第三章行波法与积分变换法

1、第三章 行波法与积分变换法 在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（DAlembert）要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说

2、是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。对于一维波动方程 （3.1）作如下代换： （3.2）利用复合函数微分法则，得 （3.3）同理有 （3.4）将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得 （3.5）将（3.5）式对积分得，（是的任意可微函数）在对此式对积分得 （3.6）其中，都是任意

3、二次连续可微函数。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含两个任意函数的解）。在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数，的具体形式。为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长先的自由横振动。设弦的初始状态为已知，即已知定解条件 （3.7）将（3.6）中的函数代入（3.7）中，得在（3.9）两端对x积分一次，得 （3.10）由（3.8）与（3.10）解出，得把这里确定出来的，代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在条件（3.7）下的解为 （3.11）（3.11）式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔（DAlembert）公式。 现在我们来说明达朗贝尔公式的物理意义。由于达朗贝尔公式是由

4、（3.6）得来的，所以我们只需说明（3.6）式的物理意义。 首先，考虑的物理意义。我们来说明这样的函数是代表一个沿轴正方向转播的行波，为了讲清楚这一点，我们不妨考虑一个特例。假定的图形如图3.1（a）所示，在时，；在时，其图形如图3.1（b）所示；在时，其图形如图3.1（c）所示；在时，其图形如图3.1（d）所示。这些图形说明，随着时间的推移，的图形以速度向轴的正方向移动。所以，表示一个以速度向轴的正方向传播的行波，称为右行波。同样道理，就表示一个以速度向轴的负方向传播的行波，称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动点总是以行波的形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常

5、数。基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波法。从达朗贝尔公式（3.11）还可以看出，解在点的数值仅依赖于轴上区间内的初始条件，而与其他点的初始条件无关。区间称为点的依赖区间。它是由过点的两条斜率分别为的直线在轴所截得的区间（图3.2（a）。对初始轴上的一个区间，过点作斜率为的直线，过点作斜率为的直线，它们和区间一起构成一个三角形区域（图3.2（b），此三角形区域中任一点的依赖区间都落在区间的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个三角形区域称为区间的决定区域，在上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。若过点分别作直线，则经

6、过时间后受到区间上初始扰动影响的区域为，在此区域之外的波动不受上初值扰动的影响，称平面上由上述不等式确定的区域为的影响区域（如图3.2（c）。 从上面的讨论中我们可以看到，在平面上斜率为的两族直线，对一维波动方程（3.1）的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为一维波动方程（3.1）的特征线。因为在特征线，右行波的振幅取常数值，在特征线，右行波的振幅取常数值，且这两个数值随特征线的移动（即常数的改变）而改变，所以，波动实际上是沿特征线传播的。变换（3.2）常称为特征变换，行波法又称为特征线法。注 容易看出，一维波动方程（3.1）的两族直线，正好是常微分方程的积分曲线，这个常微分方程称为（3.1

7、）的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程 （3.12）来所，它的特征方程为 （3.13）这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程（3.12）特征曲线。二阶线性偏微分方程的特征线仅与该方程中的二阶导数项的系数有关，而与其低阶项的系数是无关的。需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（3.12）都有两族实的特征线。例如，若在某一区域内，这过此区域内每一点都不存在实的特征线；若在某区域内，这过此区域内每一点仅有一条实的特征线；只有在的区域内，过其中每一点才有两条相异实的特征线。若在某区域内，则在此区域内称（3.12）为椭圆型方程；若在某区域内，则在此区域内称（3.12）为抛物型方程；若在某区

8、域内，则在此区域内称（3.12）为双曲型方程，波动方程属于双曲型。不论（3.12）为哪一种类型的方程，都可通过适当的自变量之间的代换将它化简成所谓的标准形式。关于如何将二阶线性偏微分方程化成标准形式，读者可以参考其他书籍。下面举一个例子，说明如何通过将方程化简来求解它的定解问题。例 求下列柯西问题：解 先确定所给方程的特征线。为此，写出它的特征方程它的两族积分曲线为作特征变换 （3.16）容易验证，经过变换原方程化成它的通解为其中是两个任意二次连续可微的函数。原方程（3.14）的通解为 （3.17）把这个函数代入条件（3.15）得从（3.19）得 （3.20）从（3.18）与（3.20）可得即

9、代入（3.17）得到所求得解为 （3.21）§3.2 三维波动方程的泊松公式上节我们讨论了一维波动方程的初值问题，获得了达朗贝尔公式。只研究一维波动方程还不能满足工程技术上的要求，例如在研究交变电流时就要讨论三维波动方程，本节我们就来考虑在三维无限空间中的波动问题，即求解下列定解问题：这个定解问题仍可用行波法来解，不过由于坐标变量有三个，不能直接利用§3.1中所得的通解公式。下面先考虑一个特例。三维波动方程的球对称解 如果将波函数用空间球坐标来表示，所谓球对称就是指与都无关。在球坐标系中，波动方程（3.22）为当不依赖于时，这个方程可以简化为或但所以最后得到方程这是关于的一

10、维波动方程，其通解为或这就是三维波动方程的关于原点为球对称的解，其中是两个任意二次连续可微的函数，这个函数可以用指定的初始条件来确定。3.2.2 三维波动方程的泊松公式现在我们来考虑一般的情况，即要求问题（3.223.24）的解。从上面的球对称情况的讨论使我们产生这样一个想法：既然在球对称的情况，函数满足一维波动方程，可以求出通解，那么在不是球对称的情况能否设法把方程也化成可以求通解的形式？在球对称时波函数仅是的函数，在非球对称情况下，不可能满足一维波动方程。但是，如果我们不去考虑波函数本身，而是考虑在以为球心，以为半径的球面上的平均值，则这个平均值当暂时固定之后就只与有关了。这就启发我们引入

11、一个函数，它是函数在以点为中心，以为半径的球面上的平均值，即其中是球面上点的坐标，是以原点为中心的单位球面，是单位球面上的面积元素，是上的面积元素，显然有。在球面坐标中，。从（3.25）及的连续性可知，当时，即，此处表示函数在点及时刻的值。下面来推导所满足的微分方程。对方程（3.22）的两端在所围成的球体内积分（为了区别内的流动点的坐标与球心点的坐标，我们以表示内流动点的坐标），并应用Gauss公式得其中是的外法向矢量。（3.26）式左端的积分也采用球面坐标表示并交换微分运算和积分运算的次序，得代回（3.26）中得在此式两端对微分一次，并利用变上限定积分对上限球导数的规则，得或但故得这是一个关

12、于的一维波动方程，它的通解为 （3.27）其中是两个二次连续可微的任意函数。下面的任务是要从（3.27）及（3.23），（3.24）来确定原柯西问题的解。由（3.27）得到但其中、分别是与在球面上的平均值。所以，可得 （3.28） （3.29）由此可得代回到（3.27）得 （3.30）此外，还可利用将拓广到的范围内，并且比较上面两式可知令，并利用洛必达法则得到或简记成 （3.31）（3.31）式称为三维波动方程的泊松公式。不难验证，当是三次连续可微的函数，是二次连续可微的函数时，由（3.31）所确定的函数确实是原定解问题的解。下面举一个例子，说明泊松公式（3.31）的用法。例 设已知，求方程（

13、3.22）相应柯西问题的解。解 将给定的初始条件与代入（3.31），得到所要求的解为3.2.3泊松公式的物理意义下面我们来说明解（3.31）的物理意义。从（3.31）式可以看出，为求出定解问题（3.223.24）的解在处的值，只需要以为球心、以为半径作出球面，然后将初始扰动代入（3.31）式进行积分。因为积分只在球面上进行，所以只有与相距为的点上的初始扰动能够影响的值。或者，换一种说法，就是处的初始扰动，在时刻只影响到以为球心，以为半径作的球面上各点，这是因为以上任一点为球心，以为半径所作的球面都必定经过点。这就表明扰动是以速度传播的。为了明确起见，设初始扰动只限于区域，任取一点，它与的最小距

14、离为，最大距离为（图3.3），由泊松公式（3.31）可知，当，即时，这表明扰动的“前锋”还未到达；当，即时，这表明扰动已经到达；当，即时，这表明扰动的“阵尾”已经过去并恢复了原来的状态。因此，当初始扰动限制在某局部范围内时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，这种现在在物理学上称为惠更斯原理或无后效现象。由于在点的初始扰动是向各个方向传播的，在时间它的影响是在以为中心，为半径的一个球面上，因此解（3.31）称为球面波。从（3.31）我们也可以得到二维波动方程初值问题的解。事实上，如果与无关，这，这时三维波动方程的初值问题就变成二维波动方程的初值问题：（3.32）要想从泊松公式（3.31）得到问题（

15、3.32）解的表达式，就应将（3.31）中两个沿球面的积分转化成沿圆域：内的积分，下面以为例说明这个转化方法。先将这个积分拆成两部分： （3.33）其中，分别表示球面上半球面与下半球面。由于被积函数不依赖于变量，所以（3.33）右端两个积分是相等的，即把右端的积分化成二重积分可得同理有将这两个等式代入（3.31），即得问题（3.32）的解为 （3.34）从（3.34）可以看出，要计算这个解在处的值，只要以为中心、以为半径作圆域，然后将初始扰动代入（3.34）进行积分。为清楚起见，设初始扰动仍限于区域，任取一点，它与的最小距离为，最大距离为，当时，；当时，；当时，由于圆域包含了区域，所以仍不为零

16、，这种现象称为有后效，即在二维情形，局部范围内的初始扰动，具有长期得连续的后效特性，扰动有清晰的“前锋”，而无“阵尾”，这一点与球面波不同。平面上以点为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行于轴的圆柱面，所以在过点平行于轴的无限长直线上的初始扰动，在时间后的影响是在以该直线为轴，为半径的圆柱面内，因此解（3.34）称为柱面波。§3.3 积分变换法举例我们知道，Fourier变换Laplace变换可以用来解常微分方程。通过积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的目的。基于这一事实，我们自然会想到积分变换法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程

17、两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量，通过一次变换就能得到象函数的常微分方程。下面通过立体来说明用积分变换法解定解问题的一般步骤。例1 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为的热源，杆的初始温度为，试求时杆上温度的分布规律。解 这个问题可归结为求解下列定解问题其中。由于方程（3.35）是非齐次的，且求解的区域又是无界的，因此用分离变量法来解将导致比较复杂的运算。现在我们用Fourier变换来解。用记号，分别表示函数，关于变量的Fourier变换，即对方程（3.35）的两端取关于的F

18、ourier变换，根据Fourier变换的微分性质，得到 （3.37）这是一个含参量的常微分方程。为了导出方程（3.37）的定解条件，对条件（3.36）式的两端也取Fourier变换，并且以表示的Fourier变换，得 （3.38）方程（3.37）是一阶线性常微分方程，它满足边界条件（3.38）的解为 （3.39）为了求出原定解问题（3.35），（3.36）的解，还需要对取Fourier逆变换。由Fourier变换表可查得再根据Fourier变换的卷积性质得 （3.40）这样就得到原定解问题的解。通过这个例子可以看出，用积分变换法解定解问题的过程大体为：一、根据自变量的变化范围以及定解条件的具

19、体情况，选取适当的积分变换。然后对方程的两端取变换，把一个含有两个自变量的偏微分方程化为含一个产量的常微分方程。二、对定解条件取相应的变换，导出新方程的定解条件。三、解所得的常微分方程，求得原定解问题解的变换式（即象函数）。四、对所得的变换式取逆变换，得到原定解问题的。当然，在用Fourier变换（或Laplace变换）解定解问题时，是假定所求的解及定解条件中的已知函数都是能够取Fourier（或Laplace）变换的，即假定它们的Fourier（或Laplace）变换都存在。一个未知函数当未求出以前是很难判断它是否存在Fourier（或Laplace）变换的，所以，在未作综合工作之前，用积分

20、变换法所求的解都只是形式解。例2 一条半无限长的杆，端点温度变化情况为已知，杆的初始温度为，求杆上温度的分布规律。解 这个问题可归结为求解下列定解问题：这个问题显然不能用Fourier变换来解了，因为的变化范围都是。下面我们用Laplace变换来解。从的变化范围来看，对与都能取Laplace变换，但由于方程（3.41）中包含有，而在处未给出的值，故不能对取Laplace变换。而对来说，由于方程（3.41）中只出现关于的一阶偏导数，只要我们知道当时的值就够了，这个值已由（3.42）给出，故我们采用关于的Laplace变换。用，分别表示函数，关于的Laplace变换，即首先，对方程（3.41）的两

21、端取Laplace变换，并利用条件（3.42）则得新方程 （3.44）再利用条件（3.43）取同样变换，得 （3.45）方程（3.44）是关于得线性二阶常系数的常微分方程，它的通解为 （3.46）由于当时，应该有界，所以也应该有界，故，再有条件（3.45）得，从而得为了求得原定解问题的解，需要对求Laplace逆变换，由Laplace变换表查得再根据Laplace变换的微分性质得最后由Laplace变换的卷积性质得 （3.47）通过上面两个例子我们对用积分变换法解定解问题的步骤已有所了解，掌握这些步骤并不困难，对初学者来说，使用这个方法的主要困难在于：（1）如何选取恰当的积分变换。对这个问题应从两方面来考虑，首先要注意自变量的变化范围，Fourier变换要求作变换的自变量在内变化，Laplace变换要求作变换的自变量在内变化。其次要注意定解条件的形式，根据Laplace变换的微分性质可以看出，要对某变量取Laplace变换，必须在定解条件中给出该自变量等于零时的函数值及有关导数值。（2）定解条件中哪些需要取变换，那些不需要取变换。这个问题很容易解决，凡是对方程取变换时没有用到的条件都要对它取变换，使它转化为新方程的定解条件。（3）如何顺利地求出逆变换。解决这个问题主要依靠积分变换表，以及运用积分变换的有关性质，有时还要用到计算反演积分的留数定理。注 从例1中解的表达式（3.4