第7章参数估计

1、第7章 参数估计7.1 参数点估计的几种方法7.1.1 参数点估计问题的提出在实际问题中，首先，总体的分布类型往往是知道的，未知的只是其中的某些参数。例如，等；其次，人们直接感兴趣的往往不是总体的分布，而是总体的某些参数。因此参数估计就显得特别重要。设为未知参数，为总体的样本，点估计：就是寻找统计量作为参数的估计。7.1.2 矩法估计（MME） 总体矩 样本矩一阶： .二阶： . . 阶： （有限制） .特点：总体矩含有未知参数，样本矩是统计量；总体矩和样本矩（同阶）是近似相等的（大数定律）。证：，（辛钦大数定律）。思想：用样本矩代替总体矩，建立方程，解出其中的未知参数，参数的解即为它的矩估计

2、。例1 若总体，为来自总体的样本，求的MME。解：求总体矩;建立方程，令，则，即得MME为。例2 设总体的期望、方差分别为，为来自总体的样本，求的MME。解：求总体矩，。建立方程，令注：矩法估计是不需要知道总体的分布函数的。例7.1.2 设总体，为参数，为来自总体的样本，求的MME。解：求总体矩，。建立方程，令7.1.3 最大似然估计（MLE）一、最大似然原理：一个随机试验，有若干个可能出现的结果，现进行一次试验，若事件发生，则认为最大。二、概率函数若离散型，分布列若连续性，概率密度统称为概率函数，记为，为未知参数。三、似然函数设为总体的一组样本，为样本的一组观测值，现事件发生了，由最大似然原

3、理知，最大。当总体为离散型，则最大，当总体为连续型，则样本落在点的邻域内的概率最大，其中与无关，由知，最大，也就是最大，记，称为关于的似然函数。若使得达到最大，则称为的最大似然估计值，其相应的统计量为的最大似然估计量（MLE），记为。四、计算MLE若关于单调，则可根据单调函数的性质求例4 设，求。解：概率函数为设为样本的一组观测值，则似然函数为由于关于单调下降，所以取最小值时，最大，但，所以由的任意性知：若关于不是单调的，要求极值点，可先求稳定点，然后再验证。令，则为方程的解。通过解方程，求出（如果只有一个稳定点就不需要验证了）。但是不易求导，于是引入对数似然函数：由于是的严格递增函数，它们有

4、相同的极大值点，所以可令：。例5 设，求。 设总体（1）若已知，未知，试求的最大似然估计量；（2）若，均未知，试求，的最大似然估计量。解：的概率函数为。设为样本的一组观测值，（1）的似然函数为，从而对数似然函数为，令得，解方程得，由的任意性可知，最大似然估计。（2），的对数似然函数为，分别关于，求偏导，得似然方程组解得由的任意性可知，最大似然估计。7.2 点估计的评价标准一般地，不同的估计方法得到参数的估计不一定一样，这时怎样判断估计的好坏呢？点估计常用的评价标准有三个：无偏性、有效性、一致性。7.2.1. 无偏性：设为未知参数的点估计，若，则称为的无偏估计量，否则称为有偏估计。 设样本为来自

5、总体的一组样本，。验证为的无偏估计；为的无偏估计。解：；。7.2.2. 有效性：设，是的两个无偏估计量，如果，则称比有效。 设总体的方差存在，。为的样本，则是的两个无偏估计量，验证哪个更有效。解：，所以比更有效。7.2.3. 一致性（相合性）：设为未知参数的点估计，为样本容量，若，有，（或）则称为的一致估计量。7.3 区间估计7.3.1 区间估计的概念定义1：设为总体的一个参数，是取自总体样本，为某一实数，若存在两个统计量，使得，则称随机区间为的置信水平（或置信系数）为的置信区间；，分别称为的置信下限、置信上限，统称为置信限。这种用一个区间来估计未知参数的方法称为区间估计。意义：置信水平反映的

6、是区间包含的可靠程度。定义2：为未知参数，为的一个估计值，为某一给定实数，记，则称为的置信水平为的区间估计。注：与样本容量和有关；为随机区间；大约有个区间包含。7.3.2 枢轴量法构造未知参数的置信区间的最常用的方法：枢轴量法，借助假设检验的接受域来构造。 设为取自正态总体的样本，其中已知，未知，试求参数的置信水平为的置信区间。解：的最大似然估计为，而由Fisher定理知，故，是样本的函数，且含有未知参数，但其分布与未知参数无关。对于给定的，我们可以查标准正态分布表确定，使得，即，于是因此，的置信水平为的置信区间为。事实上，只要存在使得，即反解得就是的置信水平为的置信区间。等尾置信区间：使得两

7、个尾巴的概率相等的区间，即，。图示： y z枢轴量法的一般步骤：（1） 设法构造一个样本和的函数，使得的分布不依赖于未知参数，一般称具有这种性质的为枢轴量。（2） 适当选取两个常数，使对给定的，有；（3） 假如能将不等式恒等变形为，则有，从而即为的置信水平为的置信区间。上述构造置信区间的关键在于枢轴量的构造，一般由的点估计变形产生。7.3.3 单个正态总体参数的区间估计1. 已知时的置信区间令枢轴量，的置信水平为的置信区间为。 某灯泡厂的灯泡寿命（单位：小时）服从分布，今从中抽取一个容量为10的样本，测得，试求平均寿命的置信区间（）。解: 令枢轴量，因为，查标准正态分布表得，所以，的置信水平为0.95的置信区间为（1145.25,1148.75）。2. 未知时的置信区间我们用的无偏估计量来代替，令枢轴量为，的置信水平为的置信区间为。 假定新生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，今随机抽取12名新生婴儿，测得克，试求新生婴儿平均体重的置信水平为95%的置信区间。解：令枢轴量为，未知。查t分布表的，所以，的置信水平为0.95的置信区间为（2818.54,3295.46）。4. 的置信区间（未知）用的无偏估计量来代替，令枢