控制理论大作业

1、一级倒立摆研究（160232 蒋琴）1.背景介绍倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。在稳定控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。其结构简单，价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，倒立摆的控制方法有很多种，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及神经元网络等多种理论和方法。用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，实际上，用线性化模型进行极

2、点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。2. 倒立摆简介倒立摆可以分为直线倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆等。 2-1直线倒立摆 2-2平面倒立摆 2-3环形倒立摆3. 模型构建3.1倒立摆系统运动示意图3-1 倒立摆系统运动示意图M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）3.2受力分析3-2 倒立摆受力分析图3.3 模型构建1） 理论

3、分析应用 Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 由摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程： （1） 合并得： （2） 摆杆垂直方向： 合并得到力矩平衡方程： （3）当夹角很小时（小于1rad）,可以做如下近似处理：， 用u代替F，可得： （4）设状态空间表达式为：在（4）式中对和进行线性求解，可得： （5）其中：整理后，得到状态空间表达式为：+ （6）其中：2）实际问题实际系统参数如下：M 小车质量 1.096kgm 摆杆质量 0.109kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/s 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m 摆杆惯量 0.0

4、034T 采样时间 0.005s所以，状态空间表达式为： 3.4系统的能观性和能控性能观性矩阵： 能控性矩阵： 所以，系统是能控能观的，本身即为最小系统。3.5 Simulink仿真3-3 Simulink仿真 3-4 小车位移输出图 3-5 摆杆角度输出图4. 倒立摆实验4.1倒立摆硬件系统结构 直线倒立摆本体结构如下图所示，主要部件有：交流伺服电机，同步带，增量式光电编码器，小车，摆杆，滑杆，限位开关等。 4-1 直线倒立摆 4-2 倒立摆控制框图 4.2Matlab 程序%求传递函数 gs(输出为摆杆角度)和 gspo(输出为小车位置) q=(M+m)*(I+m*l2)-(m*l)2;n

5、um=m*l/q 0;den=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q; gs=tf(num,den);numpo=(I+m*l2)/q 0 -m*g*l/q;denpo=1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0; gspo=tf(numpo,denpo);%求状态空间 sys(A,B,C,D) p=I*(M+m)+M*m*l2;A=0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p m2*g*l2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p0;B=0;(I+m*l2)/p;0;m*l

6、/p; C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;sys=ss(A,B,C,D);%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应 t=0:T:5;y1=impulse(gs,t);y2=impulse(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r'); axis(0 2 0 80);legend('Car Position','Pendulum Angle');%将状态空间方程sys转化为传递函数 gs0 gs0=tf(sys);%通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应

7、 t=0:T:5;y=impulse(sys,t);figure(2);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r'); axis(0 2 0 80);legend('Car Position','Pendulum Angle')%通过传递函数求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应 t=0:T:5;y1=impulse(gs,t);y2=impulse(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r'); axis(0 2 0 80);legend('Car Position','Pendulum Angle');%将状态空间方程sys转化为传递函数 gs0 gs0=tf(sys);%通过状态方程求系统(摆杆角度和小车位置)的开环脉冲响应 t=0:T:5;y=impulse(sys,t);figure(2);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r'); axis(0 2 0 80);legend('Car Position','Pendulum An