J曲线在坐标面上的投影和空间区域简图

1、4 4 曲线在坐标面上的投影曲线在坐标面上的投影设设 是一条曲线，是一条曲线， 是一个平面，曲线上每一是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，这些垂足构成的曲线，点在平面上有一个垂足，这些垂足构成的曲线，叫做曲线在平面上的叫做曲线在平面上的投影投影投影柱面投影柱面：过曲线：过曲线 上上的每一点，都有平面的每一点，都有平面 的一条垂线，这些垂线的一条垂线，这些垂线构成的柱面。构成的柱面。1如果已知 的方程和平面 的方程如何求投影 的方程呢？11投影就是投影柱面和平面的交线12( , , )0,:( , , )0.:0.设空间曲线 的方程为平面 的方程为F x y zF x y zAxByCz

2、D( , , )在投影柱面上任意取一点，那么过 点垂直于平面 的直线L的参数方程可以设为P x y zP,.xxAtyyBtzzCt0000,(,)因为直线L和曲线 必定会相交，所以存在使得:txAtyBt zCt10002000(,)0,(,)0.F xAtyBtzCtF xAtyBtzCt0( , , )0消掉参数 ，得到投影柱面的方程：tx y z投影柱面的方程：投影柱面的方程：投影的方程：投影的方程：( , , )0:0.投影柱面的方程为：。平面 的方程为x y zAxByCzD从而得到投影的方程( , , )00.，x y zAxByCzD10002000(,)0,(1)(,)0.F

3、 xAtyBt zCtF xAtyBt zCt0( , , )0.其中是由下列方程组消去参数 得到x y zt如果 就是坐标平面情况又如何呢？如 是平面.XY100200.0,1.( , ,)0,( , ,)0.( , , )0.XYzABCF x y zttF x y ztx y z如果 是平面.即 的方程为所以代入方程(1)得到消去参数得到投影柱面方程: 12( , , )0,( , , )0.( , )0F x y zzF x y zx y所以,可以直接从方程组消去参数得到投影柱面方程:,( , , )0XYx y zz由于投影柱面垂直于平面所以方程与 无关.12( , , )0( ,

4、, )0F x y zF x y z( , )0 x y曲线关于曲线关于 面的面的投影柱面投影柱面xy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：曲线在坐标面内的投影的方程曲线在坐标面内的投影的方程求其在求其在xy平面上的投影曲线方程平面上的投影曲线方程.消去变量消去变量 后得：后得：z类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 x 0y面上的面上的投影曲线投影曲线:yz面上的面上的投影曲线投影曲线:xz空间曲线在空间曲线在 面上的面上的

5、投影曲线投影曲线:xy12( , , )0( , , )0F x y zF x y z设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：(投影柱面投影柱面) 0z( , )0 x y0),( zyR(投影柱面投影柱面)0),( zxT(投影柱面投影柱面)例例1 1 求曲线求曲线222222,0 xyzaxyax(0)a :在各个坐标平面的投影在各个坐标平面的投影.第一个方程所表示的曲面是球面。而第二个方程所表示的曲面是圆柱面，其和平面的交是一个圆，方程为XY220,0.xyaxz22(),240即aaxyz220,0 xyaxz 曲线在曲线在 平面的投影：消掉平面的投影：消掉zXY曲线在曲线在 平面

6、的投影：消掉平面的投影：消掉yXZ220,0zaxay曲线在曲线在 平面的投影：消掉平面的投影：消掉xYZ4222()0,0zayzx0,0因为所以从第二个方程可知ax221(-),从第一个方程解出带入第二个方程得xaza例例2 2 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因

7、为曲线在平面 上，上，21 z 211222zzyx曲曲线线：截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影 ,004522 zxxyyx例例42222,43(),.zxyzxyxy设一个立体 由上半球面和上半锥面所围成 求它在面上的投影解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去Cxy则交线在面上的投影为 . 0, 122zyx圆周圆周,xy 所求立体在面上的

8、投影为 . 0, 122zyx圆圆.空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影: :空间立体空间立体曲面曲面4 4 空间区域简图空间区域简图例例1 曲面曲面 和和围成一个区域，作出它的简图围成一个区域，作出它的简图.223()16xyz2225zxy22223()1625两曲面的交线的方程为xyzzxy23(25)16z25(0)3=3或者舍去，zzz 作出由空间曲面所围成的空间区域的简图，关键是联立两个曲面(平面)的方程确定两个空间曲面交线的位置.再适当的表示出空间区域的边界曲面22223()161633所以两曲面的交线方程为即xyzxyzzx0z3(0,0,3)这是平面上的圆，圆心在，半径为4.z 所得到的空间区域的简图为：3例例2：作出由下例条件所确定的区域的简图：作出由下例条件所确定的区域的简图：220,0,0,1,1.xyzxyyz111xyzzyx111221,1.xyyzaa xz y0 作图练习二作图练习二222222,0,0,0 ，围图形？xyaxzaxyz作作出出曲曲面面所所立立体体 z = 0y = 0 x = 0aaxz y0.18.18. 作图练习二作图练习二222222,0,0,0 ，围图形？xyaxzaxyz作作出出曲曲面面所所立立体体 aaxz