第06讲__对称变换(含解答)

1、九年级数学竞赛专题第六讲 对称变换1如图，ABC中，AE平分BAC的外角，D为AE上一点，若AB=c，AC=b，DB=m，DC=n，则m+n与b+c的大小关系是（ ）Am + n > b + c ; Bm + n = b + c Cm + n < b + c ; Dm + n > b + c 或m + n < b + c 2如图，ABC中，A=2B，C72°，C砰分ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（ ）AAD=BC-CD; BAD=BC-AC; CAD=BC-AP; DAD=BC-BD二、解答题1在定直线XY异侧有两点A、B，在直线XY上求作一点P，

2、使PA与PB之差最大。2如图，已知线段AB的同侧有两点C、D满足ACB=ADB=60°，ABD=90°-DBC。求证：AC=AD.3如图，已知ABC中，AB=AC，A=100°，BD平分ABC,求证：BC=BD+AD.4如图，已知P是ABC边BC上一点，且PC=2PB，若ABC=45°，APC=60°，求证：ACB的大小。5如图，已知ABC中，AB=AC，D是ABC外一点且ABD=60°，ADB=90°-BDC。求证：AC=BD+CD.6ABC中，已知BAC=15°，AD平分BAC，过A作DA的垂线交直线BC于M，

3、若BM=AC+BA。求证：ABC、ACB的度数。7已知：等边凸六边形ABCDEF中，顶角A、C、E与B、D、F的和相等，即A+C+E=B+D+F。求证：A=D，B=E，C=F。8已知，如图，设MON=20°，A为OM上一点，OA=4，D为ON上一点，OD=8，C为A由任一点，B是OD上任意一点。求：折线ABCD的长度的最小值。答案一、1A2B略解：1在AM上截取AC=AC，连结DC，如图，易证ADCAD C所以DC=D C因为BA+A C< BD+D C所以AB+AC < BD + DC即m + n > b + c，故选A.2因为A=2B所以A >B所以BC

4、> AC在BC上截取CA=CA，连结D A（如图），易证ACDACD所以AD= AD，且1=A=2B又1=B+2所以B=2所以AB= AD=AD所以BC= AC+ AB = AC + AD所以AD = BC AC符合（B）注意到：若AD=BC-CD，则CD=BC-AD= AC=AC此时CD A=CDA=A=2B所以AD A=4B又AD A+2=4B + B = 180°所以B = 36°所以C = 72°与已知矛盾，故A排除，易证BD > B A= AD，所以PB < BD，PA > AD所以AD < BC AP，排除C，AD >

5、; BC BD，排除D二、1作法：作点B关于直线XY的对称点B，作直线A B交XY于P点，则点P为所求点（如图）若BAXY（即B、A到直线XY的距离相等），则点P不存在。证明：连结BP，在XY上任意取点P，连结PA、PB，则PB=PB，PB= PB因为| PB - PA | = | PB-PA| < AB= | PB - PA| = |PB - PA|，所以，此时点P使 |PA - PB|最大2略证：以AB为轴作ABC的对称ABC，则AC=A C，C=C=60°，ABC=ABC如图因为ABD=90°-DBC所以2ABD+DBC=180°所以ABD+DBC+A

6、BD=180°即ABC+ABD=180°所以ABC+ABD=180°所以D、B、C共线又因为D=60°所以DAC=180°-C-D=60°=D=C所以AD C是等边三角形，所以AD=A C=AC3法1：在BC上截取BE=BA，BF=BD，连结DE、DF（如图）易证ABDEBD所以DE=DA，且DEB=A=100°所以1=80°因为AB=AC，A=100°所以ABC=C=40°又BD平分ABC，所以4=3=20°由BD=BF得：2=BDF=80°所以1=2，所以DE=DF，又因

7、为BDC=A+4=120°所以5=40°=C，所以CF=DF，所以CF=DE=DA所以BC=BF+FC=DB+AD法2：在BC上截取BE=BA，延长BD到F使BF=BC，连结DE、CF（如图）易证ABDEBD所以DEB=A=100°，所以DEC=80°易求1=2=20°，3=40°因为BC=BF，2=20°，所以F=FCB=80°=DEC所以4=80°-3= 40°=3又DC=DC，所以DCEDCF（AAS）所以DF=DE=AD所以BC=BF=BD+DF=BD+AD法3：在BD上截取BE=BA，

8、在BC上截取BF=BD，连结EF、DF（如图，相当于将ABD绕B点旋转20°）易证ABDEBF（SAS）所以AD=EF，BEF=A=100°所以DEF=80°，易求2=20°，C=40°，BDC=120°因为BD=BF，所以BDF=80°=DEF，所以DF=EF且3=40°=C所以DF=FC所以BC=BF+FC=BD+DF=BD+EF=BD+AD4作C关于AP的对称点C，连结A C、B C、P C， 则有P C=PC=2PB，APC=APC=60°可证BCP为直角三角形（延长PB到D，使BD=BP，则PD

9、=PC，又CPB=60°，则CPD是等边三角形，由三线合一性质有CBBP）CBP=90°因为ABC=45°，所以CBA=45°=ABC所以BA平分CBC所以A到BC的距离=A到BC的距离又因为APC=APC，所以PA平分CPC所以A到P C距离=A到PC（即BC）的距离所以A到B C的距离=A到P C的距离所以A是角平分线上的点，即CA平分M CP所以A CP=M CP=75°=ACP5略证：以AD为轴作ABD的对称ABD（如图），则有BD=BD，AB=AB=AC，B=ABD=60°，AD B=ADB=90°-BDC，所以A

10、DB+ADB+BDC=180°-BDC+BDC=180°所以C、D、B在一条直线上所以ACB是等边三角形所以CA=C B=CD+D B=CD+BD6分两种情况讨论计算（1）当过A作AD的垂线交BC延长于点M时，延长BA到C到C，使A C=AC，连结CM（如图），则BM=AB+AC=AB+A C=B C所以C=CMB由AD平分BAC，AMAD，易证AM平分CA C所以ACMA CM所以A CM=ACM=CMB在BCM中，B+C+CMB=180°所以B+ACM+ACM=180°所以B+2（BAC+B）=180°，解得B=50°所以ACB=

11、180°-B-BAC=115°（2）当过A作AD的垂线交CB延长线于点M时，延长BA到C，使A C=AC，连结C C，CM（如图）则BM=AB+AC=AB+A C=B C，所以M CA=MBA因为MAD=90°，所以MAC=90°+又CAC=180°-BAC=165°所以CAM=360°-CAC-MAC=97.5°=CAM又AM=AM，所以A CMACM（SAS）所以A CM=ACB在M CC中，CMB+MCC+MCC=180°所以MCA+MCA+AC C+M CA+ACC=180°所以3ACM

12、+CAB=180°所以ACB=（180°-15°）=55°所以ABC=180°-ACB-BAC=110°综上，ABC=50°，ACB=115°或ABC=110°，ACB=55°7略证：以BF为轴将ABF翻折，以BD为轴将BCD翻折，以DF为轴将DEF翻折因为A+C+E=ABC+CDE+AFE=360°且AB=BC=CD=DE=EF=FA，所以翻折后A、C、E落于同一个点O所以OB=AB=AF=OF=EF=DE=OD=DE=CB=OB所以四边形ABOF、BCDO、DEFO均为菱形所以OBCD，DEOF所以BOD+ODC=180°，FOD+ODE=180°所以CDE=360°-BOD-FOD=BOF=BAF同理可证，ABC=E，C=AFE8解：作A关于ON的对称点A，连结AB，作D关于OM的对称点D，连结CD，连