圆锥曲线解题技巧和方法综合

1、圆锥曲线的解题技巧，、常规七大题型:1中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法点差法:设曲线上两点为(xi,yi)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论，消去四个参数。如:2 21冷咅1(aa bb 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为 M(Xo,yo),那么有Xo2x 2 2 aa0,b0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x,yo)那么有Xoa3y2=2px p0与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(xo,yo),那么有 2yok=2p,即 yok=p.2y典型例题给定双曲线x1。过A 2, 1

2、的直线与双曲线交于两点 R 及F2，2求线段F1 P2的中点F的轨迹方程。2焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。2 2典型例题 设P(x,y)为椭圆 务 占 1上任一点，F, c,0)， F2(c,0)为焦点, a bPF1F2，PF2 F1。1求证离心率esin( )；sin sin3直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判 别式、 根与系数的关系、 求根公式等来处理， 应特别注意数形结合的思想， 通过图形的直观 性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的

3、定义去解。典型例题抛物线方程y2 p(x 1) (p 0)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。1求证：直线与抛物线总有两个不同交点2设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。4圆锥曲线的相关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题，常用代数法和几何法解决。假设命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式，那么可建立目标函数通常利用二 次函数，三角函数，均值不等式求最值。1，可以设法得到关于 a的不等式，通过解不等式求出 a的范围，即：“求范围，找不 等式。或者将a表示为另一个变量的函数，利

4、用求函数的值域求出 a的范围；对于2 首先要把厶NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值 ，即：“最值问题，函数 思想 。最值问题的处理思路：1 、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关 键是由方程求 x、 y 的范围；2 、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题抛物线y2=2px(p0)，过Ma,0且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点 A、B,|AB| B x2, y2 , M a,b为椭圆1的弦AB中点那么有432 2 2 2 2222仝

5、生1,空空1 ;两式相减得二竺 亠0434343xi X2 Xi X2yi y yi 兀 、,_ 3a43AB= 4b2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 A(x(,yi),B(X2，y2)，将这两点代入曲线方 程得到两个式子，然后 -，整体消元，假设有两个字母未知数，那么要找到它们的联系，消去一个，比方直线过 焦点，那么可以利用三点 A、B、F共线解决之。假设有向量的 关系，那么寻找坐标之间的关系，根

6、与系数的关系结合消元处理。 一旦设直线为y kx b，就意味着k存在。例i、三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2 5y2 80上，且点A是椭 圆短轴的一个端点点A在y轴正半轴上.i假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC的方程;2假设角A为900 , AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心，利用点差法及重心坐标公式可求出中点 弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为90可得 出AB丄AC,从而得XiX2 ym i4(yi y?) i6 0，然后利用联立消元 法及交轨法求出点D的轨迹方程；解：i设 B “yi*2 ),BC 中点为(x。, y。)

7、,F(2,0)那么有22Xiyi20162 2X2y220 16两式作差有(XiX2)(XiX2)20(yi y2)(yiy?)16yk4(1)F(2,0)为三角形重心，所以由竺空2，得X0 3，由y1 y2 4 0得3 3y。2，代入1得k 65直线BC的方程为6x 5y 2802)由 AB丄 AC 得 X1X2 y2 14(力 y2) 16 02设直线 BC 方程为 y kx b,代入4x2 5y280, 得(4 5k2)x2 10bkx 5b2800X110kb5b280X24 5k2， X1X24 5k2y18ky2 k24b2 80八代入45k22式得9b24 5k232b 16 0

8、,解得 b4(舍)或 b直线过定点, 9)，设 D x,y,9y2 9x232y16 0所以所求点D的轨迹方程是x24、设而不求法例2、如图，梯形 ABCD中AB41 ,即y那么-的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当23时,求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建2 2立直角坐标系xOy，如图，假设设C C,h，代入笃 爲1，求得h，2a b2 2进而求得Xe,yE，再代入笃爲1 ,建立目标函数a bf(a,b,c, ) 0,整理f(e, ) 0 h可采取设而不求的解题策略，建

9、立目标函数f(a,b,c, ) 0，整理f(e, ) 0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，那么CD丄y轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知 C、D关于y轴对称依题意，记A c, 0 , C c , h , E x0, y0，其中c - I AB I为双2 2曲线的半焦距,h是梯形的高，由定比分点坐标公式得xocc 2_2c1 2 1hy0厂2 2设双曲线的方程为字十1,那么离心率e caX由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e -代入双曲线方a程得e2h2 e2b241 b2由式得将式代入式，整理得e24 4

10、124故由题设？3解得e2e2所以双曲线的离心率的取值范围为7 , .10分析：考虑|AE,AC为焦半径，可用焦半径公式，|AE,|AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算，到达设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,Xecc22 c1 2 1设3；得，I 1解得AEa exE , ACexC ,又，乂 AC|33e224-.7 e .10厂代入整理，由题e 1所以双曲线的离心率的取值范围为.7,.105、判别式法 例3双曲线C工xl 1，直线丨过点A . 2,0，斜率为k，当0 k 1时,2 2双曲线的上支上有且仅有一点 B到直线丨的距离为.2，试求k的值及 此时点B的坐标。分析1:解析几何

11、是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因 此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有 这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B作与丨平行的直线，必 与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0.由此出发，可设计如下解题思路：直线i在i的上方且到直线I的距离为.2I: y kx xlk把直线的方1:代入双曲线方程，消去y,令判别式解得k的值解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线I的距离为2 ，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解：设点M(x, . 2 x2)为双曲线C上支上任一点，那

12、么点 M到直线I的距离为：kx V2 x22kA2 1于是，问题即可转化为如上关于x的方程.由于0 k 1，所以2 x2 x kx,从而有kx 2 x2V2kkx J2 x2 J2k.于是关于x的方程kx . 2 x2.2k . 2(k2 1) 22 x2( 2(k2 1) 2k kx)2,2(k21) 2k kx 0. 2k2 1 x2 2k 2(k2 1) 2k x . 2(k2 1) 2k 2 0, 2(k21) 2k kx 0.由0 k 1可知： _ _ 2方程 k2 1 x2 2k . 2(k2 1). 2kx . 2(k2 1). 2k 2 0 的二根同正，故,2(k1),2k k

13、x 0恒成立，于是 等价于 _ 2k21 x2 2k . 2(k21)、2kx . 2(k21)、2k 20.由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得,2 、5k.5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分表达了全局观念与整体思维的优越性.例4椭圆C：x2 2y2 8和点P4, 1，过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使APPBAQQB求动点Q的轨迹所在曲线的方程.分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因 此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可

14、到达解题的目的.由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件:APPBAQQB来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到x 4(Xa Xb) 2XaXb，要建立X与k的关系，只需 ZV18 (Xa Xb)将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决此题，已经做到心中有数APAQPBQB14(XaXb)2XaXb8 (Xa Xb )将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点Q满足直线AB的方程：

15、y = k (x 4)+1，消去参数k点Q的轨迹方程在得到x f k之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程不含k，那么可由y k(x 4) 1解得k 以，直接代入x f k即可得到轨迹方程。从而简化消去参的x 4过程。简解：设A xi,yi月区，y2),Q(x,y)，那么由AP 虫 可得：PB QB4 xi x xiX24 X2 x解之得:1设直线AB的方程为：y k(x 4) 1，代入椭圆C的方程，消去yx4(x1 x2) 2x28 (xi X2)得出关于x的一元二次方程:2k21 x24k(1 4k)x 2(14k)28 024k(4kYivo1)1

16、2 22k 1，2(14k)2xx22k2 18代入1，化简得:4k 3:xk 2与yk(x4) 1联立，消去k得:2xy 4(x 4)0.在2中,由64k264k240，解得2 .102 10，结合344可求得 16 2、/10 x 16 2*1099故知点Q的轨迹方程为：2x y 4 0 16 2 10 x 16 2 10.99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到这当中，难点在 引出参，活点在应用参，重点在消去参 ，而“引参、用参、消参 三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道 .6、求根公式法2 2例5设直线丨过点P0

17、，3，和椭圆Z r 1顺次交于A、B两点，94试求竺的取值范围.PB分析：此题中，绝大多数同学不难得到： 竺=2，但从此后却一PBXb筹莫展，问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个 参数的函数关系式或方程，这只需利用对应的思想实施；其二那 么是构造关于所求量的一个不等关系分析1：从第一条想法入手，AB=已经是一个关系式，但由于有两个变量Xa,Xb，同时这两个变量的范围不好控制， 所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k.问题就转化为如何将Xa,Xb转化为关于k的表达式，至吐匕为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y得 出关于

18、x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.简解仁当直线1垂直于x轴时可求得詈1;当I与x轴不垂直时，设 Ax” ,B(X2, y2)，直线1的方程为:y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 0解之得X1,227k6 9k259k24因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k 0的情0时,Xi所以APPB27k 6 9k252 9k249k 2.9k25 “=15X1x29k 2.9k2X227k 6 9k2 59k4，18k=9k 2 9k2 5 1 9 2185k2(54 k)2 180 9k240,解得k2所以综上分析2:如果想构造关于所求量的不等式,那么

19、应该考虑到:判别k的取式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但此题无法直接应用韦达定理，原因在于AP乞不是关于Xi,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题X2的方法自然也就有了，即我们可以构造关于Xi,X2的对称关系式.简解2:设直线丨的方程为：y kx 3，代入椭圆方程，消去y得9k24 x2 54kx 45 0*那么XiX254k9k24x1 x2459k24令生，那么，1 2324 k 2x245k2 20在*中，由判别式0,可得k2 5，9从而有15.432严236，所以4- 2

20、36，解得45k20555结合01 得 1 1.5综上，,AP11 .PB5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等此题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能 说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有 见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里 第三、推理训练：数学推理是由的数学命题得出新命题的根本思 维形式，它是数学求解的核心。以的真实数学命题，即定义、公理、 定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，至V达解题目标，得出结

21、论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的 相互关系充分性、必要性、充要性等，做到思考缜密、推理严密C 通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。例6椭圆长轴端点为A,B , O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点， 且 AF FB 1 , OF”1 .I求椭圆的标准方程；H记椭圆的上顶点为M ,直线丨交椭圆于P,Q两点，问：是否 存在直线I ,使点F恰为PQM的垂心？假设存在，求出直线I的方程; 假设不存在，请说明理由。思维流程:3x224mx 2m两根之和，1 两根之积MP ? FQ 0解题过程:I如图建系，设椭圆方程为又T AF FB 1 即(a得出关于 m的方程解

22、出m2 21(a b 0),那么 c 1a bc) (a c) 12故椭圆方程为-5假设存在直线丨交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心,那么于是设直线1为yxm ,由y x m 得2 2彳得 ,x 2y 22 23x 4mx 2m20T MP FQ0为(X21)Y2(Y11)又ym(i 1,2)得 x1(x2 1)(x2:m)(X1m 1)0即设 P(Xi,y1),Q(X2,y2)，丁 M(0,1),F(1,0)，故 kpQ 1,2x1x2 (x1 x2)(m1)2 mm 0由韦达定理得2m2 234m1) m2解得m 4或m 1舍 经检验m害符合条件.点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连

23、线垂直对边， 然后转化为两向量乘积为零.例7、椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A( 2,0)、B(2,0)、C 1,-三点.2I求椭圆E的方程：“假设点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F( 1,0), H (1,0)，当 DFH内切圆的面积最大时，求 DFH内心的坐标;思维流程：得到m,n的方程由椭圆经过A、B、C三点解出m,n由 DFH内切圆面积最大_转化为 DFH面积最大得出D点坐标为0,：/ 33转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大D为椭圆短轴端点r内切圆3-DFH面积最大值为J3S DFH周长r内切圆21解题过程： I设椭圆方程为mx2 n y2 1 m 0, n 0

24、将A( 2,0)、B(2,0)、C(1,-)代入椭圆E的方程，得 24m 1,229 解得m -, n -.二椭圆E的方程X 1 .m n 143434H| FH | 2，设 ADFH 边上的高为 S dfh - 2 h h 2当点D在椭圆的上顶点时，h最大为.3，所以S dfh的最大值为3 .设厶DFH的内切圆的半径为R，因为 DFH的周长为定值6.所以,S DFH所以R的最大值为身所以内切圆圆心的坐标为宵点石成金:s的内切圆的周长r的内切圆例8定点C( 10)及椭圆X23y2 5，过点C的动直线与椭圆相交于A, B两点.I假设线段AB中点的横坐标是 1，求直线AB的方程；H在X轴上是否存在

25、点M，使MA MB为常数？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由思维流程:I解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y k(x1)，将y k(x 1)代入x2 3y2 5，消去y整理得(3k21)X2 6k2X3k2 50.设 A(X!，yj，B(X2，y2)，那么x1 x236k4 4(3k2 1)(3k2 5)6k23k2 1.0,(1)白线段AB中点的横坐标是得_X2、23k23k21k乜，符合题意。3所以直线AB的方程为x 3y或 x ,3y0.H解：假设在X轴上存在点M (m,0)，使 MAMB为常数. 当直线AB与 x轴不垂直时，由I 知X-iX26k23k21

26、 X-|X23k2 53k2所以MA MB (%m)(x2 m)y2(% m)(x2 m)k2(X1 1)(X21)(k21)X1 X2(k2 m)(x1 X2) k2m2.将代入，整理得MA MB(6m 1)k2 53k2 11214(2m -)(3k2 1) 2m ；333k2 1m26m 143(3k21)注意到MA MB是与k无关的常数，从而有6m 14 0, m ,此时3 4MA MB -.9当直线AB与x轴垂直时，此时点A, B的坐标分别为1,23，当 m亦有MA MB -9综上，在x轴上存在定点M 7,0，使MA MB为常数点石成金:MA MB (6m 严 53k2 1(2m 1

27、)(3k2 1) 2m 3k2 1m22m 1竺竺33(3k21)例9、椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M2, 1，平行于0M的直线I在y轴上的截距为m m0,I交椭圆于A、B两个不同点。I求椭圆的方程；H求m的取值范围；皿求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形思维流程：2 2解：1设椭圆方程为务占1(a b 0)a ba 2b那么21解得：2椭圆方程为2y- i2l平行于OM ,且在y轴上的截距为m又 Kom=2I的方程为：yy由2X81X22y22mx 2m2椭圆交两个不同点，(2m)24(2m2解得 2 m 2,且m4)00,即可皿设直线MA、MB的斜

28、率分别为ki,k2,只需证明k1+k2=02m,xix2 2m2那么kiy2 ix72X2,2由X22mx 2m240可得XiX22m,xix22m24而kik2 yi 2y2i (yi2xi2X2(7 Xim i)(x22)(iX2 m设 A(Xi,yJ,B(X2, y2),且XiX2(Xi2)(X22)1) (X22)(y2i)(Xi2)1)(Xi2)(Xi2)(X22)2m24 (m2)( 2m)4(mi)(Xi2)(X22)2m24 2m：2 4m4m40(Xi 2)(X22)Xix2 (m 2)(xi x2)4(m i)(Xi2)(X2 2)ki k20故直线MA、MB与x轴始终围成

29、一个等腰三角形.kik20点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形例10、双曲线笃 爲1的离心率e 玄，过A(a,0),B(0, b)的直线到 a b3原点的距离是仝.21求双曲线的方程；2直线y kx 5(k 0)交双曲线于不同的点 C, D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.思维流程：x。Xi X22k BEy115 k1 3k1kx 053k2X0Xkyk 0,15 k5k3k 23k 20,又k0, k 27解:V : 1S2、3.原点到直线AB :兰丄1的距离a3a bdababJa2 b2c2 .b 1,a- 3 .故所求双曲线方程为x 2213y1.2把y kx5

30、代入x2 3y23 中消去y ,整理得(1 3k2)x230kx78 0.设 C(Xi, yi), D(X2, y2),CD 的中点是 Egy。)，那么故所求k= 士 .7 .点石成金：C, D都在以B为圆心的圆上BC=BD BE丄CD;例11、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到 焦点距离的最大值为3,最小值为1.I求椭圆C的标准方程；II假设直线丨：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点A、B不 是左右顶点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求 证：直线丨过定点，并求出该定点的坐标.思维流程：2詁 1(a b 0),2 解：I由题意设椭圆的标准方程为 笃 a由得：a c3, a c 1 ,a 2,b2c 1,2 2 a c椭圆的标准方程为II设 A(xn yi), B(X2, y2).联立y kx m,2 2x y_431.得(3 4k2)x28mkx4(m2 3) 0，那么64m2k216(38mkX1 X22 ,3 4k4( m23)X1X22 .3 4k24k2)(m23)0,即 3 4k2 m2o,又