第四节幂级数

1、第四节 幂级数分布图示函数项级数的一般概念 例1 例2 例3 幂级数的概念 幂级数的收敛域 收敛半径的求法 求收敛域的基本步骤 例4 例5 例6 例7 幂级数的代数运算 例8 幂级数和分析运算性质 例9 例10 例11 例12 内容小结 课堂练习 习题12-4 返回内容要点 一、函数项级数的基本概念；函数项级数在某区域的收敛性问题，是指函数项级数在该区域内任意一点的收敛性问题，而函数项级数在某点的收敛问题，实质上是常数项级数的收敛问题. 这样，我们仍可利用常数项级数的收敛性判别法来判断函数项级数的收敛性. 二、幂级数及其收敛性；阿贝尔定理；三、收敛半径及其求法: 根据幂级数的系数的形式，当幂级

2、数的各项是依幂次连续的时候，可用对其系数应用比值判别法或根值判别法直接求出收敛半径，即有 或 ；如果幂级数有缺项，如缺少奇数次幂的项等，则应将幂级数视为函数项级数并利用比值判别法或根值判别法其收敛域；四、求幂级数收敛域的基本步骤：（1） 求出收敛半径R.；（2） 判别常数项级数 的收敛性；（3） 写出幂级数的收敛域.五、幂级数的算术运算：加、减、乘、除；六、幂级数的分析运算：和函数的连续性；逐项求导公式；逐项积分公式；几何级数的和函数是幂级数求和中的一个基本的结果我们所讨论的许多级数求和的问题都可以利用幂级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决例题选讲函数项级数的收敛域例1（E01）求级数

3、的收敛域.解 由比值判别法(1)当 即或时,原级数绝对收敛.(2)当 即时,原级数发散.(3)当 或时,级数为收敛;时，级数为发散,故级数的收敛域为例2 确定级数 的收敛域.解 当时，级数为此级数收敛.当时，记有由比值判别法知,此时级数绝对收敛,故级数收敛. 因此,级数的收敛域为例3（E02）求级数的收敛域.解 因当时，级数发散.当时，级数去掉前面的有限项(最多去掉前项,它不影响级数的收敛性)后为正级数,而 且级数当时收敛, 时发散.由比较判别法的极限形式知,题设级数当时收敛,即收敛域为求幂级数的收敛域例4（E03）求下列幂级数的收敛域解 所以收敛半径当时，级数成为该级数收敛;当时，级数成为该

4、级数发散.从而所求收敛域为(2) 因为故收敛半径即题设级数只在处收敛.(3) 因为 所以收敛半径所求收敛域为例5（E04）求幂级数的收敛域解 令题设级数化为因为所以收敛半径收敛区间为即当时，级数成为该级数发散; 当时,级数成为该级数收敛.从而所求收敛域为例6（E05）求幂级数的收敛域.解 题设级数缺少偶数次幂，此时可直接利用比值判别法:当即时，级数收敛;当即时，级数发散,所以收敛半径当时，级数成为该级数发散; 当时，级数成为该级数发散.故所求收敛域为例7 求函数项级数的收敛域.解 令原级数变为容易求得级数的收敛域为即解此不等式得所以原级数的收敛域为幂级数的运算例8（E06）求幂级数的收敛域.解

5、 从例4的(1)知,级数的收敛域为对级数有所以,其收敛半径为4.易见当时，该级数发散.因此级数的收敛域为由幂级数的代数运算性质，题设级数的收敛域为求幂级数的和函数，分析运算性质的应用例9（E07）求幂级数的和函数.解 由例4(1)的结果知，题设级数的收敛域为设其和函数为即显然且由积分公式得因题设级数在时收敛，所以例10（E08）求幂级数的和函数.解 因为，故题设级数的收敛半径R=1，易见当时，题设级数发散，所以题设级数的收敛域为设则在上式两端求导，得所求和函数例11 求级数 的和.解 所求级数的和是幂级数当时的和.设逐项求导,得两边积分,得即又因所以故所求原级数的和为例12 求幂级数的和.解

6、设则将上式两端对积分,得由得两端积分得由得即 课堂练习1.幂级数逐项求导后, 收敛半径不变, 那么它的收敛域是否也不变?2.求所给幂级数的收敛域:;3. 求幂级数的和函数.阿贝尔（Abel,Nicls Henrik，18021829）阿贝尔挪威数学家，1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6日卒于挪威弗鲁兰。阿贝尔出身贫困，未能受到系统教育，启蒙教育得自于他的父亲。1813年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习。起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣。15岁时，他幸运地遇到一位优秀数学教师，使他对数学产生了兴趣。阿贝尔迅速学完了初等数学课程。然后，他在老师的指

7、导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师的著作。1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学学习。1825年大学毕业后，他决定申请经费出国，继续深造和谋求职位。在德国他结识了一位很有影响的工程师A.L.克雷尔，在阿贝尔及朋友的赞助下，克雷尔于1826年创办了著名的数学刊物纯粹与应用数学杂志，后被称为克雷尔杂志。它的第一卷刊登了7篇阿贝尔的文章，克雷尔杂志头三篇共发表了他的22篇包括方程、无穷级数、椭圆函数等方面的开创性论文。从此，欧洲大陆数学家才开始注意他的工作。1826年7月，阿贝尔从柏林来到巴黎，遇见了勒让德和柯西等著名数学家，他写了一篇题为“关于一类广泛的超越函数的一个一般性质

8、”的文章，于1826年10月30日提交给法国科学院，不幸未得到重视，当时科学院的秘书傅里叶读了论文的引言，然后委托勒让德和柯西对论文作出评价，柯西是主要负责人，这篇论文很长而且难懂，因为它饱含了许多新概念。柯西把它放在一边，醉心自己的工作。勒让德也把它忘记了。事实上，这篇论文直到阿贝尔去世后的1841年才发表。1826年底，阿贝尔回到柏林。不久，他染上了肺结核，克雷尔帮助了他，请他担任克雷尔杂志的编辑，同时为他谋求教授职位，但未获得成功。1827年5月20日，阿贝尔回到奥斯陆。回国后更失望，仍然没有找到职位的期望，他不得不靠作家庭教师维生。在贫病交迫、茹苦含辛的逆境中，他并滑倒下去，仍然坚持研究，取得了许多重大成果。他定下了一系列关于椭圆函数的文章，发现了椭圆函数的定理、双周期性，并引进了椭圆函数的反演。正是这些重大发现才使欧洲数学家们认识到他的价值。1828年9月，四名法国科学院院士上书给挪威国王，请他为这位天才安排一个合适的职位。勒让德在1829年2月25日科学院会议上，也对