第三章平面任意力系y

1、平面任意力系实例平面任意力系实例平面任意力系实例平面任意力系实例 1 1、力的平移定理、力的平移定理ABdAB作用于刚体上作用于刚体上A A点的力点的力F F可以平行移到任一点可以平行移到任一点B B，但必须同时附加，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F F对新作用点对新作用点B B的矩。的矩。ABd2 2、平面任意力系向作用面内一点的简化、平面任意力系向作用面内一点的简化主矢和主矩主矢和主矩 333322221111FMmFFFMmFFFMmFFOOO 321321321321FMFMFMmmmMFFFFFFFOOOOR平面任意力系向作

2、用面内任一点平面任意力系向作用面内任一点O O简化，可得一个力和一简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点这个力偶的矩等于力系对于点O O 的主矩。的主矩。iiRFFF)(iOiOFMMM主矢主矢(矢量矢量)主矢主矢平面任意力系中所有各力的矢量和。平面任意力系中所有各力的矢量和。主矩主矩平面任意力系中所有各力对简化中心之矩的代数和。平面任意力系中所有各力对简化中心之矩的代数和。主矩主矩(代数量代数量)若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响？若选取不同的简化中心，对主矢、主矩有无影响

3、？YFFFXFFFiyiyRyixixRx如何求出主矢、主矩如何求出主矢、主矩? ?主矢大小主矢大小方向方向作用于简化中心上的主矩作用于简化中心上的主矩)(iOOFMMRRRRRyRxRFYFXYXFF),cos(,),cos()()(2222jFiFFiiRFFF0RF0OM0RF0OM0RF0OM0OM0RF（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）不平衡不平衡平衡平衡niiOOMM1)(F因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。0RF0OM（1 1

4、）0RF0OM（2 2）O FROFROO dFRFRdROFMd FROMoO 0RF0OM（3 3）平面任意力系的合力平面任意力系的合力FR FR 对作用面内任一点之矩对作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。等于力系中各力对同一点之矩的代数和。 iOROFMFMOOdRF= iOOFMM ioORROFMMdFFM F1F2F3OOORFoM=4 4、合力矩定理、合力矩定理（1 1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；（2 2）求分布力的合力作用线位置。）求分布力的合力作用线位置。已知：在长方形平板的已知：在长方形平板的O O，A

5、A，B B，C C点上分别作用着有点上分别作用着有 四个力：四个力：F1=1kNF1=1kN，F2=2kNF2=2kN，F3=F4=3kNF3=F4=3kN。 试求：以上四个力构成的力系对试求：以上四个力构成的力系对O O点的简化结果，以及点的简化结果，以及 该力系的最后合成结果。该力系的最后合成结果。三、平面任意力系的平衡条件和平衡方程三、平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的充要条件是：平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。 00oRyRxRMYFXFF22)()(YXFR0)(iOOFMM00YX0)(00111

6、niiOniiniiMYXF所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡方程的三种形式平面任意力系平衡方程的三种形式一般式一般式000oMYX二矩式二矩式000BAMMXA、B 两点的连线，不得与投影轴两点的连线，不得与投影轴 x 垂直垂直 0AM平面任意力系对任意点的主矩等于零。平面任意力系对任意点的主矩等于零。 0BM合力的作用线通过合力的作用线通过ABAB两点的连线。两点的连线。 0X力

7、与力与x x轴垂直时，力在轴上的投影为零轴垂直时，力在轴上的投影为零不平蘅不平蘅三矩式三矩式000CBAMMMA、B、C三点不共线三点不共线 0AM平面任意力系对任意点的主矩等于零。平面任意力系对任意点的主矩等于零。 0BM合力的作用线通过合力的作用线通过ABAB两点的连线。两点的连线。 0cMA、B、C三点共线时，合力的作用线三点共线时，合力的作用线通过通过AB两点的连线。两点的连线。四、平面平行力系的平衡方程四、平面平行力系的平衡方程 0X平面平行力系的方程为两个，有两种形式平面平行力系的方程为两个，有两种形式00AMY各力不得与投影轴垂直各力不得与投影轴垂直00BAMMA，B 两点连线不

8、得与各力平行两点连线不得与各力平行 已知：已知：M=Pa 求：求：A、B 处约束反力。处约束反力。xy 020PaMaF,)(MBAF FPFB PFPFAxAx0PFAy 0 BAyFF 0X 0Y020)(020)(00MPaaFMPaMaFMPFXAyBBAAxF FF FPFPFPFBAyAx 解法解法2 2PFPFPFBAyAxPFPFPFBAyAx 解法解法3 3PFPFPFBAyAx020)(020)(020)(MaFaFMMPaaFMPaMaFMBAxCAyBBAF FF FF F解：取解：取AB AB 梁为研究对象梁为研究对象已知：已知： 求：固定端的反力。求：固定端的反力。

9、 020 cosFllqlM,)(MAAF F cosFqlFAy 00 sinFF,XAx sinFFAx 00 cosFqlF,YAy221qlcosPlMA ，Flq030cos0)(0MaFMCAF FaMFC332 FDECBAaaaP已知已知: : 求：三杆对三角平板求：三杆对三角平板ABC ABC 的约束反力。的约束反力。 解：取三角形板解：取三角形板ABC ABC 为研究对象为研究对象PACaaaBaPM，3332PaMFB 0230cos0)(0aPMaFMBCF F0230cos0)(0aPMaFMABF F3332PaMFA PACaaaBPACaaaBPADEBCrFB

10、xFByFAPADEBCaara已知已知: a=4m: a=4m，r=1mr=1m，P=12kNP=12kN 求：求：A A、B B 处的反力。处的反力。 解：取整体为研究对象解：取整体为研究对象 0FMB043 .FPAkNFA9 0X0 BxAFFkNFFABx9 0Y0 PFBykNPFBy12 D1m2m1mABCFq解：取梁解：取梁ABCD ABCD 为研究对象为研究对象01210 FFP,(F)MNABN3750 NBF已知：已知：F = 2kN，q = 1kN/m 求：求： A、B 支座反力。支座反力。FNAFNBPkNqlP5.121N250 NAF00 PFFF,YNBNAF

11、TEPADBrFAxFAyFB45已知：已知：a=4ma=4m，r=1mr=1m，P=12kNP=12kN 求：求：A A、B B 处的反力。处的反力。 解：取整体梁为研究对象解：取整体梁为研究对象 0FMA 0452 raPrFsinaFTEBokNFB26 0X045 ocosFFFBTEAxkNFAx18 0Y045 osinFPFBAykNFBy6 ABq3m1mM1mDFP已知：已知：P = 100 kN ， F = 400 kN ， M = 20 kNm ，q = 20 kN /m求：支座求：支座A的约束力的约束力AB3m1mM1mDFPqF1m解：解：kNlqFACq3021分布

12、力的合力分布力的合力作用位置如图作用位置如图AB3m1mM1mDFPqF1mAxFAyFAMP = 100 kN ， F = 400 kN ， M = 20 kNm ，q = 20 kN /mkNFq30对对ABD杆列平衡方程杆列平衡方程 0 xF0600sinFFFqAx 0yF0600cosFPFAy 0AM0160360100cosFsinFFMMqAmkNMkNFkNFAAyAx11883004 .316 0X 0Y（1 1）满载时，其限制条件是：）满载时，其限制条件是：FNA0FNA0balPPePlPPebaPMB12120)(0)(F FP2P1ABPbeal求：欲使起重机满载和

13、空载时均不翻倒，平衡锤的重量。求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。解：取起重机为研究对象解：取起重机为研究对象满载时，满载时，, 0AF为不安全状况为不安全状况已知：起重机自重为已知：起重机自重为P P，平衡锤重量为，平衡锤重量为P2P2，载重量为，载重量为P1P1。（2 2）空载时，其限制条件是：）空载时，其限制条件是：FNB0FNB0abePPbePaPMA)(0)(, 0)(22F FP2P1ABPbealabePPbalPPe)(21因此，因此，P2 P2 必须满足：必须满足：空载时，空载时，, 0BF为不安全状况为不安全状况01P五、物体系的平衡五、物体系的平衡 静定和

14、静不定问题静定和静不定问题静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PABCFAFBFCPABFBFAD1m2m1mABCFqEPAQCBDE求：求：A A、C C 的约束反力和的约束反力和DC DC 杆内力。杆内力。解解: (1): (1)取杆取杆DH DH 和圆盘为研究对象和圆盘为研究对象 0 FMBPFDC2 PF 1 0451 raFPrsinaFDCo 0 FMA021raFarPaFCPFC （2 2）取图示部分为研究对象）取图示部分为研究对象 0X01 FFA

15、xPFAx 0Y0 PFFCAY0 AyF已知已知: a=2m: a=2m，q=3kN/mq=3kN/m 求：支座求：支座A A、D D的反力。的反力。qABFByFBx解：（解：（1 1）取）取ABAB部分为研究对象部分为研究对象 0 FMB021 AyaFaqaFAyFAxkNFAy3 qABCDaaaqABCDFAyFAxFDyFDxkNFDx9 02 aqFFDxAY 0YkNFDx6 0 DxAxFF 0XkNFAx6 022 AyAxaFaFaqa 0FMD（2 2）取整体为研究对象）取整体为研究对象qABCDaaaABCPDrE 已知：绳索BC水平,ABl 。 求：绳索的拉力T。

16、解：解： (1) (1)取球为研究对象取球为研究对象PDEFEFD 0Y sinPFPsinFDD 0(2)(2)取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象)2(r.ctgAD cos2sin22lPrT 0cos0,)(.AD-FT.AB.FMDAADrtg)2(ABCPDrE已知：已知：OA=R, AB= l , OA=R, AB= l , 当当OAOA水平时，冲压力为水平时，冲压力为F F时，时，不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦, ,系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ;求求: :力偶矩力偶矩M M 的大小，轴承的大小，轴承O O处的约束力，连杆处的约束力，连杆AB AB 受力，受力，

17、 冲头给导轨的侧压力。冲头给导轨的侧压力。解解: :取冲头取冲头B,B,画受力图画受力图. .0cosBFF22cosRlFlFFB22tanRlFRFN0sinBFN 0X 0Y取轮取轮, ,画受力图画受力图. .0sinAOFX22RlFRXO0cosAOFYFYO 0OM0cosMRFAFRM 0X 0Y已知已知: :F=20kN,q=10kN/m,20mkNMl=1m;求求: A,B : A,B 处的约束力处的约束力. .解解: : 取取CD CD 梁梁, ,画受力图画受力图. . 0cM0230cos260sin00lFlqllFBFB=45.77kN30603060kNFAx89.

18、32030cos260sin00FqlFFBAykNFAy32. 2 0AM0430cos360sin2200lFlFlqlMMBAkNMA37.10取整体取整体, ,画受力图画受力图. .030sin60cos00FFFBAx 0Y 0X30603060rF解解: : 取塔轮及重物取塔轮及重物C,C,画受力图画受力图. . 0BM0RFPr110PRPrF020tanFFr1064. 320tanPFFr0rBxFF 0X164, 3PFBxrF02FPPFBy132PFBy 0Y取轮取轮I I，画受力图。，画受力图。已知已知: : DC=CE=CA=CB=2l ,R=2r =l ,450P

19、,各构件自重不计。各构件自重不计。求求: A, E : A, E 支座处约束力及支座处约束力及BD BD 杆受力。杆受力。解解: (1): (1)取整体取整体, ,画受力图。画受力图。Rr 0EM0)2(245sin245cos00rlPlFlFAAPFA825045cos0AExFFPFEx85 0X045sin0AEyFPFPFEy813 0Y整体受力分析整体受力分析(2)(2)取取DCE DCE 杆杆, ,画受力图画受力图. . 0CM02245cos0lFlTlFExDBPFDB823( (拉拉) )PT21已知：已知：q , a , M ,2,Mqa且P 作用于销钉作用于销钉B上；上

20、；求：固定端求：固定端A A 处的约束力和销钉处的约束力和销钉B B 对对BC BC 杆杆, , 销钉销钉B B 对对AB AB 杆的作用力。杆的作用力。解解:(1):(1)取取CD CD 杆，画受力图。杆，画受力图。0DM02CxaFaqa12CxFqa(2)(2)取取BCBC杆（不含销钉杆（不含销钉B )B )，画受力图。，画受力图。0BCxCxFF12BCxFqa0CM0BCyMFa 0XBCyFqa2,Mqa且(3)(3)取销钉取销钉B B ，画受力图。，画受力图。0ABxBCxFF 0X12ABxFqa12ABxFqa 0AByBCyFFP 0YAByFPqa()AByFPqa (4

21、)(4)取取AB AB 杆（不含销钉杆（不含销钉B B），画受力图。），画受力图。1302AxABxFqaF AxFqa 0AyAByFFAyFPqa0AM()AMPqa a 0X 0Y03321aFaFaaqMAByABxA已知：已知： P , a ,各杆重不计；各杆重不计；求：求：B B 铰处约束反力。铰处约束反力。解解: (1) 取整体，画受力图取整体，画受力图0CM20ByFa0ByFaBCDAGEFaaaFCFCx xFCFCy yFBFBx xFBFBy yaBCDAGEFaaa(2)(2)取取DEGDEG杆，画受力图杆，画受力图0DMsin4520EFaFasin452EFFco

22、s450EDxFFcos452DxEFFF 0X 0Y045sin0FFFDyEFFDyFDGEDxFDyFBaBCDAGEFaaaFCFCx xFCFCy yFBFBx xFBFBy y(2)(2)取取ADB ADB 杆，画受力图杆，画受力图0AM20BxDxFaFaBxFF aBCDAGEFaaaFCFCx xFCFCy yFBFBx xFBFBy yBDAFDyFDxFBxFByFAxFAyFDGEDxFDyFB已知：已知： a , b , P, 各杆重不计，各杆重不计，C,E 处光滑；处光滑；求证：求证： AB杆始终受压，且大小为杆始终受压，且大小为P。解解: (1) 取整体，画受力图

23、。取整体，画受力图。0AxF0EM()0AyPbxFb()AyPFbxb 0X0BM0CFbPx (2)(2)取取BCBC，画受力图。，画受力图。CxFPb(3)(3)取销钉取销钉A A，画受力图，画受力图 0X0AxADCxFF0ADCxF 0Y0ABAyADCyFFF0ABxxFPPPbb0DM022ADCyCbbFFADCyCxFFPb对销钉对销钉A A0ABAyADCyFFF0ABxxFPPPbb(ABFP 压）(4)(4)取取ADC ADC 杆，画受力图。杆，画受力图。 0Y已知：荷载与尺寸如图；已知：荷载与尺寸如图；求：每根杆所受力。求：每根杆所受力。解解: (1)取整体，画受力图

24、。取整体，画受力图。0AxF0BM85*8 10*6 10*4 10*20AyF20AyFkN400AyByFF20ByFkN 0X 0Y取节点取节点取节点取节点取节点取节点取节点取节点A A00iyADixACFFFF(2)(2)求各杆内力求各杆内力求：求： ，杆所受力。，杆所受力。解：求支座约束力解：求支座约束力0AMAyFByF从从1 1，2 2，3 3杆处截取左边部分杆处截取左边部分2F0CM1F3F已知：已知：P1, P2, P3,尺寸如图。尺寸如图。 0X 0Y 0Y取节点取节点5F4F若再求若再求, ,杆受力杆受力 0Y 0XEqaaaaaABCDFAyFAxFB求：求：A A、

25、B B 的约束反力的约束反力 和和BC BC 杆内力。杆内力。CDqFDxFDy解：解：(1) (1) 取整体为研究对象取整体为研究对象05 . 1, 0)(0, 00, 0aqaaFMqaFFYFXAyBEAyAxF F045sin5 . 00)(aFaqaFMCD(2) (2) 取曲杆取曲杆CDCD为研究对象为研究对象FC500NDCEFDxFDyFExFEy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：求：D D、E E 的约束反力。的约束反力。解：解：(1)(1)取取CDE CDE 为研究对象为研究对象00050000450020)(ExDxEyDyDyEF

26、FXFFYFMF FN500,N1000EyDyFF(2)(2)取整体为研究对象取整体为研究对象06500250040)(BAFMF FN1000BFP PP PABCDaaaa2a2aP PFBFBx xFBFBy yFCFCy yFCFCx xBCByFFAFAy yP PBxFFAFAx xAB求：求：A A、D D的约束反力。的约束反力。解：解：(1)(1)取取BCBC杆为研究对象杆为研究对象) 3(0, 0)2(0, 0) 1 (02, 0)(CxBxCyByByCFFXPFFYaFPaMF FPFFCyBy5 . 0(2)(2)取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象0, 0022,

27、0)(0, 0BxAxAyAxBByAyFFXPaaFaFFMPFFYPFPFPFBxAyAx,5 . 1,代入（代入（3 3）式解得：）式解得：PFCxCDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCPFPFFCxCyBy,5 . 0ByFFAyPBxF FAxAB(3)(3)取取CDCD杆为研究对象杆为研究对象022, 0)(0, 00, 0aFaFMFMFFYFFXCyCxDDCyDyCxDxPaMPFPFDDyDx5 . 0CxFCyFByFFAyPBxFFAxABPPABCFCyFCxFAxFAy 0 FMBPPABCDaaaa2a2a022 a.Fa.Fa .PAyA

28、x 0 FMC0423 a.Fa.Fa.Pa .PAyAxFAyFAxFAx=P FAy=1.5P解解: (1): (1)取取ABAB为研究对象为研究对象(2)(2)取取ABCABC为研究对象为研究对象(3)(3)取整体为研究对象取整体为研究对象0 X0 DxAxFF0 Y0 DyAyFPPF 0 FMD0356 DAyMa.Pa.Pa.FPFDx P.FDy50 PaMD 已知：已知：P P8kN8kN，m m4kN.m4kN.m 求：求：A A、B B 处的反力。处的反力。 解：取刚架解：取刚架AB AB 为研究对象为研究对象PmABFBFAxFAy 0X0 AxFPkNPFAx8 0FMA0524 .Pm.FBkN.PmF