第七章 微分方程

1、第七章微分方程教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4 会用降阶法解下列微分方程：，和5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点

2、：1、 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、 可降阶的高阶微分方程，和3、 二阶常系数齐次线性微分方程；4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究.因此如何寻找出所需要的函数关系,在实践中具有重要意义.在许多问题

3、中,往往不能直接找出所需要的函数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究,找出未知函数来,这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x).根据导数的几何意义,可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程). (1) 此外,未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=1时,y=2,简记为y|x=1=2. (2)把(1)式两端积分,得(称为微分方程的通解),即y=x2+C, (3) 其中C是任意常数

4、.把条件“x=1时,y=2”代入(3)式,得 2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式,得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解):y=x2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;当制动时列车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米.根据题意,反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式. (4)此外,未知函数s=s(t)还应满足下列条件:t=0时,s=0,.简记为s|t=0=0,s¢|t=0=20. (5)把(4)式两端积

5、分一次,得; (6)再积分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2, (7)这里C1,C2都是任意常数.把条件v|t=0=20代入(6)得 20=C1;把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2.把C1,C2的值代入(6)及(7)式得v=-0.4t+20, (8)s=-0.2t2+20t. (9)在(8)式中令v=0,得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s).再把t=50代入(9),得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,s¢¢=-0.4,并且s|t=0=0,s¢|t=

6、0=20.把等式s¢¢=-0.4两端积分一次,得s¢=-0.4t+C1,即v=-0.4t+C1(C1是任意常数),再积分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2 (C1,C2都C1是任意常数).由v|t=0=20得20=C1,于是v=-0.4t+20;由s|t=0=0得0=C2,于是s=-0.2t2+20t.令v=0,得t=50(s).于是列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).几个概念:微分方程:表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫微分方程.常微分方程:未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分

7、方程.偏微分方程:未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 ,y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,y(n) +1=0,一般n阶微分方程:F(x,y,y¢,×××,y(n) )=0.y(n)=f(x,y,y¢,×××,y(n-1) ) .微分方程的

8、解:满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解.确切地说,设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数,如果在区间I上,Fx,j(x),j¢(x),×××,j(n) (x)=0,那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y¢,×××,y(n) )=0在区间I上的解.通解:如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.初始条件:用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.如x=x0 时,y=y0 ,y¢= y¢

9、;0 .一般写成,.特解:确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y¢=f(x,y)满足初始条件的解的问题,记为.积分曲线:微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线.例3 验证:函数x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程的解.解求所给函数的导数:,.将及x的表达式代入所给方程,得-k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)º0.这表明函数x=C1coskt+C2sinkt满足方程,因此所给函数是所给方程的解.

10、例4 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k¹0)是微分方程的通解,求满足初始条件x| t=0 =A,x¢| t=0 =0的特解.解由条件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt,得C1=A.再由条件x¢| t=0 =0,及x¢(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt,得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中,得x=Acos kt. §12. 2 可分离变量的微分方程观察与分析: 1.求微分方程y¢=2x的通解.为此把方程两边积分,得y=x2+C.一般地,方程y&

11、#162;=f(x)的通解为(此处积分后不再加任意常数). 2.求微分方程y¢=2xy2的通解.因为y是未知的,所以积分无法进行,方程两边直接积分不能求出通解.为求通解可将方程变为,两边积分,得,或,可以验证函数是原方程的通解.一般地,如果一阶微分方程y¢=j(x, y)能写成 g(y)dy=f(x)dx形式,则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)=F(x)+C,由方程G(y)=F(x)+C所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程:一阶微分方程有时也写成如下对称形式:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在这种方程中,变量x与y是对称的.若把x看作自

12、变量、y看作未知函数,则当Q(x,y)¹0时,有.若把y看作自变量、x看作未知函数,则当P(x,y)¹0时,有.可分离变量的微分方程:如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy=f(x)dx (或写成y¢=j(x)y(y)的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程.讨论:下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y¢=2xy,是.Þy-1dy=2xdx.(2)3x2+5x-y¢=0,是.Þdy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy

13、=0,不是.(4)y¢=1+x+y2+xy2,是.Þy¢=(1+x)(1+y2).(5)y¢=10x+y,是.Þ10-ydy=10xdx.(6).不是.可分离变量的微分方程的解法:第一步分离变量,将方程写成g(y)dy=f(x)dx的形式;第二步两端积分:,设积分后得G(y)=F(x)+C;第三步求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C ,y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解,其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解.例1 求微分方程的通解.解此方程为可分离变量方程,分离变量后得,两边积

14、分得,即 ln|y|=x2+C1,从而.因为仍是任意常数,把它记作C,便得所给方程的通解.解此方程为可分离变量方程,分离变量后得,两边积分得,即 ln|y|=x2+lnC,从而.例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量为M0,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律.解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数.由于铀的衰变速度与其含量成正比,故得微分方程,其中l(l>0)是常数,l前的曲面号表示当t增加时M单调减少.即.由题意,初始条件为M|t=0=M0.将方程分离变量得.两边积分,得,即 lnM=-lt+lnC,也即M=Ce-lt.由初始条件,得M0

15、=Ce0=C,所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=M0e-lt.例3 设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.解设降落伞下落速度为v(t).降落伞所受外力为F=mg-kv( k为比例系数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v(t)应满足的方程为,初始条件为v|t=0=0.方程分离变量,得,两边积分,得,即(),将初始条件v|t=0=0代入通解得,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为.例4 求微分方程的通解.解方程可化为,分离变量得,两边积分得,即.于是原方程的通解为.例4 有高为1m的半球形容器,水从它的底部小

16、孔流出,小孔横截面面积为1cm2.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律.解由水力学知道,水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算:,其中0. 62为流量系数,S为孔口横截面面积,g为重力加速度.现在孔口横截面面积S=1cm2,故,或.另一方面,设在微小时间间隔t,t+dt内,水面高度由h降至h+dh(dh<0),则又可得到dV=-pr2dh,其中r是时刻t的水面半径,右端置负号是由于dh<0而dV>0的缘故.又因,所以dV=-p(200h-h2)dh.通过比较得到,这就是未知函数h=h(t)应满足的微分方程.此外,开始时容器内的水是满的,所

17、以未知函数h=h(t)还应满足下列初始条件:h|t=0=100.将方程分离变量后得.两端积分,得,即,其中C是任意常数.由初始条件得,.因此.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系. §12. 3 齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程中的函数f(x, y)可写成的函数,即,则称这方程为齐次方程.下列方程哪些是齐次方程？(1)是齐次方程. (2)不是齐次方程. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齐次方程. (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齐次方程. (5)是齐次方程.齐次方程的解法:在齐次方程中,令,即y=ux,有,分离变量,得.

18、两端积分,得.求出积分后,再用代替u,便得所给齐次方程的通解.例1 解方程.解原方程可写成,因此原方程是齐次方程.令,则 y=ux,于是原方程变为,即.分离变量,得.两边积分,得u-ln|u|+C=ln|x|,或写成ln|xu|=u+C.以代上式中的u,便得所给方程的通解.例2 有旋转曲面形状的凹镜,假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行.求这旋转曲面的方程.解设此凹镜是由xOy面上曲线L:y=y(x)(y>0)绕x轴旋转而成,光源在原点.在L上任取一点M(x, y),作L的切线交x轴于A.点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线.由光学及几何原理可以证明O

19、A=OM,因为,而.于是得微分方程,整理得.这是齐次方程.问题归结为解齐次方程.令,即x=yv,得,即,分离变量,得,两边积分,得, , ,以yv=x代入上式,得.这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线,它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为.这就是所求的旋转曲面方程.例3 设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子从点A游向点O,设鸭子的游速为b(b>a),且鸭子游动方向始终朝着点O.求鸭子游过的迹线的方程.例3 设一条河的两岸为平行直线,水流速度为a,有一鸭子从岸边点A游向正对岸点O,设鸭子的游速为b(b>a),且鸭子游动方向始终朝着点O,已知OA=h

20、,求鸭子游过的迹线的方程.解取O为坐标原点,河岸朝顺水方向为x轴,y轴指向对岸.设在时刻t鸭子位于点P(x, y),则鸭子运动速度,故有.另一方面,.因此,即.问题归结为解齐次方程.令,即x=yu,得,分离变量,得,两边积分,得,将代入上式并整理,得.以x|y=h=0代入上式,得,故鸭子游过的轨迹方程为, 0£y£h.将代入后的整理过程:.§12.4 线性微分方程一、线性方程线性方程:方程叫做一阶线性微分方程.如果Q(x)º0 ,则方程称为齐次线性方程,否则方程称为非齐次线性方程.方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.下列方程各是什么类型方程？ (

21、1)Þ是齐次线性方程. (2) 3x2+5x-5y¢=0Þy¢=3x2+5x,是非齐次线性方程. (3) y¢+y cos x=e-sin x,是非齐次线性方程. (4),不是线性方程. (5)Þ或,不是线性方程.齐次线性方程的解法:齐次线性方程是变量可分离方程.分离变量后得,两边积分,得,或,这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）.例1 求方程的通解.解这是齐次线性方程,分离变量得,两边积分得 ln|y|=ln|x-2|+lnC,方程的通解为y=C(x-2).非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数

22、u(x),把设想成非齐次线性方程的通解.代入非齐次线性方程求得,化简得,于是非齐次线性方程的通解为,或.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2 求方程的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程的通解.分离变量得,两边积分得 ln y=2ln (x+1)+ln C,齐次线性方程的通解为y=C(x+1)2.用常数变易法.把C换成u,即令y=u×(x+1)2,代入所给非齐次线性方程,得,两边积分,得.再把上式代入y=u(x+1)2中,即得所求方程的通解为.解:这里,.因为,所以通解为.例3 有一个电路如图所示,其中电源电动势为E=E

23、msinwt(Em、w都是常数),电阻R和电感L都是常量.求电流i(t).解由电学知道,当电流变化时,L上有感应电动势.由回路电压定律得出,即.把E=Emsinwt代入上式,得.初始条件为i|t=0=0.方程为非齐次线性方程,其中,.由通解公式,得.其中C为任意常数.将初始条件i|t=0=0代入通解,得,因此,所求函数i(t)为.二、伯努利方程伯努利方程:方程(n¹0, 1)叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程？ (1),是伯努利方程. (2),Þ,是伯努利方程. (3),Þ,是伯努利方程. (4),是线性方程,不是伯努利方程.伯努利方程的解法:以yn除方程的两

24、边,得令z=y1-n,得线性方程.例4 求方程的通解.解以y2除方程的两端,得,即,令z=y-1,则上述方程成为.这是一个线性方程,它的通解为.以y-1代z,得所求方程的通解为.经过变量代换,某些方程可以化为变量可分离的方程,或化为已知其求解方法的方程.例5 解方程.解若把所给方程变形为,即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解.但这里用变量代换来解所给方程.令x+y=u,则原方程化为,即.分离变量,得,两端积分得u-ln|u+1|=x-ln|C|.以u=x+y代入上式,得y-ln|x+y+1|=-ln|C|,或x=Cey-y-1.§12. 5 全微分方程全微分方程:一个一

25、阶微分方程写成 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 形式后,如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x, y)的全微分:du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy,那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程.这里,而方程可写为du(x, y)=0.全微分方程的判定:若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数,且,则方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程,全微分方程的通解:若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程,且du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy则u(x, y)=C,

26、即.是方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的通解例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2 )dy=0.解这里,所以这是全微分方程.取(x0, y0)=(0, 0),有.于是,方程的通解为.积分因子:若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0不是全微分方程,但存在一函数m=m(x, y)(m(x, y)¹0),使方程m(x, y)P(x, y)dx+m(x, y)Q(x, y)dy=0是全微分方程,则函数m(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的积分因子.例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx-xdy

27、=0; (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0.解 (1)方程ydx-xdy=0不是全微分方程.因为,所以是方程ydx-xdy=0的积分因子,于是是全微分方程,所给方程的通解为. (2)方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0不是全微分方程.将方程的各项重新合并,得 (ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0,再把它改写成,这时容易看出为积分因子,乘以该积分因子后,方程就变为,积分得通解,即.我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y¢+P(x)y=Q(x).可以验证是一阶线性方程y¢+P(x)y=Q(x)的一个积分因子.在一阶线性方程的两边乘以得,即,

28、亦即.两边积分,便得通解,或.例3用积分因子求的通解.解方程的积分因子为.方程两边乘以得,即,于是.因此原方程的通解为.§12. 6 可降阶的高阶微分方程一、y(n)=f (x)型的微分方程解法:积分n次,×××.例1 求微分方程y¢¢¢=e2x-cos x的通解.解对所给方程接连积分三次,得,这就是所给方程的通解.或,这就是所给方程的通解.例2 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动.设力F仅是时间t的函数:F=F(t).在开始时刻t=0时F(0)=F0,随着时间t的增大,此力F均匀地减小,直到t=T时,F(T)=0

29、.如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律.解设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为.由题设,力F(t)随t增大而均匀地减小,且t=0时,F(0)=F0,所以F(t)=F0-kt;又当t=T时,F(T)=0,从而.于是质点运动的微分方程又写为,其初始条件为,.把微分方程两边积分,得.再积分一次,得.由初始条件x|t=0=0,得C1=C2=0.于是所求质点的运动规律为, 0£t£T.解设x=x(t)表示在时刻t时质点的位置,根据牛顿第二定律,质点运动的微分方程为mx¢¢=F(t).由题设,F(t)是线

30、性函数,且过点(0,F0)和(T, 0),故,即.于是质点运动的微分方程又写为.其初始条件为x|t=0=0,x¢|t=0=0.把微分方程两边积分,得,再积分一次,得,由初始条件x|t=0=0,x¢|t=0=0,得C1=C2=0.于是所求质点的运动规律为, 0£t£T.二、y¢¢=f(x,y¢)型的微分方程 解法: 设y¢=p则方程化为p¢=f(x,p).设p¢=f(x,p)的通解为p=j(x,C1),则.原方程的通解为.例3 求微分方程 (1+x2)y¢¢=2xy¢

31、满足初始条件 y|x=0=1,y¢|x=0=3的特解.解所给方程是y¢¢=f(x,y¢)型的.设y¢=p,代入方程并分离变量后,有.两边积分,得 ln|p|=ln(1+x2)+C,即p=y¢=C1(1+x2) (C1=±eC).由条件y¢|x=0=3,得C1=3,所以y¢=3(1+x2).两边再积分,得y=x3+3x+C2.又由条件y|x=0=1, 得C2=1,于是所求的特解为 y=x3+3x+1.例4 设有一均匀、柔软的绳索,两端固定,绳索仅受重力的作用而下垂.试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、y

32、¢¢=f(y,y¢)型的微分方程解法:设y¢=p,有.原方程化为.设方程的通解为y¢=p=j(y,C1),则原方程的通解为.例5 求微分yy¢¢-y¢2=0的通解.解设y¢=p,则,代入方程,得.在y¹0、p¹0时,约去p并分离变量,得.两边积分得 ln|p|=ln|y|+lnc,即p=Cy或y¢=Cy(C=±c).再分离变量并两边积分,便得原方程的通解为 ln|y|=Cx+lnc1,或y=C1eCx(C1=±c1).例5 求微分yy¢¢

33、;-y¢2=0的通解.解设y¢=p,则原方程化为,当y¹0、p¹0时,有,于是,即y¢-C1y=0,从而原方程的通解为.例6 一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由静止开始落向地面.求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）.§12. 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧,上端固定,下端挂一个质量为m的物体.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原点.给物体一个初始速度v0¹0后,物体在平衡位置附近作上下振动.在振动过程中,物体的位置x是t的函数:x=x(t).设弹簧的弹性系数为c,则恢复

34、力f=-cx.又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比,比例系数为m,则,由牛顿第二定律得.移项,并记,则上式化为,这就是在有阻尼的情况下,物体自由振动的微分方程.如果振动物体还受到铅直扰力F=Hsin pt的作用,则有,其中.这就是强迫振动的微分方程.例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间t的函数:E=Emsinwt,这里Em及w也是常数.设电路中的电流为i(t),电容器极板上的电量为q(t),两极板间的电压为uc,自感电动势为EL.由电学知道,根据回路电压定律,得,即,或写成,其中,.这就是串联电路的振荡方程.如果电容

35、器经充电后撤去外电源(E=0),则上述成为.二阶线性微分方程:二阶线性微分方程的一般形式为 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x),若方程右端f(x)º0时,方程称为齐次的,否则称为非齐次的.二、线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0,即.定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0.的两个解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数.齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理

36、.证明 C1y1+C2y2¢=C1y1¢+C2y2¢, C1y1+C2y2¢¢=C1y1¢¢+C2y2¢¢.因为y1与y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0,所以有y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0,从而 C1y1+C2y2¢¢+P(x) C1y1+C2y2¢+Q(x) C1y1+C2y2=C1y1¢¢+P(

37、x)y1¢+Q(x)y1+C2y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0+0=0.这就证明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解函数的线性相关与线性无关:设y1(x),y2(x),×××,yn(x)为定义在区间I上的n个函数.如果存在n个不全为零的常数k1,k2,×××,kn,使得当xÎI时有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+×××+knyn(x)º0成立,那么称这n

38、个函数在区间I上线性相关;否则称为线性无关.判别两个函数线性相关性的方法:对于两个函数,它们线性相关与否,只要看它们的比是否为常数,如果比为常数,那么它们就线性相关,否则就线性无关.例如, 1, cos2x, sin2x在整个数轴上是线性相关的.函数1,x,x2在任何区间(a, b)内是线性无关的.定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0 的两个线性无关的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解.例3 验证y1=cos x与y2=sin x是方程y¢¢+y=0的

39、线性无关解,并写出其通解.解因为y1¢¢+y1=-cos x+cos x=0,y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x与y2=sin x都是方程的解.因为对于任意两个常数k1、k2,要使k1cos x+k2sin xº0,只有k1=k2=0,所以cos x与sin x在(-¥, +¥)内是线性无关的.因此y1=cos x与y2=sin x是方程y¢¢+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1cos x+C2sin x.例4 验证y1=x与y2=ex是方程(x-1)y¢&

40、#162;-xy¢+y=0的线性无关解,并写出其通解.解因为 (x-1)y1¢¢-xy1¢+y1=0-x+x=0, (x-1)y2¢¢-xy2¢+y2=(x-1)ex-xex+ex=0,所以y1=x与y2=ex都是方程的解,因为比值ex/x不恒为常数,所以y1=x与y2=ex在(-¥, +¥)内是线性无关的.因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的线性无关解.方程的通解为y=C1x+C2ex.推论如果y1(x),y2(x),××&#

41、215;,yn(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+×××+an-1(x)y¢+ an(x)y=0 的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+×××+ Cnyn(x),其中C1,C2,×××,Cn为任意常数.二阶非齐次线性方程解的结构:我们把方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程.定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y

42、¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解.证明提示: Y(x)+y*(x)¢¢+P(x) Y(x)+y*(x)¢+Q(x) Y(x)+y*(x)=Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y + y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y*=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y¢¢+y=0的通解,y*=x2-2是y

43、2;¢+y=x2 的一个特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)几个函数之和,如y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)与y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方

44、程的特解.证明提示: y1+y2*¢¢+P(x) y1*+y2*¢+Q(x) y1*+y2*= y1*¢¢+P(x) y1*¢+Q(x) y1*+ y2*¢¢+P(x) y2*¢+Q(x) y2*=f1(x)+f2(x).§12. 9 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:方程y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程,其中p、q均为常数.如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.

45、我们看看,能否适当选取r,使y=erx满足二阶常系数齐次线性微分方程,为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得 (r2+pr+q)erx=0.由此可见,只要r满足代数方程r2+pr+q=0,函数y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式求出.特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数、是方程的两个线性无关的解.这是因为,函数、是方程的解,又不是常数.因此方程的通解为. (2)特征方程有两个相

46、等的实根r1=r2时,函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.这是因为,是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常数.因此方程的通解为. (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时,函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.函数y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解,而由欧拉公式,得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2

47、=2eaxcosbx, y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.因此方程的通解为y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).求二阶常系数齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步骤为:第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2.第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r

48、2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而y=(4+C2x)e-x.将上式对x求导,得y¢=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y¢|x=0=-2代入上式,得C2=

49、2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根,因此所求通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n阶常系数齐次线性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +×××+pn-1y¢+pny=0,称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2 ,×××,pn-1,pn都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方

50、程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多项式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +×××+pn-1D+pn,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +×××+pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y,Dy=y¢, D2y=y¢¢, D3y=y¢¢¢,×××,Dny=y(n).分析:令y=erx,则L(D)y=L(D)erx

51、=(rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r是多项式L(r)的根,则y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程:L(r)=rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn=0称为微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根与通解中项的对应:单实根r对应于一项:Cerx;一对单复根r1,2=a±ib对应于两项:eax(C1cosbx+C2sinbx); k重实根r对应于k项:erx(C1+C2x+××

52、;×+Ckxk-1);一对k重复根r1,2=a±ib对应于2k项:eax(C1+C2x+×××+Ckxk-1)cosbx+( D1+D2x+×××+Dkxk-1)sinbx.例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解.解这里的特征方程为r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.因此所给微分方程的通解为y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).例5 求方程y(4)+b4y=

53、0的通解,其中b>0.解这里的特征方程为r4+b 4=0.它的根为,.因此所给微分方程的通解为.§12. 10 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程:方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x).当f(x)为两种特殊形式时,方程的特解的求法:一、f(x)=Pm(x)elx型当f(x)=Pm(x)elx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此

54、,设特解形式为y*=Q(x)elx,将其代入方程,得等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,则l2+pl+q¹0.要使上式成立,Q(x)应设为m次多项式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p&#

55、185;0,要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+1 次多项式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0, 2l+p=0,要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+

56、q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)应设为m+2次多项式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,×××,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.综上所述,我们有如下结论:如果f(x)=Pm(x)elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y¢¢+py¢+qy=f(x)有形如 y*=xkQm(x)elx的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程

57、的的重根依次取为0、1或2.例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解.解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).与所给方程对应的齐次方程为 y¢¢-2y¢-3y=0,它的特征方程为 r2-2r-3=0.由于这里l=0不是特征方程的根,所以应设特解为 y*=b0x+b1.把它代入所给方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比较两端x同次幂的系数,得,-3b0=3,-2b0-3b1=1.由此求得b0=-1,.于是求得所给方程的一个特解为.例2 求微分方

58、程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解.解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).与所给方程对应的齐次方程为 y¢¢-5y¢+6y=0,它的特征方程为 r2-5r+6=0.特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2e3x.由于l=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为 y*=x(b0x+b1)e2x.把它代入所给方程,得-2b0x+2b0-b1=x.比较两端x同次幂的系数,得,-2b0=1, 2b0-b1=0.由此求得,

59、b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为.从而所给方程的通解为.提示:y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,(b0x2+b1x)e2x¢=(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x,(b0x2+b1x)e2x¢¢=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x.y*¢¢-5y*¢+6y*=(b0x2+b1x)e2x¢¢-5(b0x2+b1x)e2x¢+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x-5(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)