2022届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题10三角函数的图象与性质含解析

PAGEPAGE1专题10三角函数的图象与性质一．陷阱类型1.三角函数的图像变换2.单调性求法3.与三角函数有关的图像问题4.新定义下的三角函数5.三角函数的对称性6.利用三角函数的性质求值7.已知图像求解析式8.性质的综合应用9.五点作图法10.三角函数中的参数范围及最值问题二．防陷阱举例1.三角函数的图像变换例1若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为A.B.C.D.【答案】B【防陷阱措施】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.练习1已知函数的最小正周期为，且取图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A.B.C.D.【答案】A练习2把函数的图像向右平移个单位就得到了一个奇函数的图像，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则，即，故时，的最小正值为，故选D.2.单调性求法例2.对于函数f(x)＝sin2x－sin2x有以下三种说法：①(－，0)是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心；②函数y＝f(x)的最小正周期是π；③函数y＝f(x)在[，]上单调递减．其中说法正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由题意得,f(x)=sin2x－sin2x=sin2x−(1−cos2x)=sin(2x+)−①其对称中心横坐标满足2x+=kπ(k∈Z)即x=－+,所以对称中心为：(－+,)所以①中，纵坐标不对，①错；②最小正周期T=π，②正确；③当x∈[，]时,2x+∈[,]，为减区间，③正确。故选：C.3.与三角函数有关的图像问题例3.函数的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D【防陷阱措施】已知函数的解析式识别函数的图象时，往往从函数的定义域、单调性、对称性（周期性）、值域或最值、特殊点函数值等方面进行判定，如本题中先通过定义域排除选项A，再通过特殊函数值进行排除.练习1．已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得.由图象得，∴。∴，又，解得。∴。∴。令，解得。当时，。故是函数图象的一个对称中心。选C。点睛：由图象确定函数解析式的方法（1）由图象上的最高（低）点的纵坐标确定。（2）ω由周期T确定，根据图象得到函数的周期T，由求出ω。（3）的求法通常有以下两种：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为；“第二点”(即图象的“峰点”)为；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为；“第四点”(即图象的“谷点”)为；“第五点”为。练习2已知函数的部分图象如图所示，其中，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，，得，则，，又，得，，所以，则，故选A。练习3.函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为A.B.C.D.【答案】D练习4．函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】函数为奇函数，排除C，又且当时，排除A,D；故选B.练习5．函数且的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】D【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.练习6函数在的图象为（）A.B.C.D.【答案】A4.新定义下的三角函数例4．已知函数，，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由行列式的定义可得：，当时，，，即不合题意，据此可排除BC选项；当时，，函数的零点满足：，则：，取可得函数两个连续的零点为：，此时函数在区间内没有零点，排除A选项；本题选择D选项.【防陷阱方法】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．练习1定义运算，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B5.三角函数的对称性例5.．已知函数与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A可得：函数图象关于x=t对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值，∵f（x）=2sin（2x+）的对称轴方程为：2x+=（k∈Z），可得：x=时最小，故答案为:A.练习1．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为()A.ω＝2，φ＝B.ω＝2，φ＝C.ω＝，φ＝D.ω＝，φ＝【答案】A【解析】根据题意，，所以，则，又，则，故选A。练习2．已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】由题意可知的周期，则，的图象关于点对称，则，因为，则，则，由，解得：，，函数的单调递增区间是，,选B.练习3.将函数向左平移个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，由绝对值函数图象的特点知，所得函数的图象与x轴的交点和最值点都是函数对称轴经过的点，所以平移后所得函数图象的对称轴为，当时，函数图象的一条对称轴为。选C。练习4．已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（）A.B.C.D.【答案】A6.利用三角函数的性质求值例6.已知（，，）是定义域为的奇函数，且当时，取得最大值2，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】是奇函数，当时，取最大值则故选【防陷阱措施】由条件利用正弦函数的奇偶性求得，再根据当时，取得最大值，求出，可得的解析式，再根据它的周期性，即可求得所给式子的值。练习1.已知,则（）A.B.C.D.【答案】B有：所以.故选B.练习2.．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为_________．【答案】8练习3.已知，数列满足，则__________．【答案】20097.已知图像求解析式例7.已知函数f

(x)=Asin(ωx+φ)+b(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，则f

(x)的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D本题选择D选项.【防陷阱措施】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.性质的综合应用例8.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的对称轴为（）C.，D.函数在上单调递增【答案】B【解析】A：最小正周期为，，错误；B：正确；所以，此时，不单调，错误。故选B。【防陷阱措施】本题考察三角函数的绝对值函数，难度较大。一般来说，三角函数的绝对值会将周期变为原来的一半，A错误；通过辅助角公式计算，C错误；通过整体思想的分析，得到在时，函数不单调，D错误，故选C，利用排除法分析。练习1已知函数，若互不相等，若则的取值范围是（）A.（1，2018）B.（1，2019）C.（2，2018）D.（2，2019）【答案】D【解析】作函数的图象如图，不妨设a＜b＜c，则结合图象可知，a+b=1，0＜log2018c＜1，故1＜c＜2018，故2＜a+b+c＜2019，故选D．点睛：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用；还有就是函数图象的对称性的应用，处理多个变量的方法；解决二元或三元问题，一是减元的思想，二是变量集中，再者就是转化为线规问题。练习2.已知向量，，记函数.(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；(2)求函数在区间内的单调递减区间.【答案】（1）最大值，且取得最大值时的集合为；（2）和【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值.(Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．试题解析：(2)由题意:，即，．于是，在的单调递减区间是和．9.五点作图法例9.已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω＞0)，经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x①f(x)010－10(1)请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间上的值域；(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f(A＋)＝1，b＋c＝4，a＝，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）.（2）由及（1）可得，由余弦定理可得的方程，结合可解得的值，从而得三角形面积.试题解析：(1)①处应填入.f(x)＝sin2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx＝.因为，所以，所以ω＝即f(x)＝.因为，所以－≤x－≤，所以－1≤sin≤，故f(x)的值域为.(2)f(A＋)＝sin＝1，因为0＜A＜π，所以＜A＋＜，所以A＋＝，所以A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccos＝(b＋c)2－3bc，即()2＝42－3bc，所以bc＝3，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝.10.三角函数中的参数范围及最值问题例10.已知点，是函数（，）图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）（）．（3）．【解析】试题分析：（1）由题意先求，根据确定其值，再求出函数的周期，利用周期公式求出的值，从而可求函数解析式.（2）令，即可解得函数的单调减区间.（3）由题意可得，恒成立，只需求时，的最大值即可.试题解析：（1）角的终边经过点，，∵，∴．由时，的最小值为，得，即，∴，∴．练习1．已知函数（），将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求实数的值；（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据两角和差公式化一得到，再由平移得到，由自变量的范围得到函数值的范围。（2）由第一问的表达式得到，再有余弦定理得到。解析：（1）由题设得，∴，∵当时，，∴由已知得，即时，，∴.（2）由已知，∵在中，，∴，∴，即，又∵，由余弦定理得：当且仅当时等号成立.又∵，∴练习2．已知的面积为，且,．（Ⅰ）若的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为，且，求的面积；（Ⅱ）求的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）解析:（Ⅰ）依题意的周期为2，∴，∴，．又，，．∵，设的三边长分别为，∴，，，从而是直角三角形．由得，从而，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设的外接圆为，则，∴，．∴，故当时，所求最大值为．点睛:本题主要考查余弦函数的图象特征，正弦定理，两个向量的数量积的运算，属于中档题.一般出现关于边的齐次式或者角的齐次式,可以联想正弦定理.和正弦定理相关的还可以想到面积公式.再者就是球有关三角函数的值域时,多数是通过角的化一公式得到.练习3.已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）求使成立的的集合.【答案】(1);(2)的集合是，..【解析】试题分析：试题解析：（1）由，所以的最大值为。令，解得.（2）由，得，所以，所以，所以，所以使成立的的集合是，.练习4.已知向量，，.（1）若，且，求的值；（2）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若函数在上有零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由向量平行得正切值，再利用弦化切得的值；（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求值域试题解析：（1）因为，，所以.练习5.已知两个不共线的向量满足，，.（1）若与垂直，求的值；（2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）已知与垂直，所以以，变形得，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为，，代入上式可得，求得.求向量的模，应先求向量的平方。所以，故.（2）由条件，得，整理，即，解一元二次不等式，又因为，所以.试题解析：解：（1）由条件知，，又与垂直，所以，所以.所以，故.（2）由，得，即，即，，所以.由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，，即，又因为，所以.练习6.己知函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．【答案】【解析】∵∴在上为奇函数，即，且在上为单调递增∵关于的等式对所有都成立∴对所有都成立，即对所有都成立∴对所有都成立，即对所有都成立令，，设当即时，∴（舍）当即时，∴当即时，，即∴∴综上所述，故答案为点睛：对于求值域范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则练习7.函数若对恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】令，则，，令，则，求其最大值可得，所以，故填.三．高考真题演练1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】【考点】三角函数图像变换.【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】试题分析：函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数的对称轴为，即：，取可得y=f(x)的图像关于直线x=对称，选项B正确；故选D.【考点】函数的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式.(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.3.【2017天津，理7】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（A）， （B）， （C）， （D），【答案】【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.4.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为()（A）11

（B）9

（C）7

（D）5【答案】B【解析】考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:=1\*GB3①的单调区间长度是半个周期;=2\*GB3②若的图像关于直线对称,则或.5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点()（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】试题分析：由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．6.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）（A）向左平移个单位

（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位

（D）向右平移个单位【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.7.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知时，取得最小值，进而求出的值，当时，取得最大值．8.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】考点：三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．9.【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为()(A)(B)(C)(D)【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，先利用五点作图法列出关于方程，求出，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求使解题的关键.10.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．11.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为B.，的最小值为C.，的最小值为QUOTED.，的最小值为【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换12.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是（）（A） （B）π （C） （D）2π【答案】B【解析】【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.13.【2015高考安徽，理10】已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.14.【2015湖南理2】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的