第06章弯曲变形题解

1、第6章 弯曲变形习题解答xABClq(a)a6-1 用直接积分法求下列各梁的挠曲线方程和最大挠度。梁的抗弯刚度EI为已知。（a）解：（1）弯矩方程 0xl+aM(x)=qlxqx2/2+q<x-l>2/2-ql2/2（2）积分 EIq(x)= qlx2/2qx3/6+q<x-l>3/6-ql2x/2+CEI(x)= qlx3/6qx4/24+q<x-l>4/24-ql2x2/4+Cx+D（3）定常数x = 0 q = 0 C = 0x = 0 = 0 D = 0max=B =()（b）l/3ABCxl(b)Mob解：（1）支反力 FA = Mo/l (),

2、FC =Mo/l ()（2）弯矩方程 0x 4l/3M (x)= Mox /lMo <x-l>/l（3）积分 EIq(x)= Mox2 /2l Mo <x-l>2/2l+CEI(x)= Mox3 /6l Mo <x-l>3/6l+Cx+D（4）定常数x = 0 = 0 D = 0x = l= 0 C =Mol/6max=B =()6-2 写出下列各梁的边界条件，并根据弯矩图和支座情况画出挠度曲线的大致形状。解：xBAk(a)C2l2lMoaAxaEAaaCBF(b)BCABCAx = 0 = 0 x = a = 0 x = l=k = Mo/lk x = 3

3、a=l= Fa /2EAxABCDaaaMobMobaaaABCDFFx(d)(c)BCAD弧圆直线BCADaaaABCDx(e)MobMob弧圆直线BCADx = 0 q = 0 x = 0 = 0 x = 0 =0 x = 3a= 0 aaaqxABCD(f)BCADx = 0 = 0 x = 0 = 0 , q = 0x =2a =0 x = 2a= 0 6-3 用叠加法求下列各梁C截面的挠度和B截面的转角。梁的抗弯刚度EI为已知。xABCa2aq(a)aaaABCDxFaF(b)ABCDxFa(1)xABCq(1)ABCDxF(2)xABCq(2)（a）解：查表得 (),() 叠加：(

4、 )，（）（b）解：查表得() ,()l/4FABCx(c)l/4l/4l/4Fqa2qaaaABCDx(d) 叠加：( ), ()qABCDx(1)FABCx(1)qa2ABCDx(2)ABCx(2)F（c）解：查表得 () 叠加：( )， （）（d）解：查表得 ( ),( ), (),()叠加：( ), ()aBA(a)aEI2EICq6-4 用分段刚化法求下列各梁C截面的挠度和B截面的转角。梁的抗弯刚度为已知。(a) 解：（1）分别刚化AB和BC段梁，图（a）梁变形为图（1）和图（2）梁变形的代数和。（2）查表得B(1)aEICq,aBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2(3)

5、叠加：( )()（b）解：（1）图（b）梁变形后，C处转角为零，所以该梁的变形计算可转化为图（1）梁的变形计算。分别刚化图（1）梁的CD和BD段，如图（2）、（3）所示，则图（2）和图（3）梁在B截面的挠度和转角之和分别与图（b）梁C截面的挠度和B截面的转角数值相等（挠度方向相反）。F(b)aBAaEI2EIaaEIC(1)DEIF/2aBaBa2EICF/2EIM=Fa/2aBa2EICF/2EID(2)(3)D（2）查表得, (3) 叠加：( )() =aBA(c)aEI2EICqaBA(3)aEI2EICqB(1)aEICqaBA(2)aEI2EICF=qaM=qa2/2（c）解：（1）

6、分别刚化AB和BC段梁，图（c）梁变形为图（1），图（2）和图（3）梁变形的代数和。由题6-4(a)可得，（2）查表得 ，(3) 叠加：( )()F(d)aBAaEI2EIaaEICF(1)aBa2EICFEIaBa2EICFEID(2)D（d）解：（1）与题6-4（c）类似，该梁变形计算可转化为图（1）和图（2）梁变形的叠加。即梁1、2在B截面的挠度和转角代数和分别与原梁C截面的挠度和B截面的转角数值相等（挠度方向相反）。(2) 由题6-4(b)可得 ( ), ()(3) 查表得 ( )，()(4) 叠加：( ),()6-5 用力矩面积法求题6-4中各梁C截面挠度和B截面的转角。（a）aBA

7、(a)aEI2EICqABC1.5qa2。C10.5qa2C20.75a1.5a5a/3C3。解： (1) 作弯矩图 分三块查表6-1计算M图面积i及其形心Ci对B截面的坐标差。1 = -qa3/6 xC - xC1 = 0.75a 2 = -0.5qa3xC - xC2 = 1.5a3 = -0.5qa3xC - xC3 = 5a/3(2) 计算B、C 由于A = 0，A= 0，故（ ）()（b）F(b)aBAaEI2EIaaEICA3a/25a/32a/3B。C1C2。C3。Fa0.5FaC解： (1) 作弯矩图 由于对称只需取一半分三块查表6-1计算M图面积i及其形心Ci对B截面的坐标差

8、。1 = Fa2/4 xC - xC1 = 2a/32 = Fa2/2 xC - xC2 = 3a/23 = Fa2/4 xC - xC3 = 5a/3(2) 计算B、C 由于C = 0，B= 0，故（ ）()（c）解： (1) 作弯矩图 设AC、BC和AB段M图面积分别为，1和2，Co、C1分别为和1的形心。S，S1，S2分别为、1和2对C截面的静矩。查表6-1可得aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/43a/2C1Co。aBA(c)aEI2EICq0.5qa23a/4A3a/2。C1Co。2qa2BaBA(c)aEI

9、2EICq0.5qa23a/43a/2CC1Co。=-4qa3/3，1=-qa3/6，2=-1= -7qa3/6，xC - xco =3a/2,xC xC1 =3a/4, S1=1(xC xC1)=-qa4/8, S= (xC xC o)=-2qa4(2)由于A= 0，A= 0，故（ ）()（d）F(d)aBAaEI2EIaaEICF解： (1) 作弯矩图 设DB、CD段M图面积分别为1和2，C1, C2分别为1和2的形心。查表6-1可得1= Fa2/2， 2=Fa2 , xB xC1 =2a/3, xC xC2=3a/2 (2) 梁变形后，C= 0，B= 0，FaA3a/22a/3BC。C1

10、C2D( )()6-6 折杆CAB在A处有一轴承，允许AC段绕自身的轴线自由转动，但A处不能上、zlaxyCABFbhd下移动。已知F=60N，b=5mm，h=10mm，d=20mm，l=500mm，a=300mm，E=210GPa，G =0.4E，试求B处的垂直位移。解：（1）AB段弯曲变形在B处产生的垂直位移为mm(2) CA段扭转变形在B处产生的垂直位移为mm所以B B 1 +B2 = 6.17+2.05 = 8.22 mm6-7 图示简支梁由两根槽钢组成，已知l=4m，F= 20kN，E=210GPa，许用挠度=l/400，试按刚度条件选择槽钢的型号。CFBA2l2l解：Icm4 查型

11、钢表，选16a槽钢可满足刚度要求。6-8 图示实心圆截面轴，两端用轴承支撑，已知F=20kN，a=400mm，b=200mm。轴承许用转角= 0.05rad， = 60MPa，材料弹性模量E=200GPa，试确定轴的直径d。解：（1）强度计算 kNmd1mmbaFABC(2) 刚度计算 查表得d2 mm欲满足强度和刚度要求，应取d=d1=76.8mm，考虑加工方便，取d =77mmFlaABC6-9 直径为d的实心圆形截面直杆放置在水平刚性平面上，单位长度重量为q，长度为l，弹性模量为E，受力F=ql/4后，未提起部分仍保持与平面密合。试求提起部分的长度a和提起的高度A 。解：（1）依题意，C

12、处曲率为零，所以C截面弯矩为零，即MC = Fa qa2/2 =0, a =2F/q = l/2aCqAF(2) AC段变形可简化为图示的悬臂梁，由叠加法可得()6-10 简支梁受移动载荷F作用，弯曲刚度为EI。若要求载荷移动时的轨迹是一条水平直线，试问应先把梁弯成什么形状（用=f(x)表示）？解：当集中力F作用在微弯的曲梁x处时，该处的挠度仍可按直梁计算，查表可得l/2ABFl/2ABFlxx若要求F移动的轨迹是一条水平直线,则应使曲梁x截面形心到水平轴线距离等于x,即曲梁轴线方程为6-11 图示静不定梁AB受集中力F作用。已知许用应力，抗弯截面系数为W。 (1) 试求许可载荷F；(2) 为

13、提高梁的承载能力，可将支座B向上移动，使梁内产生预应力。试求的最合理的许可值，及相应的许可载荷F。解：（1）求支反力 选B处支座为多余约束，相当系统如图(a)所示。变形条件为 B = 0 , 由叠加原理 FBBAF(a)CB= FB +F =解得 5Fl/32(b)3Fl/16（2）强度计算 由弯矩图(b)得 Mmax =MA =3Fl/16，F (3) 设支座B向上移动后，其支反力增量为FB,则()此时，A处弯矩减小，C处弯矩增大，当A、C两处弯矩绝对值相等时，梁内弯矩最小，则 ， FMoC(a)aaABFBBACMoMA(1)FA(2)9Mo/16Mo/86-12 试求图示各静不定梁的支反

14、力，并作弯矩图。弯曲刚度EI为已知。（a） 解：（1）选B处支座为多余约束，相当系统如图(1)所示。变形条件为 B = 0(2) 变形计算 由叠加原理B= FB +Mo =解得 FB = 9Mo/16a ()FA = 9Mo/16a () MA = Mo/8(3)作弯矩图如图(2)所示（b）a2aFBCA(b)FCBACFFAMA(1)(2)Fa/2Fa解：（1）选C处支座为多余约束，相当系统如图(1)所示。变形条件为 C = 0(2) 变形计算 由叠加原理查表得C= FC +F =解得 FC = 7F/4 ()FA = 3F/4 (), MA = Fa/2(3)作弯矩图如图(2)所示（c）q

15、CBA2l2l(c)(1)qCBAFC(2)ql2/329ql2/512解：（1）选C处支座为多余约束，相当系统如图(1)所示。变形条件为 C = 0(2) 变形计算 由叠加原理查表得C= FC +q =解得 FC = 5ql/8 ()FA = FB =3ql/16 ()(3)作弯矩图如图(2)所示（d）aaABCq(d)(3)(1)aACqaBCqFC1FAFBMCMBMAMAqa2/8+(2)qa2/12qa2/24(4)解：(1)由对称性可知，C处转角为零，可视为固定端,因此，原结构受力和变形等价于图（1）中两梁之和。由对称性可得：FA = FB = FC1= qa/2 , FC =2F

16、C1 = qa MA = MB = MC(2) 用力矩面积法求AC梁固定端弯曲力偶 解除AC端转动约束后，相当系统为一简支梁，其弯矩图可由图（2）和图（3）叠加而成，因为AC两端相对转角为零，故由力矩面积法可知，图（2）、（3）弯矩图面积之和为零，即MAa = (qa2/8)(2a/3), MA = qa2/12AB梁半边弯矩图如图（4）所示。6-13 直梁的挠度曲线方程为=qx(3lx2 -2x3- l3)/48EI，求梁内的最大弯矩和最大剪力值。并画出梁上的约束和载荷。已知梁长为l。解：(1) 内力方程 由挠曲线近似微分方程和M、Q、q间的微分关系有, ql, ，由Q、M方程可知 x =

17、0, Q = 3ql/8, M = 0, =0, 0x = l,Q = -5ql/8, M = -ql2/8, = 0, = 0x = 3l/8（Q0）时，弯矩有极值，M* = 9ql2/128， Mmaxql2/8。Qmax =5ql/8(3) 由于梁的左端挠度为零而转角不为零，可判断是铰支座，右端挠度和转角为零,且有一集中力偶，可判断是固定端，全跨受均布载荷，如图所示。6-14 图示悬臂梁一端固定在半径为R的光滑刚性圆柱面上。若要使梁AB上各处与圆柱面完全吻合，且梁与曲面间无接触压力。正确的加载方式是哪一种？试求应施加的载荷值。解：依题意，梁变形后，轴线应弯曲为一圆弧，根据曲率公式，各截面弯矩应为常数，因此正确的加载方式是图（c）。 由 FlRBA(a)qlRBA(b)MoRBA(c)l(b)BAEI2EIEIC5 kN/m5 kN/m10 kN/m15 kN2m2 m2 m2 mABCDx100 kN.m15 kN5 kN/m5 m5 m5 m(a)*6-15 试用奇异函数法或力矩面积法编制计算机程序，求图示各梁最大的挠度和最大的转角。EI为常数。