在 方向的分量值方向的分量值ll等于电势在等于电势在 方向的方向的方向导数方向导数El方向方向lE在直角坐标系中在直角坐标系中kEjEiEEzyx)(kzjyixE求：轴线上任一点的场强。求：轴线上任一点的场强。r4oq=4oq=()x2+R221=4oq()x2+R223x解：解： 例例 已知均匀带电圆环轴线

17、上任一点已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：的电势为：Exdx=E=d求：任一点的场强。求：任一点的场强。r4oq=解：解：=4oq()r21=4oqr2 例例 已知一点电荷的电势为：已知一点电荷的电势为：Er=E=drd例例6 6 证明电偶极子任一点电场强度为证明电偶极子任一点电场强度为rrq1140体会由电势求电场强度体会由电势求电场强度xyz0lqqrrrP解：解：lrcos2cos2lrrlrr2cosrrrlrrrrpprE34130rrq1140 xyz0lqqrrrPrrrrq04204cosrqlrzlqpcos代入代入将将232220)(4zyxpz232220)(4zyx

18、pz252220)(34zyxxpzxEx5034rxzp5034ryzpyEy)31(45230rzrpzEzkEjEiEEzyxrrpprE34130 例例 点电荷点电荷q1与与 -q2 放置在相距为放置在相距为 d 的的A、B两点（如图）。试证电势为零的等势面两点（如图）。试证电势为零的等势面是一球面，球心在是一球面，球心在AB 的延长线上，的延长线上，半径半径AOqd12=q12q22rd=q12q22q1q2.droAB-q2q1=0U =Pq140r1q240r2x21+()y2z2+2x1+()y2z2+2d2=q1q2证明：设证明：设P点满足零点满足零 电势的条件电势的条件设以设以A为原点，为原点，P点的坐标为点的坐标为(x,y,z).droABP.r1r2(x,y,z)-q2q1xy=q1r1q2r2得到：得到：x21+()y2z2+2x1+()y2z2+2d