特殊平行四边形专题训练

1、专训一：矩形的性质与判定灵活运用名师点金：1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等2判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等 利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH3 cm，EF4 cm，求A

2、D的长(第1题) 利用矩形的性质与判定证明线段相等2如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连结OE.求证：OEBC.(第2题) 利用矩形的性质与判定判断图形形状3如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5，E，P分别在AD，BC上，且DEBP1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.(1)判断BEC的形状，并说明理由(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断(第3题) 利用矩形的性质与判定求面积4如图，已知E是ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)连结AC，BF，若AEC2ABC，求证：四边形ABFC为矩形(2)在(1)的条

3、件下，若AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积(第4题)专训二：菱形的性质与判定灵活运用名师点金：1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角2判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等 利用菱形的性质与判定证明角的关系1如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.(1)证明：BACDAC，AFDCF

4、E；(2)若ABCD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使EFDBCD，并说明理由(第1题) 利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2(中考·兰州)如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABCD，BDAC.(1)求证：ADBC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分(第2题) 利用菱形的性质与判定解决周长问题3(中考·贵阳)如图，在RtABC中，ACB90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将ADE绕点E旋转180°，得到CFE，连结AF.(1)求证：

5、四边形ADCF是菱形；(2)若BC8，AC6，求四边形ABCF的周长(第3题) 利用菱形的性质与判定解决面积问题4如图，已知等腰三角形ABC中，ABAC，AD平分BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EFAB，分别交AC，BC于点E，F，作PMAC，交AB于点M，连结ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由(第4题)专训三：正方形的性质与判定灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可 利用正方形的性质证明线段

6、位置关系1如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DECF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AMDF.(第1题) 利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2已知：在正方形ABCD中，MAN45°，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，易证：BMDNMN.当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由(2)当MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你

7、的猜想，并证明(第2题) 正方形性质与判定的综合运用3如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动时间多长，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由(第3题) 正方形中的探究性问题4如图，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：DMFM，DMFM(无需写证明过程)；(1)如图

8、，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2)如图，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想(第4题)专训四：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时，常常通过设未知数列方程求解 利用矩形的性质巧求折叠中的角1当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操

9、作有时可以解“燃眉之急”如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求AFE的度数(第1题) 利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长2如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4 cm，宽AB为3 cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开求折痕EF的长(第2题) 利用矩形的性质巧证线段的位置关系3如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连结AE.证

10、明：(1)BFDF；(2)AEBD.(第3题) 利用矩形的性质巧求线段的比(面积法)4如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CMCN；(2)若CMN的面积与CDN的面积比为31，求的值(第4题)专训五：用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)为条件解答 平行四边形中的动点问题1如图，在ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BEDF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和

11、位置关系，并对你的猜想加以证明(第1题) 矩形中的动点问题2在矩形ABCD中，AB4 cm，BC8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.(1)如图，连结AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFB和CDE各边匀速运动一周即点P自AFBA停止，点Q自CDEC停止在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值(第2题) 菱形中的动点问题3如图，在菱形ABCD中，B60°，点E在边BC上，点F在边C

12、D上(1)如图，若E是BC的中点，AEF60°，求证：BEDF；(2)如图，若EAF60°，求证：AEF是等边三角形(第3题) 正方形中的动点问题4如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由(第4题)专训六：特殊四边形中的最值问题名师点金：求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题 矩形中的最值问题1如图，MON90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在

13、边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB2，BC1，运动过程中，求点D到点O的最大距离(第1题) 菱形中的最值问题2如图，菱形ABCD中，AB2，A120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PKQK的最小值(第2题) 正方形中的最值问题(第3题)3(中考·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PEPC的最小值是_4如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结EN

14、，AM，CM.(1)求证：AMBENB.(2)当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由(第4题)专训七：思想方法荟萃名师点金：本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法 数形结合思想(第1题)1如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为()A200 cm2 B300 cm2C600 cm2 D2 400 cm2 方程思想2已知平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F.(1

15、)若AE3 cm，AF4 cm，AD8 cm，求CD的长；(2)若平行四边形ABCD的周长为36 cm，AE4 cm，AF5 cm，求平行四边形ABCD的面积 转化思想3如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点连结BP，DQ.(1)求证：四边形PBQD为平行四边形(2)若AB3 cm，AD4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动设点P运动的时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由(第3题)4如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且C

16、D2 cm，BC8 cm，AB8 cm，AF5 cm.试求此六边形的周长(第4题) 分类讨论思想图形的位置不确定5四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，求BEC的度数等腰三角形的腰与底边不确定6已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动当ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标(第6题)答案解码专训一1解：HEMAEH，BEFFEM，HEFHEMFEM×180°90°，同理可得：EHGHGFEFG90°，四边形EFGH为矩形，HGEF，H

17、GEF，GHNEFM.又HNGFME90°，HNGFME，HNMF.又HNHD，HDMF，ADAHHDHMMFHF.又HF5(cm)，AD5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HNMF，进而证明HDMF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想2证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形四边形ABCD是菱形，ACBD，即COD90°.四边形OCED是矩形OECD.四边形ABCD是菱形，BCCD.OEBC.点拨：线段CD既是菱形ABCD的边，又是四边形OCED的对角线，可以用等量代换推出O

18、EBC.3解：(1)BEC是直角三角形理由如下：四边形ABCD是矩形，ADCABP90°，ADBC5，CDAB2.DEBP1，AEPC4.由勾股定理得CE，BE2，CE2BE252025.BC25225，BE2CE2BC2.BEC90°.BEC是直角三角形(2)四边形EFPH为矩形，证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.DEBP，四边形DEBP是平行四边形BEDP.ADBC，AEPC，四边形AECP是平行四边形APCE.四边形EFPH是平行四边形BEC90°，平行四边形EFPH是矩形4(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，ABDC，ABEECF.又E为

19、BC的中点，BECE，在ABE和FCE中，ABEFCE.ABCF.又ABCF，四边形ABFC为平行四边形，BEEC，AEEF，AEC为ABE的外角，AECABCEAB.又AEC2ABC，ABCEAB，AEBE，AEEFBEEC，即AFBC，四边形ABFC为矩形(2)解：四边形ABFC是矩形，ACDF.又AFD是等边三角形，CFCD2，AC2，S矩形ABFC2×24.解码专训二1(1)证明：在ABC和ADC中，ABCADC，BACDAC.在ABF和ADF中，ABFADF，AFBAFD.AFBCFE，AFDCFE.(2)证明：ABCD，BACACD.又BACDAC，CADACD，ADCD

20、.ABAD，CBCD，ABCBCDAD，四边形ABCD是菱形(3)解：当EBCD时，EFDBCD.理由：四边形ABCD为菱形，BCCD，BCFDCF，在BCF和DCF中，BCFDCF，CBFCDF.BECD，BECDEF90°，EFDBCD.(第2题)2证明：(1)如图，过点B作BMAC交DC的延长线于点M，ABCD，四边形ABMC为平行四边形ACBMBD，BDCMACD.在ACD和BDC中，ACDBDC，ADBC.(2)如图，连结EH，HF，FG，GE，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，HEAD，且HEAD，FGAD，且FGAD，四边形HFGE为平行四边形由(1)知

21、ADBC，HEEG，HFGE为菱形，EF与GH互相垂直平分3(1)证明：将ADE绕点E旋转180°得到CFE，AECE，DEFE，四边形ADCF是平行四边形D，E分别为AB，AC边上的中点，DE是ABC的中位线，DEBC.ACB90°，AED90°，DFAC，四边形ADCF是菱形(2)解：在RtABC中，BC8，AC6，AB10.D是AB边上的中点，AD5.四边形ADCF是菱形，AFFCAD5，四边形ABCF的周长为8105528.4(1)证明：EFAB，PMAC，四边形AEPM为平行四边形AD平分CAB，CADBAD.EPAB，BADEPA，CADEPA，EAE

22、P，四边形AEPM为菱形(第4题)(2)解：当点P为EF的中点时，S菱形AEPMS四边形EFBM.理由如下：四边形AEPM为菱形，APEM.ABAC，CADBAD，ADBC，EMBC.又EFAB，四边形EFBM为平行四边形过点E作ENAB于点N，如图，则S菱形AEPMAM·ENEP·ENEF·ENS四边形EFBM.解码专训三1证明：AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，ACBD，OAODOCOB.DECF，OEOF.在RtAOE与RtDOF中，RtAOERtDOF，OAEODF.DOF90°，DFOFDO90°，DFOFAE90°.

23、AMF90°，即AMDF.2解：(1)仍有BMDNMN成立证明如下： 过点A作AEAN，交CB的延长线于点E, 易证ABEADN，DNBE，AEAN. 又EAMNAM45°，AMAM，EAMNAM.MEMN.MEBEBMDNBM ，BMDNMN .(第2题)(2)有DNBMMN.证明如下： 如图，在DN上截取DEBM，连结AE.四边形ABCD是正方形，ABMD90°，ABAD.又DEBM，ABMADE.AMAE，BAMDAE.DAB90°.MAE90°.MAN45°，EAN45°MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.M

24、NEN.DNDEENBMMN，DNBMMN.3(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDA.又在任何运动时刻，APBQCRDS，PBQCRDSA，ASPBPQCQRDRS，PSQPRQSR，ASPBPQ，在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形又APSASP90°，APSBPQ90°，QPS180°(APSBPQ)180°90°90°.在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形(2)解：当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积(3)解：当P，Q，R，S四点运动到

25、正方形四边中点时，四边形PQRS的面积是原正方形ABCD面积的一半理由：设原正方形ABCD的边长为a.当PS2a2时，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得AS2AP2PS2，即(aAP)2AP2a2，解得APa.同理可得BQCRSDa.当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半(第4题)4解：(1)DMFM，DMFM.证明：如图，连结DF、NF.四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，ADBC，BCGE，ADGE，DAMNEM.M是AE的中点，AMEM.AMDEMN，MADMEN，DMMN，ADNE.ADCD，CDNE.CFEF，

26、FCDFEN90°，DCFNEF，DFFN，CFDEFN.EFNCFN90°，CFDCFN90°，即DFN90°，DMFM，DMFM.(2)DMFM，DMFM.解码专训四(第1题)1解：如图，由折叠性质得AEFAEF，BEAAEB，BEBE，AEEA，BABBEBABEABE90°，AE为BAB的平分线，BEABAE45°，又BEAAEFFEA180°，FEA67.5°，在矩形ABCD中，ADBC，AFEFEA67.5°.2解：易得EF为AC的垂直平分线AEEC，AFFC.AEFC，AEOCFO.又OAO

27、C，AOECOF，AEOCFO，AEFC.四边形AECF是菱形设BF为x cm，则AFFC(4x)cm.由勾股定理，得32x2(4x)2，x，FC cm.AB3 cm，BC4 cm，AC5(cm)OC cm.在RtFOC中，OF(cm)EF2OF cm.即折痕EF的长为 cm.3证明：(1)由折叠可知，FBDCBD，因为ADBC，所以FDBCBD，所以FBDFDB，所以BFDF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABDC，ADBC，由折叠可知DCEDAB，BCBEAD，又因为AEAE，所以AEBEAD，所以AEBEAD，所以AEB(180°AFE)，而DBE(180°BF

28、D)，AFEBFD，所以AEBDBE，所以AEBD.4(1)证明：由折叠的性质可得：ENMDNM，即ENMENAANM，DNMDNCCNM，ENADNC，ANMCNM，四边形ABCD是矩形，ADBC，ANMCMN，CMNCNM，CMCN.(2)解：过点N作NHBC于点H，则四边形NHCD是矩形，HCDN，NHDC，CMN的面积与CDN的面积比为31，3，MC3ND3HC，MH2HC.设DNx，则HCx，MH2x，CM3xCN.在RtCDN中，DC2x，NH2x，在RtMNH中，MN2x，2.解码专训五1解：猜想：AECF，AECF.证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，AB

29、ECDF，在ABE和CDF中，ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF，AECF，AEBCFD.AEBAEDCFDCFB180°，AEDCFB，AECF.2(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，CADACB、AEFCFE.EF垂直平分AC，垂足为O，OAOC，AOECOF，OEOF，四边形AFCE为平行四边形又EFAC，四边形AFCE为菱形设菱形的边AFCFx cm，则BF(8x)cm，(第2题)在RtABF中，AB4 cm，由勾股定理得42(8x)2x2，解得x5，AF5 cm.(2)解：显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同

30、理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PCQA.点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，PC5t，QA124t，5t124t，解得t，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t.3证明：(1)连结AC.在菱形ABCD中，B60°，ABBCCD，BCD180°B120°，ABC是等边三角形E是BC的中点，AEBC.AEF60°，FEC90°AEF30°，CFE18

31、0°FECBCD180°30°120°30°，FECCFE，ECCF.BEDF.(2)连结AC.由(1)知ABC是等边三角形，ABAC，ACBBACEAF60°，BAECAF.BCD120°，ACB60°，ACF60°B，ABEACF，AEAF，AEF是等边三角形(第4题)4(1)证明：四边形ABCD为正方形，AABCCADC90°，ABBCCDAD.AEBFCGDH，BECFDGAH，AEHBFECGFDHG，EHEFFGGH，12.四边形EFGH为菱形1390°，12，2390&#

32、176;，HEF90°.四边形EFGH为菱形，四边形EFGH为正方形(2)解：直线EG必经过一定点理由如下：如图，连结BD、EG，BD与EG交于O点，连结ED，BG.BE綊DG，四边形BGDE为平行四边形，BD、EG互相平分，易知O为正方形中心，EG必过正方形中心O.解码专训六(第1题)1解：如图，取AB的中点E，连结OE、DE、OD，则OEAB1，AE1，所以DE，当D，E，O三点共线时，ODOEDE，否则OD<OEDE，所以OD长的最大值是1.点拨：在这个问题中，关键是运用三角形三边的不等关系确定点D到点O的距离何时最大，具体做法是取AB的中点E，连结OE、DE、OD后，通

33、过分情况讨论得出ODOEDE，所以OD的最大值等于OEDE.(第2题)2解：四边形ABCD是菱形，ADBC，BAD120°，ABC180°BAD180°120°60°.如图，作点P关于直线BD的对称点P，连结PQ，PC，则PQ的长即为PKQK的最小值，当PQAB时，PQ最短假设点Q与点C重合，CPAB，此时CP的长即为PKQK的最小值连结AC.BCAB2，ABC60°，ABC为等边三角形CPAB，BPAPAB1，CP.即PKQK的最小值为.3.4(1)证明：ABE是等边三角形，BABE，ABE60°.MBN60°，

34、MBNABNABEABN.即MBANBE.又MBNB，AMBENB；(2)解：当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小；连结CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小理由如下：由(1)知AMBENB，AMEN，MBN60°，MBNB，BMN是等边三角形，BMMN，AMBMCMENMNCM，根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长解码专训七1B点拨：设每块长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，由题意可得即解之得所以每块长方形地砖的面积是300 cm2.故选B.2解：(1)四边形ABCD是平行四边形，AD8 cm，BCAD8 cm.S平行四边形ABCDBC·AECD·AF，8×34CD，CD6 cm.(2)四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD.平行四边形的周长为36 cm，BCCD18 cm，由平行四边形的面积公式得：4BC5CD，则解得：BC10 cm，CD8 cm，平行四边形ABCD的