勾股定理及其应用

1、第五次课 勾股定理及其应用本章知识要点A. 勾股定理及其逆定理。B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。D. 勾股定理及其逆定理的应用。E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。内容/概念表示方法/举例勾股定理直角二角形两直角边的平方和 等于斜边的平方如果用a ,b表示直角三角形的两直角边，c表示斜边， 那么a2 b2 c2勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边满足：两短边的平方和等于最长边的平 方，那么这个三角形是直角三角 形用a,b,c （ c为最长边）表示 三角形的三边，如果a2 b2 c2，那么这个三角形是

2、直角三角形勾股数满足a2 b2 c2的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5 ；5,12,13 ； 6,8,10 ； 7,24,25 ；8,15,17 等基本勾股数组满足a2 b2 c2且a,b,c互质的三个正整数，称为一组基本勾股数组常见的基本勾股数组有：3,4,5 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ；8,15,17 等重点知识勾股定理的验证验证方法验证过程（美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和111c，所以a b ? a b 2_ab c,即卩2 2 22K2小2a b c67ub赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以 b

3、a 的小止方形和一个边长为 c的大止方形，因为大止方形的 为c，所以面积为c2，又因为大正方形被分割成了四个全 直角边长分别为a, b的直角三角形和一个为边长J边长 等的K边长为b a的正方形，所以其面积为4 =ab b a 2所以 c2 4 - ab b a 2 2从而 c2 a2 b2.2 刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以 边长的两个正方形的面积之和a,b为名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：图形经过割补拼接后，只要 没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；根据同一种图 形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定 理重点知识确定几何体上的最短路

4、线描述示意图将长方体相邻侧面展开，转化成一个长方圆柱的侧面展开图是一个长方形9展开DE FB CAA 7J/5B名师提示例2 (1)在下列数组3, 4,40, 41;8, 15, 17; 10,勾股数组有。已知ABC中，B 90° ,(3)已知一直角三角形中有两边长分别为 3和4,第三边的平方为 例 3 已知，如图 1-1-2 ,四边形 ABC中, AB=3cmAD=4cmBC=13cmCD=12cm 且/ A=90°,求四边形ABCD勺面积例4如图1-1-4，已知在厶ABC中，AB=1Q BC=21 AC=17求BC边上的高 AD的长.例 5 (1)已知Rt ABC的两直

5、角边 AC=5 BC=12 D是BC的平分线时,求CD的长？(2)如图1-1-5 , 一张长为8cm,宽为4cm的矩 形纸片ABCD沿 EF折叠, 图 1-1-4点C恰好落在点A 上 ,求AE的长。(3)如图1-1-6,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知AB=3,BC=4,求图中阴影部分的面积.»-一二亠311111114rV-4E图 1-1-5-例6. (1)如图1-2-9 (1),有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米？(先画出示意图，然后再求解)EF C图 1-1 -6；上rI ¥(2)如图 1-1-9部落在离旗杆底

6、上希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶 Uti,原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少= -米的位置断裂吗？图 1-2-9 (1)A、B两个小镇在河流CD同侧，至府可的距离分别为 AC= 10千 现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向7如图1-2- ，B丄30千米，且偉糾千米，B两镇供水/甫设设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用 例8如图1-2-7，一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离 墙底0.7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m，求梯子底端将向左滑动多少米?家庭作业图 1-2-6A.三个角度之比为1 :3

7、的三角形是直角三角形;图 1-2-7B.三条边长之比为3 :5的三角形是直角三角形;1.下列结论错误的是（C. 三条边长比为8 ： 16 ： 17的三角形是直角三角形;D. 三个角度之比为1 ： 1 ： 2的三角形是直角三角形。2.在Rt ABC中，斜边AB=1,贝U式子AB2 BC2 AC 2的值为（）图 1-1-15. ABC中，A吐25,BO20,C心15,CM和CH分别是中线和高。那么Sbc=,C十, M*6. 已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为 .7. ABC中, AB=AC=17m , BC=16sm , ADL BC于 D,贝U AD= .8. 如图 1-1-2

8、, DABC的边 BC上的一点，已知 AB=13 AD=12 AC=15,BD=5 ,则BC的长为 丿二、9. 如图1-1-5 , A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为'AC=10千 米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建也来水厂 向 A B两镇图 1-1-2供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M 使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？b10. 如图1-1-6 , 一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端 为7米。C 图 1-1-5 D这个梯子顶端离地面有多高？如果梯子的顶端下滑了 4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？图1-11. 如图1-2-11，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需是多少?图 1-2-11(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个 侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径 (2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直 角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一