等比数列性质习题

1、等比数列性质一、选择题1.已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为( )A、 B、 C、或 D、2.等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）5.等比数列的各项均为正数，且18，则( )A12 B10 C8 D26.是公差不为0的等差的前项和，且成等比数列，则等于（ ）A. 4 B.6 C.8 D.107.公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，则等于A、28 B、32 C、36 D、408.等比数列的前项和为，若，则公比为（ ） A.1 B.1或1 C.或 D.2或29.已知等比数列an 的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 A 15 B17 C19 D 21二、填空题13.

2、设等比数列的前n项和为。若，则=15.等比数列的公比, 已知=1，则的前4项和= 16.等比数列的前项和=，则=_.三、解答题20.在等比数列中，公比，设，且（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和及数列的通项公式；（3）试比较与的大小.3.（2006全国卷理）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：3.解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n

3、=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 8.（2006安徽理）数列的前项和为，已知（）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（）设，求数列的前项和。8.解：由得：，即，相加得：，又，所以，当时，也成立。（）由，得。而，所以，对成立。由，10.（2005山东文）已知数列的首项前项和为

4、，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数10.解：由已知可得两式相减得，即从而当时,，所以又所以，从而故总有，又，从而,即数列是以为首项，2为公比的等比数列；（II）由（I）知因为所以从而=-=.例题2. （2007年二次月考）设数列的前n项和为Sn，若是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）试比较的大小，并证明你的结论.解析：（）是各项均为正数的等比数列. 当n=1时，a1=1，当。（）当n=1时，当当q=1时，当当综上可知：当n=1时，当若若点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和例题3. （2

5、007年5月湖北省十一校）.已知数列中各项为：个个 12、1122、111222、（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前n项之和Sn . 解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）个记：A = , 则A=为整数= A (A+1) ，得证(2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要例题4. (云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知是数列的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）.（I）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（II）设的前n项和，求.解析：（I）两

6、式相减：是以2为公比的等比数列，（II）而点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系例题5.（2007年5月莆田四中）已知为锐角，且，函数，数列an的首项.求函数的表达式；求证：；求证：解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：又为锐角都大于0, , 又点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题7.（2007年5月2007浙江省五校）已知函数

7、,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为,所以, , 所

8、以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以= .由两式可知: .点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量、概率等的联系例题8.（四川省南充高级中学2008届十月份月考）无穷数列的前n项和，并且（1）求p的值；（2）求的通项公式；（3）作函数，如果，证明：解析：（1），且p1，或若是，且p1，则由，矛盾故不可能是：，且p1由，得又，（2），当k2时，n3时有对一切有：（3），故又故点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题8.（2007年5月徐州市）已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的

9、值; (2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题12. (2007年5月宁波市三中) 已知数列中，（1）求；（2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：分析：条件中有类似于前n项和的形式出现，提示我们应该考虑anSnSn1(n2)解：（1）（2）得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以 点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中这种拆分方法是数学中较高要求的变形.答案一