第六章常微分方程

1、第六章 常微分方程（Chap 9 Constant differential equation）教学内容：微分方程概念，一阶、二阶微分方程的概念及求解方法 教学要求：理解微分方程一阶概念，二阶微分方程解的结构掌握可分离变量的微分方程的解法，齐次方程及一阶线性微分方程，二阶常系数线性微分方程的解法会求，的解教学重点：一阶线性微分方程；二阶常系数齐次线性微分方程教学难点：常数变易法；高阶方程求解及二阶常系数齐次线性方程解的情况的讨论学时分配：讲授8学时，习题课2学时，共计10学时§6.1 微分方程的基本概念（Fundamental concept of differential equa

2、tion）一、两个实例1曲线通过点（1，2）且该曲线上任意点处的切线斜率为，求该曲线的方程。解：设曲线方程为，由题意知或 又 ，则 2一汽车在公路上以10米/秒的速度行驶，司机突然发现汽车前方20米有一小孩在地上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为-4米/秒2，问汽车能否撞伤小孩？解：设，由题意得 且 两端积分一次得 又 得 又 即 得二、微分方程的概念1微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程。如：（代数方程）2阶：方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数叫做微分方程的阶。n阶微分方程的一般形式 ： 在一般形式中，未知函数y及其各阶导数都是一次的，则此方程为线性

3、微分方程。其形式为：3常微分方程：如果一个微分方程中只含有一个自变量。（偏微分方程）：含有两个或两个以上自变量，4解：若将一个函数代入微分方程 能使两端相等，则称这个函数为微分方程的解。（1）通解：含有任意常数且个数与方程阶数相同的解。（2）特解：从通解中确定了任意常数的解，称为特解。定解条件：（初始条件）5、解的几何意义： §6.2 一阶微分方程（Differential equation）一、可分离变量的微分方程（Differential equation of separated variables）1定义：若一个一阶微分方程，能化成的形式则有，则此方程称为可分离变量的微分方程

4、。2特点：一边只含y的函数与y的微分，而另一边只含x的函数与x的微分。3如何求解：方程两边同时对x，y积分得通解 4例：（1）求微分方程的通解（2）求初值问题 的特解（3）求微分方程的通解注：为了书写简便，在求通解的时候只要出现，c就写成。二、 齐次方程（Homogeneous differential equation）1定义：如果一阶微分方程中的函数可写成关于的函数，即，则该方程称为齐次方程，是连续函数。2如何求解： 令 则 于是上式方程变为：（可分离变量微分方程）3例：（1）求方程满足初始条件的特解（2）求微分方程的通解 （3）求方程的通解三、线性方程及伯努利方程（Linear diff

5、erential equation of first order and Bernoulli equation）1、一阶线性方程（Linear differential equation of first order）1定义：形如： （是x的已知连续函数）的方程叫一阶线性微分方程。（1）当时，变为 一阶线性齐次微分方程（2）当时，变为 一阶线性非齐次微分方程2如何求解：（1）（可分离变量微分方程）通解 （2）分析齐与非齐方程的特点得出解有相同和不同之处，引出常数变易法。解：令代入原方程化解、整理得 两边积分得 因此所求通解为（通解公式可直接用）分析通解结构，得出非齐通解为齐次通解与非齐特解之和

6、，以后还会用到。3例（1）求微分方程的通解（两种方法目的让学生熟悉常数变易法）。（2）求微分方程的通解。（3）求方程在初始条件下的特解。（4）求方程的通解。二、贝努利方程（Bernoullie quation）1定义：方程叫做伯努利方程。2如何求解：方程： 两端同除以，得 令 则即 代入 得即 （关于z的一阶线性微分方程）求出通解，并将代入即得原方程的通解。3例：（1）求方程的通解（2）求方程：的通解（3）求方程：的通解。§6.3 可微阶的高阶微分方程（Differential equation that can be reduced order）高阶微分方程，二阶及二阶以上的微分方

7、程求解方法：降阶化为一阶微分方程，具体有三种类型：一、型的微分方程1微分方程的右端仅含有自变量x。2方法：两边连续积分n次，求得通解（含有n个常数）3例：求微分方程的通解二、型的微分方程1方程的右端不显含y（特点）2求解方法：令代入原方程，得（关于变量x，p的一阶线性微分方程）可求通解为，即求积分得通解为：3例：（1）求微分方程的通解。（2）求方程满足初始条件的特解（3）满足的特解三、型的微分方程1方程右端不显含x（ 特点）2如何求解：令（与前面相区别）将其代入原方程得此方程是关于y和p的一阶线性微分方程通解为分离变量得 两边积分得3例（1）求微分方程的通解（2）求方程满足初始条件 的特解&#

8、167;6.4 二阶常系数齐次线性微分方程（Homogeneous linear differential equation with second）1形如的方程叫二阶常系数线性微分方程（其中均为常数）（1）当时，变为 叫二阶常系数齐次线性微分方程（2）当时，叫二阶常系数非齐次线性微分方程2二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构与性质（1）定理1 如果函数是的两个解则也是解，（是任意常数）线性相关、无关概念（简单做一介绍）（2）定理2 如果是的两个线性无关的特解，则就是方程的通解。3如何求二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析方程的特点，得该方程的解的一阶、二阶导数仅差一个常数因子，结合导数知识，可设通解为，代入原方程得（特征方程）二次方程的两个根称为特征根，特征根有以下三种情形：（1）当时， 通解为（2）时，此时为一个特解，为寻求与线性关系的特解，可令代入原方程得 通解为（3）时， （化为实数根）利用欧拉公式 化复数形式为实数解形式 通解为4总结求二阶常系数齐次线性微分方程的通解的步