第五章平面向量

1、第五讲 复习平面向量一、知识点：向量的概念；向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；向量运算的运用：定比分点、平移、正弦定理和余弦定理。二、知识与技能：1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（答：（3,0）（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4

2、）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因有)；三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6

3、）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

4、A. B. C. D.（答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；（4）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0。5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再

5、是一个向量。如（1）ABC中，则_（答：9）；（2）已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；（3）已知，则等于_（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）（3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）（4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。如（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且

6、）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（答：）；（3）已知与之间有关系式，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：；最小值为，）6、向量的运算：（1）几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：_；_；_（答：；）；（2）若正方形的边长为1，则_（答：）；（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_（答：直角三角形）；（4）若为的边的中

7、点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为_（答：）；（2）坐标运算：设，则：向量的加减法运算：，。如（1）已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；（2）已知，则（答：或）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是（答：（9,1）实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设，且，则C、D的坐标分别是_（答：）；平面向量数量积：。如已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）。（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值（答：或

8、）；向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）；两点间的距离：若，则。如如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，2），求P到O的距离PO；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。（答：（1）2；（2）；7、向量的运算律：（1）交换律：，；(2)结合律：，；（3）分配律：，。如下列命题中：； 若，则或；若则；。其中正确的是_（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时

9、取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？8、向量平行(共线)的充要条件：0。如(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，且，则x_（答：4）；（3）设，则k_时，A,B,C共线（答：2或11）9、向量垂直的充要条件：.特别地。如(1)已知，若，则（答：）；（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是_ （答：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，则的坐标是_ （答：）10.线段的定比分点：（1）定比分点的概念：设点P是直线PP上异

10、于P、P的任意一点，若存在一个实数 ，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如若点分所成的比为，则分所成的比为_（答：）（3）线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，则，特别地，当1时，就得到线段PP的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点

11、确定对应的定比。如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_（答：）；（2）已知，直线与线段交于，且，则等于_（答：或）11.平移公式：如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点_（答：（，）；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则_（答：）12、正弦定理，余弦定理正弦定理：余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA， b2=c2+a2-2cacosB， c2=a2+b2-2abcosc定理变形：cosA=，cosB=

12、，cosC=正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。13.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_（答：）；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点

13、共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_（答：直线AB）14、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。三、题型训练A组1.已知，那么的坐标是A（1，7） B（3，1） C（1，1） D（1，18）2.已知=(4,-2),=(4,2)，则等于 A(0,2) B(0,-2) C(4,0) D(0,4)3.若=(1,2),=(-3,2),且(k+)(-3),则实数k的值是AB19 CD24.，为非零向量，且|=|，若k+与k-相互垂直，则

14、实数k的可能值为A1 B2 C0 D任意实数5.已知a、b为两个单位向量，则一定有Aab B若ab，则ab Ca·b1 Da·ab·b6.已知（2,4）,（1,2）, 则·等于（ ）A0 B10 C6 D107.已知a=(cos80°,cos10°),b=(sin55°,sin35°),则a·b（）AB C D8.已知向量a（1，2），b（4，x），且ab，则x的值是A8 B2 C2 D89.、是夹角为600的单位向量,则=2+，=2-3的夹角为A300 B600 C1200 D150010.在ABC中,

15、|=5,|=8,·=20,则|是 A6 B7 C8 D9 11.已知、是两个非零向量,则是（+）2 =（-）2的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件12.与向量垂直的单位向量坐标为（）A.或B.或C.或D.或13.点A分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为A B2 C1 D114.点B分有向线段的比为2：1，则点C分的比为( )A B C D315.已知点M1（6，0）、M2（0，2），点M在M1M2的延长线上，分M1M2的比为2，由点M的坐标是A B（6，4） C（6，4） D（6，4）16.已知点P(-1，0)，Q(2，5)，则线段PQ

16、的中点坐标是( )A(1,5) B(,) C(- D(-,)17.设点P(2,3)分所成的比为，点P1坐标为(1,2),则点P2的坐标是 A(2,3) B(3,4) C(4,5) D(5,6)18.按向量将点平移到点，则按向量将点平移到（ ）。AB C D19.把直线y2x沿向量平行，所得直线方程是Ay2x5 By2x5 Cy2x4 Dy2x420.将抛物线按向量a平移，平移后方程为，向量a的坐标为A（1，1） B（1，1） C（1，1） D（1，1） 21.在ABC中，若sin(BC)2sinBsinC,那么这个三角形一定是A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形22.在ABC

17、中，如果sinAcosA，那么ABC的形状是A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不能确定23.满足a4,b3和A45°的ABC的个数为A0个 B1个 C2个 D无穷多个24.在ABC中，若a6，b3，C120°，则c25.在ABC中，已知a4，A45°,B60°,则b等于A B C D26.已知向量=（x+3，x2-3x-4）与相等，若A(1,2),B(3,2),则x=27.若=（1，1），=（1，-1），=（-1，2），则=+28.已知·=2，|=2，|=，则与的夹角14.若=（k，3），=（3，5）,且与的夹角是锐角，则k的取值范围是

18、29.已知|a|4，|b|3，且ab，则（ab）·（a2b）30.已知，与的夹角为，那么。31.已知M1（1,5），M2（2,3），若点M在线段M1M2上，且，则点M的坐标是_。32.已知是的边上的中线，若、，则等于。A.B.C.D.33.某缉私船发现在它的正东方向有一艘走私船，正以v海里/小时的速度向北偏东45°的方向逃离若缉私船马上以v海里/小时的速度追赶，要在最短的时间内追上走私船，则缉私船应以沿北偏东的方向航行34.（5分）已知a(3,4),b(2,1)。求使得（axb）与（ab）垂直的实数x。35.平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(1,3)（1）求

19、ab；（2）若akb与c平行，求实数k.36.已知=(2,1),=(1,2),且,求.37.已知|=4，|=3，（2-3）·（2+）=61.求与的夹角； 求|+|和|-|.38.（7分）已知ABC的高AD、BE交于O点，连结CO（1）用AC、BC、BO所示向量表示AO所示向量（2）用向量证明：COAB39.设=(3,4),=(2,x),=(2,y), 若且,求与的夹角.40非零向量，满足|=|=|+|，求与（-）的夹角B组1、 平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若，则x的值为：A、 -5 B、-1 C、1 D、52、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使|=|，则点E坐标为：A、（-8，）B、（）C、（0，1）D、（0，1）或（2，）3.点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：A、（2，-1） B、（-2，