等差数列知识点总结与基本题型

1、等差数列知识点总结与基本题型一、基本概念1、等差数列的概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 （为常数）， （2）对于公差，需强调的是它是每一项与它前一项的差（从第2项起）要防止把被减数与减数弄颠倒。 （3）等差数列为递增数列 等差数列为常数列 等差数列为递减数列 （4）一个等差数列至少由三项构成。2、等差数列的通项公式 （1）通项公式：，（当时，等式也成立）； （2）推导方法：不完全归纳法：在课本中，等差数列的通项公式是由归纳而得，这种利用一些特殊现象得出一般规律的方法叫不完全

2、归纳法。 迭加法：也称之为逐差求和的方法：，上述式子相加，即。 迭代法：。 （3）通项公式的应用与理解 可根据的情况来分析数列的性质，如递增数列，递减数列等。 用于研究数列的图象。 ， （）时，是的一次函数，由于，因此，数列的图象是直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。 （）时，表示平行于轴的直线上的均匀排开的无穷（或有穷）个孤立点。不难得出，任意两项可以确定一个等差数列。 从函数知识的角度考虑等差数列的通项公式：，是关于的一次式，所以等差数列的通项公式也可以表示为（设）。 等差数列具有下列关系： （）数列中任意两项与，满足：或。 （）在等差数列中，若，则。3、等差数列的等差中项 （1）定

3、义：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项。 （2）充要条件：成等差数列。 （3）推论：是等差数列。4、等差数列的主要性质 (1)若，则。（2） 数列仍为等差数列， (，)仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6) 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。 (7) 是等差数列，则仍成等差数列。 (8) 下标成等差数列且公差为的项：

4、组成公差为的等差数列。 (9) 数列（为常数）是公差为的等差数列。5.前项和二、基本题型例1、判断下列数列是否是等差数列： （1）；（2）。 分析：用定义去判断。例2、求等差数列的第20项。例3、在等差数列中，已知，求与。例4、已知为等差数列，且，求。 分析：有的同学习惯于数列等差数列，对于是等差数列就束手无策了，关键还是对定义理解不透彻。例5、等差数列中，已知，则 。 分析：利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题，求出的值。例6、三个数成等差数列，它们的和等于9，它们的平方和等于35，求这三个数。 分析：若设这三个数为，则需列三个方程；若根据等差数列的定义，设这三个数为，只需列两个方程，因此，采用后一种设法更好。例7、等差数列中，求。 分析：由，直接列方程组；解出两个基本量和，这是常规解法，但比较麻烦，观察的下标，可以联想到成等差数列，利用等差数列的性质，必能提高解题速度。例8、在与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则这个数列为