第6讲矢量场的通量及散度

1、第二章第二章 场论场论第第6讲讲 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度主要内容主要内容l1. 通量通量l2. 散度散度l3.平面矢量场的通量与散度平面矢量场的通量与散度*教材：第教材：第2章章 第第3节节简单曲线与简单曲面术语介绍简单曲线与简单曲面术语介绍（1 1）简单曲线：）简单曲线：设连续曲线参数方程为：设连续曲线参数方程为：)(),(),(tztytx 曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(t.(闭合曲线闭闭合曲线闭合点除外合点除外) )。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。（2 2）简单曲面

2、：）简单曲面：设连续曲面参数方程为：设连续曲面参数方程为：),(),(),(vuzvuyvux 曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(.(闭合闭合曲面闭合点除外曲面闭合点除外) )。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续曲面。曲面。l1.通量通量引例：引例： 设有流速场设有流速场v(M), ,流体是不可压缩的，设其密度为流体是不可压缩的，设其密度为1.1.求单求单位时间内流体向正侧穿过有向曲面位时间内流体向正侧穿过有向曲面S S的流量的流量Q Q（如图）。（如图）。 取微元取微元ds( (微元内速度矢

3、量和法矢微元内速度矢量和法矢量近似看做不变量近似看做不变) )，则穿过，则穿过ds的流量的流量dQ近似等于：近似等于：dsvdQn以以 表示点表示点M M处的单位法矢量则处的单位法矢量则流量表示为：流量表示为：0n)()(00dsnvdsnvdsvdQndSdsndS,0 令令 为在点为在点M M处的这样一个矢量，其处的这样一个矢量，其方向与法向量方向与法向量n n一致，其模等于面积一致，其模等于面积dsds。 据此，在单位时间内向正侧穿过据此，在单位时间内向正侧穿过S S的流量，就的流量，就可用曲面积分表示为：可用曲面积分表示为：dSvdsvQssn 又如：在电位移矢量又如：在电位移矢量D

4、D分布的电场中，穿过曲面分布的电场中，穿过曲面S S的的电通量：电通量：ssnedSDdsD 在磁感应强度矢量在磁感应强度矢量B B分布的电场中，穿过曲面分布的电场中，穿过曲面S S的的磁通量：磁通量：ssnmdSDdsB通量定义：通量定义： 设有矢量场设有矢量场A(M),A(M),沿其中有向曲面沿其中有向曲面S S某一侧的曲某一侧的曲面积分：面积分：叫做矢量叫做矢量A(M)A(M)向积分所沿一侧穿过曲面向积分所沿一侧穿过曲面S S的的通量通量。ssndSAdsA若：若： miimAAAAA121则有：则有： miimisissmiidSAdSAdSA111)(通量是可叠加的。通量是可叠加的。

5、在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设,),(),(),(kzyxrjzyxQizyxPA,),cos(),cos(),cos(dydzkdxdzjdydzikzndsjyndsixndsdsndSo则通量可写成：则通量可写成：ssRdxdyQdxdzPdydzdSA又：又：例例1 1： 设由矢径设由矢径 构成的矢量场中，构成的矢量场中，有一由圆锥面有一由圆锥面 及平面及平面 所围所围成的封闭曲面成的封闭曲面S,S,如图，试求矢量场如图，试求矢量场 从从S S内穿出内穿出S S的的通量通量。解：解：zkyjxir222zyx) 0(HHz 以以 表示曲面表示曲面S S的平面部分，以的平面部分，以

6、 表示锥面部分，表示锥面部分，则通量为：则通量为：1S2S12sSsdSrdSrdSr其中其中321111HHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdSrDDss其中其中 为为 在在xOy面上的投影。面上的投影。1D1S在在 上有上有 则：则： 00222ssnsdsdsrdSr2Snr 3HdSrs所以：所以：例例2 2： 设设S S为曲面为曲面 被围在圆柱面被围在圆柱面 内的部分，求矢量场内的部分，求矢量场 向下穿出向下穿出S S的通量的通量 。223yxz422 yxzkyjxiA 2解：解： S S为函数为函数 当当u u取值为取值为0 0时的一张时的一张等值面。由于矢量

7、场向下穿出等值面。由于矢量场向下穿出S S的方向，是的方向，是z z减小的减小的方向同时也是方向同时也是u u值减小的方向，故值减小的方向，故S S朝此方向的单位朝此方向的单位法矢量为：法矢量为：223yxzu13646222yxkyjxigradugraduno所求通量为：所求通量为：243)( 336411364)3(6413646420203222222222222220drrddxdyyxdxdyyxyxyxyxdSyxzyxdSnAxyxyDDss通量为正负时的物理意义：通量为正负时的物理意义： 对于流速场对于流速场v(M),v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过设在单位时间内流体向

8、正侧穿过S S的流量为的流量为Q Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿过曲面元素过曲面元素dSdS的流量为：的流量为：dSvdQ 其结果是个代数值：若其结果是个代数值：若v v从曲面的负侧传到曲面从曲面的负侧传到曲面的正侧时，的正侧时，v v与与n n夹角为锐角因此夹角为锐角因此dQdQ为正流量，如下为正流量，如下图左所示；反之，图左所示；反之，v v与与n n夹角为钝角夹角为钝角dQdQ为负流量，如为负流量，如下图右所示：下图右所示：因此，对于总流量因此，对于总流量sdSvQ 一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面一般应理解为：单位时间内流体向正

9、侧穿过曲面S S的正流量与负流量的代数和。的正流量与负流量的代数和。 如果如果S S为一封闭曲面，此时积分为一封闭曲面，此时积分 一般指沿一般指沿S S的的外侧，此时流量表示从内穿出外侧，此时流量表示从内穿出S S的正流量与从外穿入的正流量与从外穿入S S的负流量的代数和。的负流量的代数和。s 若若Q0,Q0,那那S S内必内必有正源有正源；同理；同理Q0,SQ0,S内必内必有负源有负源。但是当但是当Q=0Q=0时，不能断言时，不能断言S S内无源。内无源。例例3 3： 在点电荷在点电荷q q所产生的电场中。任何一点所产生的电场中。任何一点M M处的电位处的电位移矢量为移矢量为024rrqD

10、其中其中r r是点电荷是点电荷q q到点到点M M的距离，的距离， 是从点电荷是从点电荷q q指向点指向点M M的单位矢量。设的单位矢量。设S S为以点电荷为球心，为以点电荷为球心，R R为半为半径的球面，求从内穿出径的球面，求从内穿出S S的电通量的电通量 。0r解：解： 如图，在球面如图，在球面S S上恒有上恒有r=Rr=R , ,且法矢量且法矢量n n与与 的方向一致，所以的方向一致，所以0rqRRqdSRqdSrRqdSDssse222024444l2.散度散度散度定义：散度定义： 设有矢量场设有矢量场A(M)A(M)，于场中一点，于场中一点M M的某个领域内的某个领域内作一包含作一包

11、含M M点在内的任一闭曲面点在内的任一闭曲面S S，设其所包围的空间，设其所包围的空间区域为区域为，以，以V V表示其体积，以表示其体积，以表示从其内穿表示从其内穿出出S S的通量，若当的通量，若当以任意方式缩向点以任意方式缩向点M M时，比式：时，比式：VdSAVS 的极限存在，此极限为矢量场的极限存在，此极限为矢量场A(M)A(M)在点在点M M处的处的散度散度。 记作记作div A,div A,VdSAVdivASMMlimlim 散度散度div Adiv A为一数量，表示在场中一点处通量对为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来体积的变化率，也就是在

12、该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处说所穿出的通量，称为该点处源的强度。源的强度。 div A div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源，的符号为正表示该点处有散发通量的正源，反之则有吸收通量的负源。其绝对值反之则有吸收通量的负源。其绝对值| div A | div A |表表示该点处散发或吸收通量的强度。示该点处散发或吸收通量的强度。 当当div Adiv A的值为零时，表示该点处无源，由此的值为零时，表示该点处无源，由此称称div A0div A0的矢量场为的矢量场为无源场。无源场。 把矢量场把矢量场A A中每一点的散度与场中的点一一对中每一点的散度与场中的点一一对应起来

13、就得到一个数量场，称之为由此矢量场产应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产生的生的散度场。散度场。散度在直角坐标系中的表达式：散度在直角坐标系中的表达式：定理：定理：在直角坐标系中，矢量场在直角坐标系中，矢量场kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(在任一点的散度为：在任一点的散度为：zRyQxPdivAdVzRyQxPRdydzQdxdzPdydzdSASS)(证明：证明：由高斯公式得由高斯公式得：再按中值定理有再按中值定理有VzRyQxPM* M M* *为为内的某一点，由此：内的某一点，由此：*limlimMMMzRyQxPVdivA当缩向点缩向点M M时，时， M M*

14、*就趋于就趋于M, M, 所以所以zRyQxPdivA推论推论1 1：高斯公式可写成如下的矢量形式：高斯公式可写成如下的矢量形式：推论推论2 2：divAdVdSAs 穿出封闭曲面穿出封闭曲面S S的通量等于的通量等于S S所围区域所围区域上的散度上的散度在在上的三重积分上的三重积分 由推论由推论1 1可知：若在封闭曲线可知：若在封闭曲线S S内处处有内处处有divA=0, divA=0, 0dSAs推论推论3 3： 若在矢量场若在矢量场A A内，某些点（或区域）上有内，某些点（或区域）上有divA0divA0或或divAdivA不存在，而在其他的点都有不存在，而在其他的点都有divA=0di

15、vA=0，则穿过包围这些点（或区域）的任意两张封闭曲面则穿过包围这些点（或区域）的任意两张封闭曲面的通量都相等，为一常数。的通量都相等，为一常数。例例4 4： 在点电荷在点电荷q q所产生的静电场中。求电位移矢量所产生的静电场中。求电位移矢量D D在任在任一点一点M M处的散度处的散度div Ddiv D。解：解：取点电荷所在之点为坐标原点，此时：取点电荷所在之点为坐标原点，此时：rrqD34其中其中rrzkyjxir,因此因此3334,4,4rqzDrqyDrqxDzyx52252252234,34,34rzrqzDryrqyDrxrqxDzyx于是有于是有0)(33452222rzyxrq

16、zDyDxDdivDzyx（r 0 ）所以所以 可见，除点电荷可见，除点电荷q q所在的原点（所在的原点（r=0r=0）divDdivD不存在外，不存在外，电位移电位移D D的散度处处为零，为一无源场。的散度处处为零，为一无源场。 根据推论根据推论3 3和例和例3 3有电场穿过包含点电荷有电场穿过包含点电荷q q在内的任在内的任何风闭曲面何风闭曲面S S的电通量都等于的电通量都等于q q，再根据通量可累加，再根据通量可累加，可以得出电学上的可以得出电学上的高斯定理：高斯定理： 穿出任意封闭曲面穿出任意封闭曲面S S的电通量，等于其内各点电的电通量，等于其内各点电荷的代数和。荷的代数和。 对于在

17、电荷连续分布的电场中，点位移矢量对于在电荷连续分布的电场中，点位移矢量D D的的散度为：散度为：VVdSDdivDMSMlimlim根据高斯定理：根据高斯定理：VQdivDMlim即电位移即电位移D D的散度等于电荷分布的体密度。的散度等于电荷分布的体密度。散度运算的基本公式：散度运算的基本公式：cdivAcAdiv)() 1 (divBdivABAdiv)()2(AgraduudivAuAdiv)()3(（c c为常数）为常数）(u(u为数性函数为数性函数) )例例5 5： 已知已知 求求 。,zkyjxirexyz)( rdiv由基本公式得：由基本公式得：rgraddivrrdiv)(3)

18、(zkyjxidivdivr)(yzkxzjyzieegradgradxyzxyz故故xyzxyzxyzexyzxyzeerdiv)1 (333)(由于由于解：解：l3.平面矢量场的通量与散度平面矢量场的通量与散度* 上面讨论的是空间矢量场的通量和散度，用类似上面讨论的是空间矢量场的通量和散度，用类似的方法可引入平面矢量场的通量和散度；的方法可引入平面矢量场的通量和散度； 为此将平面有向曲线上任一点处的法矢量为此将平面有向曲线上任一点处的法矢量n的方向的方向做这样的规定：若将做这样的规定：若将n按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转90度，它便度，它便与该点处的切向矢量与该点处的切向矢量t共线且同指

19、向，如图：共线且同指向，如图：通量定义通量定义（平面矢量场）（平面矢量场） 设有平面矢量场设有平面矢量场A(M),A(M),沿其中某一有向曲线沿其中某一有向曲线l的曲线的曲线积分积分 dlAln 叫做矢量场叫做矢量场A(M)A(M)沿法矢量沿法矢量n的方向穿过曲线的方向穿过曲线l的的通量通量 在直角坐标系中，设在直角坐标系中，设jyxQiyxPA),(),(又曲线又曲线l的单位法矢量的单位法矢量jdldxidldyjxtiytjynixnn),cos(),cos(),cos(),cos(0则通量则通量可表示为：可表示为：QdxdyPdlnAdlAllln0 若若l为封闭平面曲线，取其逆时针为正方向，而且为封闭平面曲线，取其逆时针为正方向，而且对于环绕对于环绕l一周的曲线积分一周的曲线积分 来说，默认表示积分来说，默认表示积分沿沿l的正方向进行。的正方向进行。l据此，可引出散度的定义；据此，可引出散度的定义；散度定义散度定义（平面矢量场）（平面矢量场） 设有平面矢量场设有平面矢量场A(M),A(M),于场中一点于场中一点M M的某个领域内做的某个领域内做已包含点已包含点M M在内的任一闭曲线在内的任一闭曲线l，设其所包围的平面，设其所包围的平面区域为区域为，以，以S S表示其面积，以表示其面积，以表示从其内表示从其内穿出穿出l的通量，若当的通量，若当以任意方式缩向点以任意方式缩