第5章 无源网络综合

1、 刘洪臣刘洪臣哈尔滨工业大学电气工程系哈尔滨工业大学电气工程系第五章第五章 无源网络综合无源网络综合 5.1 网络分析与网络综合网络分析与网络综合网络分析与网络综合的区别网络分析与网络综合的区别 1 “分析分析”问题一般总是有解的问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是对实际问题的分析则一定是有解的有解的)。而。而“设计、综合设计、综合”问题的解答可能根本不存在。问题的解答可能根本不存在。无源RLCMV125. 01 . 0-V5 . 0例例1 网络综合解答网络综合解答 不存在的情况不存在的情况W5 . 21 . 05 . 0W125. 0412L2maxPP例例2 网络综合解网络综合解答

2、不存在情况答不存在情况2“分析分析”问题一般具有唯一解，而问题一般具有唯一解，而“设计、综合设计、综合”问题通问题通常有几个等效的解常有几个等效的解N ?-V16-V412412241212-V4-V16-V16-V43“分析分析”的方法较少，的方法较少，“综合综合”的方法较多的方法较多 网络综合的主要步骤：网络综合的主要步骤：(1) 按照给定的要求确定一个可实现的逼近函数；按照给定的要求确定一个可实现的逼近函数；(2) 寻找一个具有上述逼近函数的电路寻找一个具有上述逼近函数的电路 。5.1 网络分析与网络综合网络分析与网络综合5.2 网络的有源性和无源性网络的有源性和无源性 ( )( ) (

3、 )P tu t i t00( )( )( ) ( )dttW tW tui若在时间若在时间t t0 0时刻时刻一端口存储的初始能量一端口存储的初始能量为为W(W(t0) )，从任何初始时刻，从任何初始时刻t0到时刻到时刻t该网该网络的总能量络的总能量若对所有若对所有 t0，以及所有时间以及所有时间 t t0，有，有 ( )0,( ), ( )W tu ti t则此一端口则此一端口N为无源的。为无源的。 对于一端口网络对于一端口网络N，输入该网络的功率输入该网络的功率 网络的无源性表明，这个网络只能吸收、消耗存储能量，而网络的无源性表明，这个网络只能吸收、消耗存储能量，而不能把多于外部电源所提

4、供的能量送回电源，也不能进行能不能把多于外部电源所提供的能量送回电源，也不能进行能量的放大。如果一端口不是无源的，它就是有源的。量的放大。如果一端口不是无源的，它就是有源的。 5.2 网络的有源性和无源性网络的有源性和无源性 例如，对线性时不变的电容，设它的电容值为例如，对线性时不变的电容，设它的电容值为C，则有，则有00( )00()22200( )( )( ) ( )d( )d111( )( )( )( )222tu ttu tW tW tuiW tCu uW tCu tCu tCu t所以当所以当C0时，电容元件为无源元件时，电容元件为无源元件;所以当所以当C C0 0时（线性负电容），

5、则为有源的。时（线性负电容），则为有源的。无源性定义中的初始能量项无源性定义中的初始能量项是必须的是必须的 ，如不包含初始能，如不包含初始能量项，则量项，则22011( )( )( )22W tCutCut0C ( )W t这样即使这样即使，也有可能使，也有可能使小于零小于零 5.2 网络的有源性和无源性网络的有源性和无源性 而对于线性二端电阻，到当前时刻而对于线性二端电阻，到当前时刻它吸收的能量它吸收的能量 22( )( ) ( )d( )d( )dtttW tuiRiRi0R t( )W t只要只要，对所有，对所有总是非负的。总是非负的。 ，通过对比正电阻和正电容可以看出，虽然它们都是无源

6、通过对比正电阻和正电容可以看出，虽然它们都是无源元件，然而电容有时会向外释放能量，而电阻任何时刻元件，然而电容有时会向外释放能量，而电阻任何时刻都吸收能量。为了区别这种情况，引入都吸收能量。为了区别这种情况，引入“无损性无损性”的概念。的概念。 无损性定义为：无损性定义为：00( )( )( ) ( )d0tW tW tu t i tt( ), ( )u ti t0t 且对所有且对所有，从，从为为“平方可积平方可积”，既有：，既有： 02( )dtutt 02( )dtitt 5.2 网络的有源性和无源性网络的有源性和无源性 对于对于N端口网络，多所有的端口网络，多所有的t,输入端口的总能量为

7、非负的输入端口的总能量为非负的,则此则此N端口为无源的端口为无源的,即即T( )( ) ( )d0tW tui这里设这里设t 时时,()0, ()0ui 如果对于所有平方可积有限值允许信号对如果对于所有平方可积有限值允许信号对,有有T( )( ) ( )d0tW tui则此则此N端口为无损的端口为无损的.对于理想变压器对于理想变压器,有有112200uiniun1122( )( ) ( )( ) ( ) d0tW tuiui则则所以理想变压器是无源的且是无损的所以理想变压器是无源的且是无损的5.3 归一化和去归一化归一化和去归一化 在用于信号处理的电路中，实际的电路元件值在用于信号处理的电路中

8、，实际的电路元件值常常是很分散的。例如，实际的电容元件值的范常常是很分散的。例如，实际的电容元件值的范围大约在围大约在010-12 F之间，电阻元件值的范围大约之间，电阻元件值的范围大约在在0107 之间，电感元件值的范围大约在之间，电感元件值的范围大约在1010-6 H之间。同时，由于各种电路的应用场合不一之间。同时，由于各种电路的应用场合不一样，实际所设计的电路的工作频率范围也可能在样，实际所设计的电路的工作频率范围也可能在0109Hz之间。因此，很难对如此众多电路的性之间。因此，很难对如此众多电路的性能进行统一的比较并采用统一的方法进行设计。能进行统一的比较并采用统一的方法进行设计。 根

9、据电路基本理论可知，一个网络的网络函数以及网根据电路基本理论可知，一个网络的网络函数以及网络的分析与综合步骤与该网络函数中元件值的绝对大小络的分析与综合步骤与该网络函数中元件值的绝对大小无关，将网络中各阻抗值同乘以或同除以某一常数，该无关，将网络中各阻抗值同乘以或同除以某一常数，该网络的网络函数不变。网络的网络函数不变。 根据这一理论，可以对所有的网络进行所谓归一化的根据这一理论，可以对所有的网络进行所谓归一化的处理，以便对各种网络的特性进行统一的比较，同时也处理，以便对各种网络的特性进行统一的比较，同时也才有可能制定出可供设计使用的统一的图表，以简化设才有可能制定出可供设计使用的统一的图表，

10、以简化设计。计。 对网络归一化处理主要包括频率归一化和阻抗归一化。对网络归一化处理主要包括频率归一化和阻抗归一化。网络归一化也称为网络的定标。我们在讨论网络转移函网络归一化也称为网络的定标。我们在讨论网络转移函数时，已经多次用到了频率归一化和阻抗归一化的问题。数时，已经多次用到了频率归一化和阻抗归一化的问题。现在集中归纳如下：现在集中归纳如下：5.3 归一化和去归一化归一化和去归一化 5.3 归一化和去归一化归一化和去归一化 归一化定义归一化定义：用一些合适的系数：用一些合适的系数(常数常数)按比例换算所有电量按比例换算所有电量,而不改变电路性质。而不改变电路性质。例如，用例如，用50作为电阻

11、的换算系数作为电阻的换算系数(归一化常数归一化常数)，则，则 R = 75 (实际值实际值)电阻变成电阻变成 RN = 75/50 = 1.5 (归一化值归一化值) 。 000000000( )( )( ),( ),( )( ),NNNNNNNNNZ sY sRLCZsYsRLCZsY sRLCTfsTfsTfs归一化值实际值 归一化常数5.3 归一化和去归一化归一化和去归一化 sYsZ1 sYsZNN1 sYsYsZsZ00 sZsY001 YRsZ NNRsZ 00RRsZsZ sZR00 RLsLsZ NNLssZ )(N000LLsssZsZ sZLs000 CsCsZ1 NNNCss

12、Z1 sCCssZsZ000 sZCs0001 fTf1 NNTf1 TTff00 001Tf f2 NNf2 002ff 00f js sNNNjs 000jss 000 s实际值归一化值归一化常数对实际值适用的物理关系，对归一化值网络保持不变，因此对实际值适用的物理关系，对归一化值网络保持不变，因此得得 5.3 归一化和去归一化归一化和去归一化 000000000000000111ZYfsfTfZCfZLZR 例例5.3.1 图示电路归一化电压转移函数为图示电路归一化电压转移函数为2212 NNNNNNssssUsUsHH1F501 1u 2ujH2中心角频率为中心角频率为 。1) 如要求

13、中心频率为如要求中心频率为10kHz，求网络函数。，求网络函数。2) 如固定如固定R = 1 ， 求求L，C。3) 如固定如固定C=0.1F，求，求R，L。25.3 归一化和去归一化归一化和去归一化 【解解】：(1) 频率归一化常数为频率归一化常数为4400010442942102 sf0sssN 将将 代入已知的代入已知的 得得 NsH94242002012109479. 3104429. 4104429. 42)()()(ssssssssssUsUsH0000000011/NRRZLZfCRZ f -5-5，=2. 2508 10 ，=2. 2508 100022.508H;11.254F

14、NNLL LCC C(2) 归一化常数归一化常数670000003000000.1 101(3)2 10112.539112.5390.5/2.533 10112.5392.533mHNNNCCZRZCf CLZfRR RLL L， ，5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 网络函数：网络函数：电路零状态下，响应的象函数与激励的象函数电路零状态下，响应的象函数与激励的象函数之比称为之比称为(复频域中的复频域中的)网络函数网络函数 ，即，即)()()(defsXsYsH网络函数的性质：网络函数的性质：网络函数是网络函数是s的有理函数，其系数均为实数的有理函数，其系数均为实数 1. 证明：证明：

15、11101110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbN sH sD sa sasa sa网络函数的一般形式为：网络函数的一般形式为： 节点电压方程的矩阵形式为：节点电压方程的矩阵形式为： ( )( )( )nnnY s UsIs( )( )( )( )nssIsAY s UsAIs5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 1( )( )( )nnnUsYs Is方程的解：方程的解：其展开形式如下：其展开形式如下：1112111212222212( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnUsIsUsIsUsIs (1,2, ;1,2, )ijin jnijY式

16、中式中为节点导纳矩阵的行列式，为节点导纳矩阵的行列式，为行列式为行列式中元素中元素的代数余子式。的代数余子式。5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 根据网络函数的定义，假设电路中只有一个独立电源为根据网络函数的定义，假设电路中只有一个独立电源为电流源，并且该电流源的一端为参考节点，另一端为节电流源，并且该电流源的一端为参考节点，另一端为节点。电路中各电容电压、电感电流的原始值为零。则点。电路中各电容电压、电感电流的原始值为零。则式可进一步简化为式可进一步简化为11( )( )jnjnUsIs如果响应假设为节点电压如果响应假设为节点电压njU，则网络函数，则网络函数11( )( )( )nj

17、jnUsH sIs由于节点导纳中自导纳和互导纳的一般形式为由于节点导纳中自导纳和互导纳的一般形式为21ijijijijsYL sR sC ijijY是实系数有理函数，而是实系数有理函数，而和和中的元素都是形如中的元素都是形如ijY系数有理函数，因此网络函数必定是系数有理函数，因此网络函数必定是的实的实ss的实系数有理函数的实系数有理函数 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 2. 网络函数的零点、极点对网络函数的零点、极点对轴对称轴对称 证明证明：网络函数可表示成另外一种表达形式，即：网络函数可表示成另外一种表达形式，即 1212()()()( )( )( )()()()mmnnbsksk

18、skN sH sD sa spspsp由于网络函数分子分母多项式多是由于网络函数分子分母多项式多是实系数多项式，而网络函数的零极实系数多项式，而网络函数的零极点可以是实数、虚数或复数。但当点可以是实数、虚数或复数。但当零点和极点是虚数或复数时，则一零点和极点是虚数或复数时，则一定以共轭的形式出现，否则不能确定以共轭的形式出现，否则不能确保分子分母多项式的系数为实数保分子分母多项式的系数为实数 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 3. 网络函数与单位冲击特性的关系网络函数与单位冲击特性的关系 )()()(thKthKsHLL根据单位冲激特性的定义及齐性原理，当激励根据单位冲激特性的定义及齐

19、性原理，当激励 )()(tKtx零状态响应零状态响应 )()(tKhty。即当。即当 KtKsX)()(L时，时， )()()(thKtKhsYLL则则即网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络即网络函数就是网络单位冲激特性的象函数；反之，网络函数的原函数就是网络的单位冲激特性，即函数的原函数就是网络的单位冲激特性，即 )()()()(1sHththsHLL网络函数网络函数 )(sH和单位冲激特性和单位冲激特性 )(th都反映网络的固有性质。都反映网络的固有性质。 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 式中式中 ，N 、P、D、Q都是都是 s 的多项式。的多项式。 )()()(,)

20、()()(sQsPsXsDsNsH若已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应象函数为若已知网络函数和外加激励的象函数，则零状态响应象函数为)()()()()()()()()(21sFsFsQsPsDsNsXsHsY 用部分分式展开求用部分分式展开求Y(s)的原函数时，的原函数时，F2(s)=D(s)Q(s)=0的根的根将包括将包括D(s)=0及及Q(s)=0的根。响应中与的根。响应中与Q(s)=0的根对应的那的根对应的那些项与外加激励的函数形式相同，属于些项与外加激励的函数形式相同，属于强制分量强制分量；而与；而与D(s)=0的根的根(即网络函数的极点即网络函数的极点)对应的那些项的性质由

21、网络对应的那些项的性质由网络的结构与参数决定，属于的结构与参数决定，属于自由分量自由分量。因此，网络函数极点的。因此，网络函数极点的性质决定了网络暂态过程的特性。性质决定了网络暂态过程的特性。 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 )(2ti例例5.4.1 电路如图所示，已知电路如图所示，已知R=0.5，L=1H，C=1F，a=0.25 。定义网络函数定义网络函数 ，求，求H(s)及其单位冲激特性及其单位冲激特性h(t) 1) 求当求当 时的响应时的响应 。 )()()(S2sUsIsHV)(e3)(Sttut5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 解(1) 列回路电流方程：列回路电流方

22、程： )()(1)()()()1()(1)()(1)()1(2121S21sIsIsCsUsaUsIsLsCsIsCsUsIsCsIsCRCC75. 02)(5 . 1)(2S2sssUsI5 . 15 . 15 . 05 . 175. 025 . 1)()()(2S2sssssUsIsH)(s)(ee (5 . 1)()(-15 . 15 . 01tsHthttL0)()75. 0()(750-)()()() 15 . 0(221S21sIssI.ssUsIsIs代数整理得5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 (2) 当 时V)(e3)(Sttut1A185 . 1A95 . 0A9)

23、1(3)5 . 1)(5 . 0(5 . 1) 1(375. 025 . 1)()()(1V3)()(2S2SSssssssssssUsHsIstusUL)0(A)e18e9e9()(5 . 15 . 02ttittt5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 4. 网络函数的极点位置与网络稳定性的关系网络函数的极点位置与网络稳定性的关系 其中极点其中极点p1、p2、pn称为网络函数的自然频率，它只与网称为网络函数的自然频率，它只与网络结构与参数有关。络结构与参数有关。 nkkkpsAsDsNsH1)()()( 分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点，且分析一阶极点情况：若网络函数仅含一阶极点

24、，且nm，则，则 网络函数可展开成网络函数可展开成 网络的单位冲激特性为网络的单位冲激特性为 可见它与极点位置有关可见它与极点位置有关 。nktpkkAsHth11e)()(L 如前所述，网络函数与单位冲激特性构成拉普拉斯变换如前所述，网络函数与单位冲激特性构成拉普拉斯变换对，单位冲激特性的性质取决于网络函数的极点性质，即取对，单位冲激特性的性质取决于网络函数的极点性质，即取决于极点在复平面上的位置。决于极点在复平面上的位置。要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。要点：由极点在复平面上的分布来判断暂态特性。 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系

25、 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系概括如下：网络函数的极点位置与单位冲激特性的关系概括如下：位于左半平面时，收敛位于左半平面时，收敛位于右半平面时，发散位于右半平面时，发散pk位于实轴上时，响应非振荡位于实轴上时，响应非振荡位于虚轴上时，临界稳定位于虚轴上时，临界稳定否则，均为振荡否则，均为振荡pk所有极点位于左半平面，暂态过程稳定所有极点位于左半平面，暂态过程稳定若有一个以上极点位于右半平面，暂态过若有一个以上极点位于右半平面，暂态过程不稳定程不稳定H(s)5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 jj由前面的分析，网络稳定与否决定于网络函数的

26、极点在复平由前面的分析，网络稳定与否决定于网络函数的极点在复平面上的分布。为讨论的方便，将根不在面上的分布。为讨论的方便，将根不在s右半开平面（即不右半开平面（即不包含纵轴的右半平面），且无包含纵轴的右半平面），且无叫做霍尔维次多项式，简称为霍氏多项式。它又可分为叫做霍尔维次多项式，简称为霍氏多项式。它又可分为 (1)只有只有s左半开平面根的实系数多项式，叫做严格霍氏左半开平面根的实系数多项式，叫做严格霍氏 多项式。多项式。 (2)根不在根不在s右半开平面，但具有轴右半开平面，但具有轴轴上重根的实系数多项式轴上重根的实系数多项式轴单根的实系数轴单根的实系数多项式叫做广义霍氏多项式。多项式叫做广

27、义霍氏多项式。总之，线性时不变稳定网络的网络函数具有如下主要性质：总之，线性时不变稳定网络的网络函数具有如下主要性质：必须是必须是s的实系数有理函数；的实系数有理函数；网络函数的零点和极点对网络函数的零点和极点对(3)分母多项式必须是霍氏多项式。分母多项式必须是霍氏多项式。轴对称；轴对称；霍尔维次多项式性质及其检验霍尔维次多项式性质及其检验 (1)严格霍氏多项式从严格霍氏多项式从s的最高次幂到最低次幂的系数全为的最高次幂到最低次幂的系数全为 正，且不能缺项。正，且不能缺项。证明证明：从严格霍氏多项式的定义可以看出，它的根只有以下：从严格霍氏多项式的定义可以看出，它的根只有以下 两种形式两种形式

28、iiis 为正实数；为正实数； ，ijiiis ，和和 i都为正实数。都为正实数。 含有这些根的多项式可写成含有这些根的多项式可写成1110( )nnnnP sa sasa sa如果一个关于如果一个关于s的严格霍氏多项式共有的严格霍氏多项式共有n个根，其中包含个根，其中包含m个负个负实根，实根，n-m个左半开平面的共轭复根，则含有这些根的多项式个左半开平面的共轭复根，则含有这些根的多项式可以写成可以写成5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 12( )( )( )P sP s P s其中：其中： 11( )()miiP ss表示对应产生负实根的因式乘积表示对应产生负实根的因式乘积 ()/2(

29、)/2222211( )(j)(j)(2)n mn miiiiiiiiiP sssss表示对应产生共轭复根的因式乘积。因这两类因式都为正实表示对应产生共轭复根的因式乘积。因这两类因式都为正实系数且不缺项，因此，它们相乘得到的严格霍氏多项式也必系数且不缺项，因此，它们相乘得到的严格霍氏多项式也必定所有系数全为正且不缺项。定所有系数全为正且不缺项。 (2)广义霍氏多项式从广义霍氏多项式从s的最高次幂到最低次幂的系数全为正，的最高次幂到最低次幂的系数全为正， 但可以缺项。但可以缺项。对于广义霍氏多项式，由于具有对于广义霍氏多项式，由于具有 j轴上的单阶共轭复根，轴上的单阶共轭复根， 多项式中会包含多

30、项式中会包含 22()s 的因式，当具有位于原点的根时，的因式，当具有位于原点的根时，广义霍氏多项式中缺常数项。广义霍氏多项式中缺常数项。 5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 由此得到检验霍氏多项式的必要条件是多项式的系数必须全由此得到检验霍氏多项式的必要条件是多项式的系数必须全为正值。对于严格霍氏多项式除了系数为正外还不能缺项，为正值。对于严格霍氏多项式除了系数为正外还不能缺项，而广义霍氏多项式可以有缺项。而广义霍氏多项式可以有缺项。 例如：例如： 4221ss是广义霍氏多项式是广义霍氏多项式 31s 和和 223ss不是霍氏多项式不是霍氏多项式 32234sss 到底是不是霍氏多项式

31、还需进一步的检到底是不是霍氏多项式还需进一步的检验，因为系数为正和不缺项只是严格霍氏多项式的必要验，因为系数为正和不缺项只是严格霍氏多项式的必要条件并非充分条件。条件并非充分条件。 最后要指出，判别一个多项式是否为霍氏多项式，最直接的最后要指出，判别一个多项式是否为霍氏多项式，最直接的方法是求出该多项式的根，如果各个根的实部都为负值，则方法是求出该多项式的根，如果各个根的实部都为负值，则该多项式必为严格霍氏多项式，如果某些根的实部为负，某该多项式必为严格霍氏多项式，如果某些根的实部为负，某些根的实部为零。则为广义的霍氏多项式，否则就不是霍氏些根的实部为零。则为广义的霍氏多项式，否则就不是霍氏多

32、项式。多项式。5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 (3) 对于严格霍氏多项式对于严格霍氏多项式P(s)可分解为偶部和奇部两部分，即可分解为偶部和奇部两部分，即( )( )( )P sm sn s式中，式中，m(s)为偶部，全部由为偶部，全部由s的偶次项组成，包括常数项；的偶次项组成，包括常数项；n(s)为奇部，全部由为奇部，全部由s的奇次项组成。则偶部与奇部之比的奇次项组成。则偶部与奇部之比R(s)= m(s)/n(s)，或奇部与偶部之比，或奇部与偶部之比R(s)= n(s)/m(s)展开成展开成连分式时，所得各商数都为正，即连分式时，所得各商数都为正，即1231( )111nR sk

33、sk sk sk s式中，商数式中，商数ki均为正数。均为正数。5.4 可实现的网络函数可实现的网络函数 5.5 正实函数正实函数 定义：设定义：设F(s)是复变量是复变量s=+j的函数，如果的函数，如果 (1)当当Ims=0时，时，ImF(s)=0； (2)当当Res0时，时，ReF(s) 0。 则称则称F(s)为正实函数，简称（为正实函数，简称（P.r.）函数。正实函数的映）函数。正实函数的映射关系如图所示。射关系如图所示。正实函数的映射关系正实函数的映射关系 5.5 正实函数正实函数 正实函数的性质正实函数的性质: 性质性质1.正实函数的倒数仍为正实函数正实函数的倒数仍为正实函数证明：假

34、定证明：假定F(s)是正实函数，则其必定满足正实函数定义的是正实函数，则其必定满足正实函数定义的条件条件(1)和条件和条件(2)，因此，因此(1)当当Ims=0时，时，ImF(s)=0，所以，所以Im1/F(s)=0，既满足条，既满足条 件件(1)；因为当因为当Res0时，时，ReF(s)0，则，则Re1/F(s) 0，满足条件，满足条件(2)。以上证明了正实函数的倒数同样满足正实函数的两个。以上证明了正实函数的倒数同样满足正实函数的两个条件，所以是正实函数。条件，所以是正实函数。(2)设设F(s)=P(s)+jQ(s)，其中，其中P(s)和和Q(s)分别为分别为F(s)的实部和的实部和 虚部

35、，则有虚部，则有Re1/F(s)= Re1/(P(s)+jQ(s)= P(s)/(P2(s)+Q2(s)5.5 正实函数正实函数 性质性质2. 正实函数之和仍为正实函数正实函数之和仍为正实函数证明：假定证明：假定F1(s)和和F2(s)都为正实函数，都为正实函数，F(s)= F1(s)+ F2(s)且且 F1(s)= P1(s)+jQ1(s)，F2(s)= P2(s)+jQ2(s)。当当Ims=0时，时，ImF1(s)=0，ImF2(s)=0，所以，所以 ImF(s)= ImF1(s)+ F2(s)= ImF1(s)+ ImF2(s)=0， 既满足条件既满足条件(1)；(2) 当当Res0时，

36、时，ReF1(s) 0 ，ReF2(s) 0 ，所以，所以ReF(s)= ReF1(s)+ F2(s)= ReF1(s)+ ReF2(s)0， 既满足条件既满足条件(2)。则性质。则性质2得证。得证。此结论可以进一步推广为多个正实函数之和同样为正实函数。此结论可以进一步推广为多个正实函数之和同样为正实函数。可更进一步推广为多个正实函数的正线性组合（组合系数为正可更进一步推广为多个正实函数的正线性组合（组合系数为正数）仍为正实函数。需要注意的是，两个正实函数之差不一定数）仍为正实函数。需要注意的是，两个正实函数之差不一定是正实函数是正实函数5.5 正实函数正实函数 性质性质3. 正实函数的复合函

37、数仍为正实函数正实函数的复合函数仍为正实函数证明：设证明：设F(s)和和f(s)都是正实函数，则其复合函数都是正实函数，则其复合函数Ff(s)也也是正实函数。是正实函数。(1) 当当Ims=0时，时，ImF(s)=0，所以，所以ImFf(s)=0，既满足，既满足条件条件(1)；(2) 当当Res0时，时， ReF(s)0，所以，所以ReFf(s)0，既满，既满足条件足条件(2)。则性质。则性质3得证。得证。5.5 正实函数正实函数 布隆定理布隆定理: 若线性、集中、时不变网络由无源二端元件构成，若线性、集中、时不变网络由无源二端元件构成，则有理函数则有理函数F(s)要成为这种网络的策动点函数的

38、充分必要条件要成为这种网络的策动点函数的充分必要条件是是F(s)为正实函数。为正实函数。bkjjjkjkkkkksIsMsIsCsLRsU2)()()1()(无源RLCMb条支路)(sI1 )(sU1)(/)(sYsZ1 (a)(sIkkRkCkLkjM+-)(sUkjL(b)图图(b)方程方程5.5 正实函数正实函数 必要性的证明：必要性的证明：111111( )( )( )( )( )( )( )U sU s I sZ sI sI s I s222111()( )( )( )|( )|bbkkkkjjkkjkj kRsLIssM IsIsI ssC0002111( )( )( )|( )|

39、F sV ssMsI ss11211( )( ) =|( )|U s I sI s特勒根定理kk2211( )( )|( )|bkUs IsI s220022200222222021( )|( )|0( )|( )|0( )|( )|( )( )( )( )0|( )|0bbkkkkkkbbbbbkkkjjkkjjkkkjkjj kj kbkkkF sRIsV sIsCMsLIsM Is IsTM Is IsTLIs其中；0002111( )( )( )|( )|Z sF sV ssT sI ss( )无互感时无互感时5.5 正实函数正实函数 结论结论 0002111( )( )( )( )|

40、( )|Z sF sV ssMsI ss同理，用类似的方法可以得到策动点导纳的表达式为同理，用类似的方法可以得到策动点导纳的表达式为*100022*2111( )111( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )bkkI sY sU s IsF sV ssMsU sU sU ss(1)当Ims=0时，ImZ(s)=0，ImY(s)=0。(2)设s=+j, 0则00022211Re ( )( )( )( )0|( )|Z sF sV sMsI s00022211Re ( )( )( )( )0|( )|Y sF sV sMsU s所以所以Z(s)是正实函数。另一方面，也可以证明，任何

41、正实函数是正实函数。另一方面，也可以证明，任何正实函数都可以用无源集中元件来实现。都可以用无源集中元件来实现。5.5 正实函数正实函数 正实函数的等价条件正实函数的等价条件1 一个具有实系数的有理函数一个具有实系数的有理函数F(s)为正实函数的必要充分条件是为正实函数的必要充分条件是 (1) 当当s为实数时，为实数时，F(s)也是实数；也是实数；(2) 对全部实频率对全部实频率，ReF(j)0，即在虚轴上，即在虚轴上，ReF(s) 大于等于零；大于等于零；(3) F(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面的闭左半平面，位于平面的闭左半平面，位于j轴上的轴上的 极点是一阶的，且具有正实留数。极点

42、是一阶的，且具有正实留数。等价正实条件等价正实条件(1)和和(2)可由正实函数的定义直接得出，可由正实函数的定义直接得出，下面主要推导等价条件下面主要推导等价条件(3)。 5.5 正实函数正实函数 设设F(s)有一右半开平面的有一右半开平面的n阶极点阶极点sp，在此极点周围，对，在此极点周围，对F(s)进行罗朗级数展开，即进行罗朗级数展开，即11011( )()()()()()nnnpnpnnpppkkkF skk ssk ssssssss 当当ssp时得时得( )()nnpkF sss令ssp=rej，k-n=kej，k、r和为正实数。()( )Re( ( )cos()jnnnkF serk

43、F snr因为所考查的右半开平面，既因为所考查的右半开平面，既Res0，必有，必有ReF(s)0，即要求即要求cos()0n满足这个条件的唯一可能是满足这个条件的唯一可能是n=0 5.5 正实函数正实函数 结论：正实函数在结论：正实函数在s右半开平面没有极点，即右半开平面没有极点，即F(s)的全部极的全部极 点位于点位于s平面的闭左半平面内。平面的闭左半平面内。n=1说明说明j轴上的极点是单阶的，轴上的极点是单阶的，=0说明极点处的留数说明极点处的留数k-1为一正实数。这就说明了等价条件为一正实数。这就说明了等价条件(3)。若极点若极点sp位于位于j轴上，为保持轴上，为保持ReF(s)为正数的

44、条件是为正数的条件是n=1和和=0。等价条件等价条件(2)和和(3)有它的物理概念。在正弦稳态条件下，有它的物理概念。在正弦稳态条件下，输入到单口网络的平均功率为输入到单口网络的平均功率为 2211Re (j )PI RIZ由于无源网络只会吸收能量，不会供出能量，即由于无源网络只会吸收能量，不会供出能量，即 0P 所以必有所以必有 Re (j )0Z由于无源网络一定是稳定网络，所以由于无源网络一定是稳定网络，所以Z(s)的极点不能在右半的极点不能在右半平面内，平面内，j轴上极点必须为单阶，这就是条件轴上极点必须为单阶，这就是条件(3)的物理内容。的物理内容。5.5 正实函数正实函数 设设1）N

45、s)、D(s)全部系数大于零；全部系数大于零；2）N(s)、D(s)的最高次幂最多相差的最高次幂最多相差1，最低次幂最多也相差，最低次幂最多也相差1；3）F(s)在在 轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；轴上的极点是一阶的，且具有正实留数；4） （对所有的（对所有的 ） ；5）N(s)、D(s)均为均为Hurwitz多项式多项式(全部零、极点位于全部零、极点位于S左半闭平左半闭平面面)( )( )/( )F sN sD sj0)j (ReF等价正实条件等价正实条件25.5 正实函数正实函数 21223225(a)( );(b)( )14sssZ sZsss解解 (a) 显然满足显然满足(1)、

46、(2)、(3) 、(5)。又。又21122j323(j )Re(j )j11ZZ，满足满足(4)(1sZ是正实函数。是正实函数。(b) 显然满足显然满足(1)、(2)、(3)。但。但)50(0161002)j (Re2222当Z)(2sZ故故 不是正实函数不是正实函数 不满足不满足(4) 222(c)2ssF ss 5.5 正实函数正实函数 222(c)2ssF ss 解解 (c) 显然满足显然满足(1)、(2)、 (5)。又。又 22j 2j 2N ssss F sj故故 轴轴 上有两个单阶极点：上有两个单阶极点：12j 2j 2ss ， 此二极点处之留数，在此二极点处之留数，在 时留数分别

47、为时留数分别为12ssss和 1211j 22j 2102j 22j 2s ssssssF ss 2222j 22j 2102j 22j 2s ssssssF ss 2222j22RejRe1022F (对所有对所有 )在在 轴上的极点是轴上的极点是一阶的，且具有正一阶的，且具有正实留数，满足实留数，满足(3)j由此可断定由此可断定 是正实函数。是正实函数。 F s5.6 LC一端口的实现一端口的实现 LC一端口：一端口：00,0,( )0RMF s*002*1( )1( )( )|( )|V sY ss T sU ss一、一、 或或 的性质的性质)(sY)(sZ0021( )1( )( )|

48、( )|V sZ ssT sI ss1. Z(s)为为s的奇函数，即的奇函数，即Z(-s)= - Z(s)；2. Z(s)的全部极点和零点共轭成对地位于的全部极点和零点共轭成对地位于 轴上；轴上；j s4. 在在 s = 0 和和 处或是一零点或是一极点处或是一零点或是一极点 ；3. Z(s) 的分子和分母最高方次之差必为的分子和分母最高方次之差必为1；5. 对任何对任何 ， 均为纯虚数；均为纯虚数；jZ(j )6. Z(s)是是 的严格单调递增函数，零、极点交替出现在的严格单调递增函数，零、极点交替出现在 轴上轴上j5.6 LC一端口的实现一端口的实现 示意图如下：示意图如下： )(X)(X

49、5.6 LC一端口的实现一端口的实现 二、二、 LC一端口综合一端口综合1 Foster综合综合(基于部分分式展开后逐项实现基于部分分式展开后逐项实现) 根据性质确定有理函数根据性质确定有理函数F(s)是否为电抗函数，从而确定能否用是否为电抗函数，从而确定能否用LC网络实现。网络实现。1） Foster第一种形式第一种形式串联形式，给定阻抗函数串联形式，给定阻抗函数Z(s) LC电抗函数的电抗函数的Foster第一种综合形式第一种综合形式 niiissKsKsKsZ1220)(iiiiiiiiCLsCssCsLCLsZ1/1/)(2 计算并联阻抗计算并联阻抗5.6 LC一端口的实现一端口的实现

50、 200/ 1/ 1iiiiiKLKCKCKL ，2200j( )limlim( )lim( )iiisssZ ssKKZ s sKZ sss，若若Z(s)在在s=0处有零点处有零点(分子有分子有s项项) ,则则K0=0,即网络中无即网络中无C0元件元件;若若Z(s)在在s处有零点处有零点(分母有分母有s项项),则则K=0,即网络无即网络无L元件元件.5.6 LC一端口的实现一端口的实现 2） Foster 第二种形式第二种形式并联形式，给定导纳函数并联形式，给定导纳函数Y(s) niiissKsKsKsZsY12201)()( C0LiCiLnCnL21)/ 1 (11)(iiiiiiCLs

51、sLsCsLsY )(sY图图5.12 LC导抗函数的导抗函数的Foster第二种综合形式第二种综合形式若若Y(s)在在s=0处有零点，则处有零点，则若若Y(s)在在s有零点，则有零点，则00K 0L0KC即网络中无即网络中无 元件元件;即网络中无即网络中无 元件元件.5.6 LC一端口的实现一端口的实现 例例5.3 分别用分别用Foster 第一和第二种形式综合阻抗函数第一和第二种形式综合阻抗函数)4)(2()3)(1(8)(2222ssssssZ【解解】 (1) 对对Z(s)进行展开进行展开22222221023)2(2342)(sssssssKssKsKsZ22)(lim, 3824)(

52、lim22100sssZKssZKjss34)(lim222sssZKjs0C1L1C2L2C)(sZFoster第一种综合形式第一种综合形式010112122221221111FF321131HFH34CCKKKKLCLK元件， ， 5.6 LC一端口的实现一端口的实现 (2) 对对Y(s)进行展开进行展开316111638131) 3)(1(8)4)(2()(1)(2222212222sssssssKssKsKssssssZsYFoster第二种综合形式第二种综合形式1211222211221311611F, F, H,F, 16H816348KKCKCLCLKK5.6 LC一端口的实现一

53、端口的实现 2 Cauer(考尔考尔)综合综合(基于连分式展开基于连分式展开) Cauer综合法又称作连分式法，该方法首先将网络函数写综合法又称作连分式法，该方法首先将网络函数写成连分式的形式，该形式可用成连分式的形式，该形式可用LC梯形网络来实现。梯形网络来实现。 梯形网络如下梯形网络如下 112231( )111Z sZYZYZ其串臂用阻抗其串臂用阻抗Z标出标出,分流臂用导纳分流臂用导纳Y标出标出,得该端口输入阻抗得该端口输入阻抗5.6 LC一端口的实现一端口的实现 1) Cauer 第一种形式第一种形式 (特点：逐次移出特点：逐次移出 处的极点。处的极点。串臂为电感，并臂为电容串臂为电感

54、，并臂为电容) s首先假设首先假设LC梯形网络端口阻抗函数分子的梯形网络端口阻抗函数分子的s最高幂次比分母最高幂次比分母的的s最高幂次高一次最高幂次高一次( )( )( )N sZ sD s在在 s 处，处，Z(s)有一个极点，移去此极点有一个极点，移去此极点 1111( )( )( )( )( )( )N sN sZ sa sa sZ sD sD s式中，式中，a1是分子、分母多项式是分子、分母多项式s的最高幂次的系数之比，因为的最高幂次的系数之比，因为电抗函数的分子、分母多项式的系数为正实数，所以电抗函数的分子、分母多项式的系数为正实数，所以a1为正为正实数，它相当于一个电感值。实数，它相

55、当于一个电感值。5.6 LC一端口的实现一端口的实现 函数函数Z1(s)的分子的最高幂次比分母的最高幂次低一次，因的分子的最高幂次比分母的最高幂次低一次，因此在此在s处，处，Z1(s)有一个零点，其倒数有一个零点，其倒数1/Z1(s)在在s处处有一个极点，再移去此极点可得有一个极点，再移去此极点可得1121( )1( )( )( )( )N sZ sa sD sD sa sN s式中式中a2为为D(s)/N1(s)在在s处的留数，它相当于一个电容值。处的留数，它相当于一个电容值。D1(s)的的s最高幂次比最高幂次比N1(s)的的s最高幂次低一次，因此在最高幂次低一次，因此在s处处又将有一个零点

56、，其倒数又将有一个零点，其倒数N1(s)/D1(s)在在s处有一个极点，再处有一个极点，再移去此极点。移去此极点。 如此反复，直到最后一项如此反复，直到最后一项ans. 12341( )11Z sa sa sa sa s5.6 LC一端口的实现一端口的实现 上面将上面将s处的极点移除的过程如图所示处的极点移除的过程如图所示将梯形网络与极点将梯形网络与极点移除比较，可得移除比较，可得 212iiiiZasYa s或或212iiiiLaCa12341( )11Z sa sa sa sa s5.6 LC一端口的实现一端口的实现 例例1：设：设 4231624( )4ssZ sss，试用，试用Caue

57、r第一种形式综合。第一种形式综合。 解：将分子和分母多项式按降幂排列，进行辗转相除解：将分子和分母多项式按降幂排列，进行辗转相除 3424 )1624ss ss) s1sL4240ss231224 )4 )sss1112ssC32ss222 )1224 ) 6ssssL22120124 ) 2 )1220ssssCs5.6 LC一端口的实现一端口的实现 由此得出由此得出Z(s)的连分式为的连分式为 112211( )11111126112Z ssLssCssLssCs实现的电路如图实现的电路如图 5.6 LC一端口的实现一端口的实现 如果如果Z(s)的分子多项式的幂次比分母多项式的幂次低，的分

58、子多项式的幂次比分母多项式的幂次低，则则Z(s)无无s处的极点。而处的极点。而Z(s)在在s处一定有一个处一定有一个零点。在此情况下，实现过程可从其倒数零点。在此情况下，实现过程可从其倒数Y(s)=1/Z(s)开开始。在进行辗转相除时，分子和分母多项式仍按降幂始。在进行辗转相除时，分子和分母多项式仍按降幂排列。所得连分式的形式前面相同，只是连分式中无排列。所得连分式的形式前面相同，只是连分式中无sL1项，即项，即a1=0。实现出来的电路也和前面形式类似，只是。实现出来的电路也和前面形式类似，只是没有第一个串联电感，而是由并联电容开始。这种情况没有第一个串联电感，而是由并联电容开始。这种情况可通

59、过下例说明。可通过下例说明。例例2：设：设 231( )312sZ sss。试用。试用Cauer第一种形式综合。第一种形式综合。 解：因解：因s为为Z(s)的零点，故首先用的零点，故首先用Y(s)。使用长除运算得。使用长除运算得到到Z(s)的连分式形式。的连分式形式。(多项式按降幂排列多项式按降幂排列)5.6 LC一端口的实现一端口的实现 231322221)312 (3339 )1( /901)9 (990sssssCsss sssLssssCs由此得出由此得出Y(s)的连分式为的连分式为 323121( )311199ssY sssss与此对应的与此对应的Z(s)的连分式为的连分式为 12

60、211( )11311199Z ssCssLssCs实现的电路如图实现的电路如图 5.6 LC一端口的实现一端口的实现 (2) Cauer第二种形式第二种形式(特点：逐次移出特点：逐次移出s=0处的极点。串臂为处的极点。串臂为 电容，并臂为电感电容，并臂为电感)对对Z(s)的分子和分母多项式的分子和分母多项式N(s)与与D(s)分别按升幂排列后进分别按升幂排列后进行一系列展转相除，不断的移去函数在行一系列展转相除，不断的移去函数在s=0处的极点，可得处的极点，可得到如下形式的连分式展开式到如下形式的连分式展开式11121314151( )111Z ssssss5.6 LC一端口的实现一端口的实