勾股定理全章讲练

1、勾股定理一探索勾股定理（一）勾股定理知识链接（1 ）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3） 勾股定理公式 a2+b2=c2 的变形有：a2=c2-b2, b2=c2-a2及 c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2 a2,所以c a，同理c b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中 的每一条直角边.同步练习1 .如图所示，在 Rt ABC中，/ A=90 , BD平分/ ABC，交AC于点D,且AB=4 , BD=5，则点D

2、到BC的距离是（）A . 3B . 4C. 5D . 62.（2014?乐山）如图， ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD丄AC于点D .则BD的长为（)A .2 5B .C .45D . （ 2013?黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4 .则第三边的长为（）A. 5 B . i7 C.5 D. 5 或. 753455A/AABC4. （ 2013?六合区一模）如图，直线I上有三个正方形a, b, c,若a, c的面积分别为3和4，则b的面积为（）A . 3B . 4C . 5D . 7aK/c15. ( 2014?增城市一模)在 Rt ABC 中，/ ACB=9

3、C , CD 丄AB 于 D , AC=20 , BC=15 ,(1 )求 AB 的长;B（2）求CD的长.6. （2014?金华模拟）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为有趣三角形”,这条中线称为 有趣中线”.已知Rt ABC中，/ B=90 ,较短的一条直角边边长为 1 ,如果Rt ABC是 有 趣三角形”，那么这个三角形 有趣中线”长等于7.（ 2014?本溪一模）如图，在ABC，/ C=90，/ B=15 , AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D, E 为垂足,若BD=10cm，则AC等于（8cm5cmD. 2.5cmABC中，AC、BC上的中线交于点 O,

4、且BE丄AD .若BD=5 , BO=4 ,8 .（ 2014?徐汇区二模）如图，9.（ 2014?香坊区三模）如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=9C , BD 平分/ ABC .若 CD=3 , BC+AB=16 ,则厶ABC的面积为（C. 24 D. 3210 . （ 2014?南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点 A落在BC边的A处，折痕所在直线同时经过边AB、AD （包括端点），设 BA =x，则x的取值范围是A11.（ 2014?房山区一模）阅读下列材料:小明遇到这样一个问题：已知：在 ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为.5、

5、,10、13，求 ABC的面积.小明是这样解决问题的：如图 1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1 ），再在网格中画出格点 ABC （即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出 ABC的面积.他C：3：图3D把这种解决问题的方法称为构图法.图1请回答：（1 ）图1中厶ABC的面积为 参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2 ）图2是一个6X6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）.利用构图法在答题卡的图 2中画出三边长分别为.13、 2 5、29的格点 DEF ； 计算 DEF的面积为（3）如图3，已知 PQR，以PQ ,PR为边向外作正方形 PQAF ,P

6、RDE，连接EF.若PQ= 2 ： 2 , PR= 13 ,QR= 17，则六边形AQRDEF的面积为（二）勾股定理证明知识链接（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法,然后再利用面积相等证明勾股定理.（2 ）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的 面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.同步练习1.用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A . c2=a2+b2B. c2=a2+2ab+b 2C . c2=a2-2ab+b 2D . c2= （a+b ） 2.2下列

7、选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A.B .C .D .3. （2014?满洲里市模拟）我国古代数学家赵爽的勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是 a和b，那么（a+b ） 2的值为（）C . 13BAC=9C ，）AB=3，AC=4，点 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的边4. （2012?宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书周髀算经中就有若勾三，股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理

8、.图D . 121C . 110A. 90B .100（圍1）2是由图1放入矩形内得到的，/ 上，则矩形KLMJ的面积为（5、（ 2011?温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副弦图”后人称其为 赵爽弦图” （如图1 ） 图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成. 记图中正方形 ABCD，正方形EFGH , 正方形MNKT的面积分别为S! , S2, S3，若S!+S2+S3=10，则S2的值是 弦實二主朱及黄6由8个相同的直角三角形（图中带阴影的三角形）与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果最大的正方形的面积是25，最小正方形的面积是 1，直角三角形的较短直角边

9、长为 a，较长直角边长为 b，那么33222a 3-333b 3= .7利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个 定理称为，该定理的结论其数学表达式是.圍图2）8. 如图，网格中的图案是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证某个著名结论的方法：(1) 请你画岀直角梯形 EDBC绕EC中点0顺时针方向旋转180的图案，你会得到一个美丽的图案.(阴 影部分不要涂错).(2) 若网格中每个小正方形边长为单位1,旋转后A、B、D的对应点为A、B、D ,求四边形ACA E的面积？(3) 根据旋转前后形成的这个美丽图案，你能说岀这个著名的结论吗

10、？若能，请你写岀这个结论.9. (1 )如图1是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式；(2)如图 2，Rt ABC 幻 RtA CDE，/ B= / D=90，且 B，C，D 三点共线.试证明/ ACE=90 ;(3)请利用(1)中的公式和图2证明勾股定理.图1ffi 210 .如图，已知正方形 ABCD和CEFG，连接DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定（三）等腰直角三角形知识链接（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.（2 ）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质即：两个锐角都是45两腰相等，斜边上中线

11、、角平分线、斜边上的高，三线合一；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径 R= 2+1，所以r： R=1 :2+1 同步练习1.如图，在 Rt ABC中，AB=AC，/ A=90 , BD是角平分线，DE丄BC ,垂足为点 E.若CD= 5 2 ,则AD的长是（）A. 5/2B . 2?2C . D . 52 22 .在 ABC 中，BC : AC : AB=1 : 1 :2，则 ABC 是（ ）A 等腰三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形3 .如图，等腰直角三角形 ABC中，AC=BC 3，点M在AC上，点N在CB的延长线上，MN交AB于点 O，且 AM=

12、BN=3，贝U S amo 与 S bno 的差是（）A . 9 B . 4.5C . 0D .因为AC、BC的长度未知，所以无法确定4. （2011?万州区模拟）如图， ACD和厶AEB都是等腰直角三角形，/ EAB= / CAD=90，下列五个结1论： EC=BD :EC 丄 BD : S 四边形 ebcd=- EC?BD : S ade =Sabc :厶 EBF DCF ;其中正确2的有（）A .B .C .D .5.如图，已知 ABC是腰长为1的等腰直角三形，以 Rt ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以Rt ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtA ADE

13、，依此类推，则第2015个等腰 直角三角形的斜边长是6. 如图，在等腰直角 ACB中，/ ACB=9C ，O是斜边AB的中点，点 D、E分别在直角边 AC、BC 上, 且/ DOE=9C ，DE交0C于点P .有下列结论：1/ DEO=45 :厶 AOD COE : S 四边形 CDOE =S ABC : OD2=op?oc .2其中正确的结论序号为.（把你认为正确的都写上）7 .如图，a / b，点A在直线a上，点C在直线b上，/ BAC=9C ，AB=AC，若/ 1=20，则/ 2的度数 为.8. （ 2014?徐州模拟）如图，在 ABC中，/ A=90 , / C=45 , AB=6cm

14、，/ ABC的平分线交 AC于点cm .D, DE 丄 BC，垂足为 E ,_则 DC+DE=9. （2014?温州五校一模）如图，在 ABC中，AC=BC，/ ACB=90 ，D为AC延长线上一点，丿BC 边上，且 CE=CD，连结 AE、BD、DE . 求证： ACEBCD ; 若/ CAE=25，求/ BDE的度数.能得到直角三角形吗（一）勾股定理的逆定理知识链接（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就 是直角三角形.说明: 勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.必须满足较 勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三

15、角形.小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角然后进一步结合 其他已知条件来解决问题.注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.同步练习1.（ 2012?广西）已知三组数据：2 ,3，4 :3，4，5;1，3，2 分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（A .B .C .D.2 . （2012?连云港一模）如图，在5X5的正方形网格中，以AB为边画直角 ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点

16、C的个数（2014?江西模拟）3.下列各三角形中，面积为无理数的是（C 沦 d.2bSC.下列能构成直角三角形三边长的是（1，1，2 B. 5，8，10 C . 5，12，13 D. 6，7，8（2012?松北区二模）如图 ABC中，AB=5，AC=3，中线AD=2，_则BC长为6 在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 （写出一组即可）.7 .三角形的三边 a，b，c满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是 三角形.8. （ 2014?萧山区模拟）如图，在四边形 ABCD 中，/ B=90，/ BCD=135 ，且 AB=3cm，BC=7cm，_ 1CD= 5 2 cm，点M从点A出发

17、沿折线A-B-C-D运动到点D，且在AB上运动的速度为一 cm/s，在BC2上运动的速度为1cm/s，在CD上运动的速度为 J2cm/s，连接AM、DM，当点M运动时间为 .9. （ 2014?高安市模拟）如图，方格纸中的每个正方形的边长均为1,点A、B在小正方形的顶点上，在图中画 ABC （点C在小正方形的顶点上），使 ABC为直角三角形（要求画两个且不全等）10 . （2014?顺义区一模）在厶 ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边.当a2+b2=c2时， ABC是 直角三角形；当a2+b2工C时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断 ABC的形状（按角分类）.（

18、1 ）请你通过画图探究并判断：当厶 ABC三边长分别为6，8，9时， ABC为三角形；当厶ABC三边长分别为6，8，11时， ABC为三角形.（2）小明同学根据上述探究，有下面的猜想：当a2+b2c2时， ABC为锐角三角形；当a2+b2 1）.（1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？（2） 试给岀一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数.(二)勾股数 知识链接勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.说明： 三个数必须是正整数，例如： 2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它 们不是够勾股数. 一组勾股数扩大相

19、同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. 记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3, 4 , 5; 6, 8, 10 ; 5, 12 ,13 ;同步练习1.下列几组数中,为勾股数的是()1 1 1A. B. 3 ,4 , 6C. 5 , 12 , 13D . 0.9 , 1.2 , 1.53452.下列各组数中,是勾股数的为()A.1 , 2 , 3B . 4 , 5 , 6C .3 , 4 , 5D . 7 , 8 , 93我们知道以3, 4, 5为边长的三角形为直角三角形，所以称 3, 4 , 5为勾股数组，记为(3, 4, 5), 类似地，还可以得到下列勾股数组(8 , 6, 10), (

20、 15 , 8 , 17), ( 24 , 10 , 26)等，请你写出上述四组勾股数组的规律：4 .有一组勾股数,两个较小的数为8和15，则第三个数为5 .一个直角三角形的三边长是不大于10的偶数，则它的周长为6 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写岀两种勾股数，7 .在 Rt ABC 中，/ C=90 , / A、/ B、/ C 所对的边分别是 a、b、c .(1 )填表:边 a、 b、 cs三角形的面积与周长的比值l3 4 55 12 138 15 17s(2 )若a+b-c=m ,则猜想一= (用含m的代数式表示，不必证明)l _8.( 1) 一位同学从勾股数“3

21、4 , 5”中发现,32 -1232 1由此他发现最小数是奇数的勾股数的构造方法.你发现了吗？请你写出以下几组勾股数组：5 , , ； 7 , , ； 9 , , ；(2)写出一般规律的表达方式，(用字母n表示，n为正整数)9 .满足方程x2+y2=z2的正整数x、y、z ,我们称它们为勾股数.(1) 已知 x=m2-n2 , y=2mn , z=m 2+n2 ,请证明 x、y、z 是一组勾股数；(2) 求有一个数是16的一组勾股数.10 据我国古代周髀算经记载，公元前 1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接 得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五后人概括为勾

22、三、股四、弦五”.(1 )观察：3，4，5; 5，12，13 ; 7，24，25 ;，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，11当勾=3 时，股 4= _ (9-1 )，弦 5= _ (9+1 );2211当勾=5 时，股 12= _ (25-1 )，弦 13= _ (25+1 );22请你根据小明发现的规律用 n (n为奇数且n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾 、股、弦，并猜想他们之间的相等关系(写二种)并对其中一种猜想加以证明；(2 )继续观察4，3，5 ; 6，8，10 ; 8，15，17 ;，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过.请你直接用 m (m

23、为偶数且m4 )的代数式来表示他们的股和弦.三勾股定理应用（一）勾股定理的应用知识链接（1 ）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.（2 ）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法， 关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.（3）常见的类型： 勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度. 由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和. 勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世

24、界的实际问题. 勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.同步练习1 .已知小龙、阿虎两人均在同一地点， 若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A . 100 B . 180 C. 220 D. 2602 .如图，为了测得湖两岸 A点和B点之间的距离，一个观测者在 C点设桩，使/ ABC=9C，并测得AC长20米，BC长16米，贝U A点和B点之间的距离为（）米.A . 25 B . 12 C . 13 D. 4.33 如图所示，一场暴雨过后，垂直于

25、地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A . 5 米 B .3 米 C . （ .5+1 ）米 D . 3 米4. （ 2014?和平区一模）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点.已知/ BAC=60，/ DAE=45 .点D到地面的垂直距离DE=3 J2m，则点B到地面的垂直距离 BC为.5. （ 2013?池州一模）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心 A和B的距离为 .开始时B到墙C的距离则下滑的距离是米.B向外

26、移动的距离相等,是 .6. （ 2014?西湖区一模）如图，一架 2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙 AC 上,7. （ 2014?三门县一模）如图，这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm，插吸管处的岀口到相邻两边的距离都是1cm，为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm至5cm间（包括3cm与5cm，不计吸管粗细及出口的大小），则设计的吸管总长度L的范围8 . （2014?西宁）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图.（1 ）求证： ADC CEB ;（2）从三角板的刻度可知 AC=25cm，请你帮小明求岀砌墙砖块的

27、厚度a的大小（每块砖的厚度相等）9. （ 2014?广东一模）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点 C,测得/ CAD=30 ;小丽沿岸向前走30m选取点B ,并 测得/ CBD=60 请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.10 .（ 2013?本溪）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路I旁选取一点A,在公路I上确定点B、C,使得AC丄I，Z BAC=60，再在AC上确定点D,使得/ BDC=75，测得

28、AD=40米，已知本路段对校 车限速是50千米/时，若测得某校车从 B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据： 2 =1.41 ,3 =1.73 ）_S./（二）平面展开最短路径冋题知识链接（1） 平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间 的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在平面图形上构造直角三角形解决问题.（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在 解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型.同步练习21 .如图，圆柱的底面周长为 6cm ,AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC= BC 3只蚂蚁从A点岀发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）6厂A. （4+） cmB. 5cmC . 3、5 cmD. 7cmpAJ -*严%t-1c2 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（）A . 80cm B. 70cm C . 60cm D . 50cm3.如图，为了庆祝 五”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为1m，高为3m .如果要求彩带从柱子底端的 A处均匀