现代控制理论5系统综合

1、5.线性定常系统的综合51 反馈系统的基本结构（1）状态反馈系统 B,C X,uD=0 时 ， C 状态反馈的控制律为 ，v 是参考输入，K为状态反馈矩阵。状态反馈闭环系统为 D=0时闭环输出矩阵为 状态反馈的改变了系统的动态特性，开环为A，闭环为A+BK。BK为 若系统能控，可改变所有状态的特征根。结构图为(2) 输出反馈取 H= 于是原系统为 = = = = D=0时 传函矩阵为W(s)=(3) 闭环系统的系统能控性与能观性。定理： 状态反馈不改变系统的能控性，但不保证系统的能观性不变。证明 原系统的能控判别阵为 Q状态反馈系统的能控判别阵 中第2 块 可由B，AB的线性组合表示，第3块

2、=可由 的线性组合表示。可由对进行线性变换得到，可以证明变换矩阵是满秩的故有：rankrank另一方面，状态反馈只改变系统极点，不改变零点，若出现零极对消的情况时，系统传函降阶，破坏了系统的能观性。定理：输出反馈不改变系统的能控性和能观性证明： 增加输出反馈后 HC相当于状态反馈阵的K，类似地可知不改变能控性能观性判据为 仿照状态反馈不改变能控性方法可证明 rank输出反馈不改变系的能观性52 极点配置一、状态反馈定理 采用状态反馈对系统（A，B，C）任意配置极点的充要条件是原系统完全能控。证明 （只证充分性）若系统是能控的，则由状态反馈可得：而 期望多项式 期望的闭环极点（1） 若系统能控，

3、必存在非奇异变换将系统化成能控标准I型 传函为 (2) 加入状态反馈 , 其中闭环系统为 目标闭环特征多项式为)闭环传函为 =的选择是闭环特征方程的极点位于期望位置 于是 （4）求对应x的K （由对应的去求） 所以 状态反馈极点配置算法问题：对已经给定的系统（A，B，C）。及状态反馈后的期望极点，设计控制律 确定矩阵K1） 期望极点情况下的特征多项式2） 求引入状态反馈后的待定参数的特征多项式3）令两个多项式相等确定K例： ， ，设状态反馈控制 将极点配置在 2，。解：期望特征多项式为 引入状态反馈后的特征多项式为： 与期望的特征多项式比较系数可以得方法2：如果A不是能控标准型而且阶数较高则1

4、） 求 2） 求期望特征多项式3） 计算 4） 是按能控标准型形式计算的，如果A不是能控标准型，则：通过，需先求出变换矩阵,再求。二、 输出反馈定理：单输入单输出能控系统（A，b，c）通过线性输出反馈不能实现闭环系统的极点任意配置。证明略53 系统镇定问题定义：若系统（A，B，C）通过状态反馈能使其渐近稳定，则称该系统是可镇定的。定理：系统（A，B，C）采用状态反馈可镇定的充要条件为其不能控子系统是渐近稳定的。证明：设系统（A，B，C）不完全能控，则按能控性分解可得：， ，其中 为能控子系统 为不能控子系统系统的特征方程为: =det引入状态反馈后： 特征方程 通过适当选择K1可以使能控子空间

5、实现极点配置，而不能控子空间不受K的影响。若不能控部分是渐进稳定的，则系统可通过状态反馈使整体渐进稳定。5.5 状态观测器 （1）状态反馈是实现控制目标的主要手段，在不能直接检测状态信号时需要通过采用状态观测器重构的办法来获得代替的状态信号。（2） 设系统（A，B，C）的状态向量x不能直接测量，若利用u，y作为信号源产生，使得： 则称产生 的环节为系统的状态观测器。（3） 存在性定理：系统（A，B，C）状态观测器存在的充要条件是其不能观测子系统是渐进稳定的。证明：系统（A，B，C）不全能观，则经结构分解可得：子系统（A11，B，C）为能观子系统。设为x的估计值，为反馈矩阵构造 = 定义估计误差

6、，则误差的状态方程为： =  可通过适当选择 G1使其渐近稳定除选择G2外还要A22是渐近稳定的， 即不能观子空间是渐近稳定的。（4） 状态观测器的实现状态观测器的结构如图 516（a）如果初始条件，则利用（A，B，C）构造一个完全相同的系统是可能的，但严格保持一致的是不可能的，因此得到：如果引进输出反馈期望获得渐近效果，由图 516（a）可知： 结构图可以简化为 图516（b）估计误差为 于是： 显然，若使的特征根全部位于s平面的左半平面则有：当（A，B，C）系统不完全能观，但不能观子系统是渐近稳定的，则仍可以构造状态观测器，但e的衰减速度将不完全通过G任意选择，而要受到不能观子空间子系统极点的位置限制。 例：， 设计状态观测器使其极点位于（-10, -10）。解法一： 比较后可得 解法二：如果阶数过高，可采用能观标准型的方法： ， ， 此例 ， ， 反馈矩阵 目标特征式为比较可得：由