利用极坐标解圆锥曲线题

1、（焦点）的距离和一条F作相应准线的垂线，若允许p< 0，方程当e=1时，方程表示开口向右的抛物线利用极坐标解题知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点 定直线（准线）的距离的比等于常数 e的点的轨迹.以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点 ）为极点，过点 垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：1 ecos其中 p是定点 F到定直线的距离，p >0.当0 v ev 1时，方程表示椭圆；当e> 1时，方程表示双曲线，若p> 0,方程只表示双曲线右支, 就表示整个双曲线;引论（1 ）若1+e cos则0

2、vev 1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e> 1方程表示极点在左焦点上的双曲线(2 )若ep1-esin当0vev 1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当e > 1时!方程表示极点在上焦点的双曲线(3)ep1+es in当0vev 1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当e > 1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程105 3cos表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。解法3 cos51035_3 cos5103方

3、程表示椭圆的离心率e解法二：转化为直角坐标3 15255，焦距才长轴长孑短轴长5c3325acaa558b21051015a ccc33383，p（3）2（：）2（2 ）圆锥曲线弦长问题2 .2丄“Lt亠ab1、椭圆中，pc,ccMNep1 ecos若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,2ep2ab1 ecos( ) a2 c2 co若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长J 21222 2a -c cos |二掘 +丁 =+tr - ccos ct a +c cos a同理可求得焦点在 y轴上

4、的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式:2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）若M、N在双曲线同一支上，MNep1 ecosep2ab1 ecos()2 2 a c2 >cos若M、N在双曲线不同支上，MNepep2ab21 ecos1 ecos222ccosa设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB| 。解：（1 ）当时，（如图2 ）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长|AS|=1-胪_2於223a-c

5、匚os a a-c- coss j - <7 cos a（2 ）当或时，如图3，直线I与双曲线交点 A、B在两支上，连，设，则，由余弦定理 可得，整理可得，则护 lab1c cosce - a a H-c cosa c2 cos2 a-c因此焦点在x轴的焦点弦长为2ab2 /&h(arctan < a c 龙arctan )a cos ctaa2ab2小*b _u心、(0 2- c; < arctan 我 arctan 一 < a < jtje cos ql a口a同理可得焦点在 y轴上的焦点弦长公式2 2 - 2a - c sin a2aCO <

6、cr < arctan 或庄-arctan < g < jt)hb亍(arctan <a arctan )sin a a2bb其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。3、抛物线中,MNP1 cosP2p1 cos( ) sin2?(图 4)B横坐标为,若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB|解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，则点 A的横坐标为，点 由抛物线定义可得pp2p2p工* 二n- = = |1 coset 1 十匚 os a 1 - cos a sin a同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为

7、例2 . 已知抛物线y2=2px ( p>0 )，过其焦点且斜率为 k的直线交抛物线于 A , B两点, 求AB长.2 2练习1 :.过双曲线 - 1的右焦点，引倾斜角为 一的直线，交双曲线与 A、B两点,4 53求 | AB |解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得2 3cosAB | i 2 |A( 1,), B( 2,55_2 3cos 2 3cos(3 I3)807附录直角坐标系中的焦半径公式1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，贝UPF1aex,PF22、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a,PF2exa ；当点P在双曲线

8、左支上时，PRa ex,PFaex ；设P (x,y )是圆锥曲线上的点,3、若F是抛物线的焦点，PF x |.a ex；利用弦长求面积例3 设过椭圆2 x2521的右焦点的弦AB=8，求三角形AOB的面积。16a2 匚os一：其刁0沖宜线倾斜角2ab160- c2 cos &25 -Pcos-曰得 u os 二 B =而点O在占月上的肓玄度730尸，sill B骥迅它j3x£=23冃斤以06厅=2x尿吕2=81的焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于 A,2练习2 (08年卷)过椭圆5简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|2ep2求弦长，然后利用公式cosSaob 1|

9、 AB|OF |sin AFO 直接得出答案。21的左焦点过点F的直线l与椭X练习3 . （2005年全国高考理科）已知点F为椭圆、N两点，求四边形 PMQN面圆交于P、Q两点，过F且与li垂直的直线12交椭圆于M 积的最小值和最大值解析：以点F为极点,建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:_-221 cos2设直线li的倾斜角，则直线12的倾斜角为90°，由极坐标系中焦点弦长公式知:|PQ|1 - cos22，|MN | 21 2cos290°)1 1si n2211 1 . 2Osin 22 16用他们来表示四边形的面积1S-|PQ|cgMN |2 1丨22 sin cc

10、os2 41即求11.2° sin 22 16的最大值与最小值由三角知识易知：当si n21时，面积取得最小值 16 ；当sin290时，面积取得最大利用弦长公式解决常量问题2x例4 .过椭圆a2十1(abb 0）的左焦点F ,作倾斜角为60的直线1交椭圆于A、B两点，若FA 2FB，求椭圆的离心率简解：建立极坐标系，然后利用等量关系,可很快求出离心率。设椭圆的极坐标方程为e P1 ecos则FAe P1 ecos600,FBe P1 ecos2400 'e pe1 -2空，解得ee1 -练习4 .求过椭圆的左焦点，且倾斜角为7的弦长3 cosAB 和左焦点到左准线的距离。解

11、：先将方程化为标准形式:231 cos3则离心率e2ep 3所以左焦点到左准线的距为设A(AB1 , ), B( 2,5 )，代入极坐标方程， 442则弦长3 cos42-53 cos42417(3 )定值问题例5.抛物线2px(p 0)的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证明:解：以焦点为极点，以 FXa轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为-定值。bp1 cos设 A(a, ), B(b,将A,B两点代入极坐标方程，得1 cospcos(则丄a11 cosb点睛:推论:1 cos(引申到椭圆和双曲线也是成立的。若圆锥曲线的弦 MN经过焦点例6 .经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦(定

12、值)则有MFNFAB和弦CD,求证证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为1, 1 ,B2, +,DepAB+则代入可得为定值。CDep ，又设1 ecos| AB| 1 2ep 21 e cos2ep|AB| 1 e2sin21AB12-e2CD 2ep注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的围。推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为极点建立 极坐标方程。推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。2y271，点F是其左焦点，在椭圆上任取三2x 例7 . （2007理改编）中心在原点O的椭圆 一36个不同点 RRR使/P1FP2 /

13、£FP3 / P3FP, 1200 .证明:1FP11_FP21FP3为定值，并求此定值.解析：以点为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:，设点P1对应的极角为，则点F2与Pj对应的极角分别为1200、1200 ,就分别是|FP1|92 cos、|FP2|902 cos( 120 )与 |FPa|cosP1、P2与Pa的极径9,2 cos( 120 )因此二FP11FP2角函数的学习中,1_1_FP1甌FP3我们知道2 cos9cos cos(|为定值2 cos(1200)91200) cos(2 cos(1200)十，而在91200)0 ,因此点睛：极坐标分别表示| FP1 |、| FP2 |与|FPa|，这样一个角度对应一个极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.推广：若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？例8 . （2006全国联赛）椭圆2x252y161的右焦点为 F, P1 , P2 ,P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且/P1FP2= / P2FPa=