电动力学 郭硕鸿第三

1、第二章 静 电 场静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场一主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。知 识 体 系：引入电势：1.静电场的微分方程： 边值

2、关系： 静电场的能量： 微分方程2.静电边值问题的构成：边界条件(由唯一性定理给出)边值关系 3静电边值问题的基本解法：（1）镜像法（2）分离变量法条件：电势满足拉普拉斯方程：（3）电多极矩(4) 格林函数法二内容提要：1静电场的电势及其微分方程：（1）电势和电势梯度因为静电场为无旋场,即，所以可以引入标量函数，引入后 电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义选空间有限两点 参考点：（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点 （2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。电荷分布在有限区域时的几种情况的电势（1） 真空中点电荷 无限大均匀线性介质中点电荷

3、 ： （2） 电荷组 ： （3） 连续分布电荷：无穷远处为参考点 （2）电势满足的微分方程和边值关系泊松方程： 其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。对的区域：电势满足拉普拉斯方程：边值关系A.两介质界面上边值关系 （S为分界面）（ 由12） B.导体与介质界面上的边值关系C.导体与导体界面上的边值关系其中是导体的电导率（3）静电场的能量用电势表示： 注意：不是静电场的能量密度; 是自由电荷密度,而则是空间所有电荷的电势 只适用于静电场。2唯一性定理：A均匀单一介质当区域V内自由电荷分布已知，满足，若V边界上已知，或V边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。B. 均匀单一介质中有导

4、体当区域V内有导体存在，给定导体之外的电荷分布，当或已知，每个导体电势或带电量，则内电场唯一确定。微分方程静电边值问题的构成：边值关系边界条件 3静电边值问题的基本解法：（1）镜像法： 理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。1 镜像法概念、条件l 镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。l 条件：所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）或是简单的连续分布。导体边界面形状规则，具有一定对称性。给定边界条件。l 要求：做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不能变）。泊松

5、方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。坐标系根据边界形状来选择。（2）分离变量法：l 条件：电势满足拉普拉斯方程：A.空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。B.在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知，则区域V中电势可表示为两部分的和 不满足，但表面上的电荷产生的电势使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：边值关系还要用而不能用。l 拉普拉斯方程的通解：轴对称通解： 为勒让德函数， 球

6、对称通解：若与均无关，即具有球对称性，则通解为：l 解题步骤1 选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限2 分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3 根据具体条件确定常数（1） 外边界条件： 电荷分布有限 导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定（接地 ）电荷分布无限，一般在均匀场中， （直角坐标或柱坐标）（2） 内部边值关系：介质分界面上 表面无自由电荷4 电多极矩讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远,即 lr电（1）电势的多极展开：（2）小区域电荷体系在外电场中的相互作用能其中是点电荷在外电场中的相互作用能是电偶极子在外电场中的相互作用能是电四极子