第40讲平面与空间直线(第34课时共面问题)

1、第 40 讲 平面与空间直线-共面问题（第3-4课时）考点热点一定掌握！6证诸点共面方法：证这些点所在的直线共面。先设其中三点确定一个平面，再证其它点在此平面内。证其中几点在第一个平面内，另几点（中间可以含有刚才已用过的点）在第二个平面内，再证此两平面重合。例如图，是一个空间四边形，、分别是四条边、的中点，求证、四点共面。证明：如图，连接、，它们分别是和的中位线， 过和可以作一个平面，、四点共面。说明：本题使用方法。例设若干点在一平面内的射影都在一条直线上，试证这些点在同一平面内。证明：如图，设点、在平面内的射影分别为、，与确定的平面，同理，与确定的平面，与确定的平面，又 、均过直线，而过一不

2、垂直于已知平面的直线只可作一个平面与已知平面垂直，、重合，、在同一平面内。说明：本题使用方法。例如图，已知异面直线、，试证两个端点分别在直线和上的线段的中点都在同一平面内。（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）已知：如图2-2，、是两个端点分别在、上的线段，是两个端点分别在、上且异于、，异于、的线段中的任一条，、分别是、的中点，求证：、共面。证明：连接、，假设、三点共线，是的中位线，但 是的中位线， （三线平行公理），这与已知的、异面矛盾，、三点不共线。故可设、三点确定平面，图2-2如图2-3，连接，下面说明必与相交。设与确定平面，与确定平面，假设，由可得 ，由面面平行判定定理有 ，

3、同理，那么与平行或重合，但与有交线，故与不可能平行；若与重合，则、共面，与已知、异面矛盾，故与不可能重合。假设，则，即 =，与矛盾，图2-3，综合可知，必与相交，设交点为，如图2-4，连接，为中点，在中，必为中点，同理可证，必与相交，设交点为，连接，同理可证，必为中点，与重合，、共面。说明：本题使用方法。 图2-47证诸线共面方法：先证两线确定一个平面，再证其它线在此平面内。证其它线在此平面内时，可证其它线上有两点在此平面内，也可假设其它线不在此平面内而引出矛盾。先证其中几线在一个平面内，另几线在另一个平面内，再证此两平面重合。例过两异面直线中一条上各点引另一条直线的平行线在同一平面内。（已知

4、求证略。）证明：如图，在上任取两点、，过、分别作，设和确定平面，假设,，在内过作，故在空间过一点有了两条直线与已知直线平行，这不可能，,同理可证过上其它各点所作的平行线也在内。点评：本题使用方法之反证法。例如图，过直线作平面、从外一点分别作各平面的垂线、为垂足，试证所有这些垂线共面。证明：，平面，同理，平面， 过一点只可以作一个平面垂直与一条直线， 平面与平面重合，平面，同理可证其它垂线在平面内，、共面。点评：本题使用方法。8证诸线不共面例如图，已知空间四边形，试证、异面。证法一：平面，平面=，、异面。证法二：假设、共面，则、共面，这与已知是空间四边形矛盾，、异面。点评：本题使用反证法。能力测

5、试认真完成！参考答案仔细核对！LJ0101-03平面的概念与性质(续)12345678证诸点共面证诸线共面证诸线不共面2如图，已知二面角-内一点，求证 、共面。证明：，又 ， 面，同理，面， 面和面都过点且垂直于， 面和面重合，、共面。点评：本题使用方法。3若一条直线和三条两两平行的直线都相交，则这四条直线在同一平面内。证明：（已知求证略）如图，、确定一个平面，设为，、确定一个平面，设为，则 、，同理 ，即、既在内又在内，、重合，、共面。点评：本题使用方法。4如图，平面平面=，、，且、不重合，求证、异面。证法一：，=，、异面。证法二：假设、共面，则和点确定的平面与和点确定的平面重合，这与已知平面=矛盾，、异面。点评：本题证线不共面。例（年高考题）提示：分析：解：证明：点评：解题错误：错误原因分析：. ； . ； . ； . 。、a、b、c、d、|a|、|b|、|c|、|d|、ab、cd、ab、ab、º、-2-12121yxo-1-2解题错误：（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。）错误原因分析：（年高考第大题第小题）yxo-22o21xyx2o21yyxo502yxo 当 时， ，结论成立； 假设当 时，结论成立，即 ，