由图形的轴对称性看角平分线

1、 专题三 由图形的轴对称性看角平分线、中垂线的应用（3）一.教学目标：1知识与技能:进一步理解轴对称变换,掌握用轴对称作图解决一类几何极值问题的方法.2过程与方法:经历“实际问题数学问题求解与应用”的基本过程，体会轴对称变换在解决问题时的转化作用.3情感价值观:进一步体会轴对称在实际中的广泛应用,感受数学活动充满探索与创造.二教学重点：掌握用轴对称作图解决一类几何极值问题的方法.三教学工具：几何画板.四教学内容：引入：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水.水泵站修在河边什么地方，可使所用的水管最短？例1.已知：如图1，直线a与a同侧两点A、B.求作：点C，使C在直线a上，并且AC

2、+CB最小. 图1 图1-1设计思想：要求学生掌握一类几何极值问题的作图方法.先找到A点关于直线a的对称点A,再连接BA交直线a于C点,这样B,C,A三点在一条直线上,根据“两点之间线段最段”可知, CA+CB最小,由于A和A点关于直线a对称,则直线a是线段AA的垂直平分线,则CA=CA,所以可知AC+CB最小.作法:如图1-1，画出点A关于直线a的对称点A,连结BA交直线a于C点，则点C为所求例2.如图1,在一块三角形区域ABC中,一只蚂蚁P停留在AB边上,它现在从P点出发,先爬到BC边上的点M,再从点M爬到AC边上的点N,然后再回到P点,请在图上作出M、N点,使得蚂蚁爬行的路程最短. 图1

3、 图1-1 设计思想：例2是例1作图方法的引申应用.作法：如图1-1，画出点P关于BC的对称点P，再画出点P关于AC的对称点P，连结PP,交BC于M点，交AC于N点，则PMN的周长最小.例3（宣武）如图1，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线(1) 由图观察易知A（2，0）关于直线l的对称点的坐标为（0，2），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标： 、 ；(2) 已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标 图1设计思想：本题设计在网格中确定对称点的坐标,方

4、便又精确；同时延用例1的作图方法解决一类几何极值问题；本题还考察了直线解析式及两直线交点坐标的确定方法解：（1）图略.B(3,5)；C(5,-2).(2)D(1,-3)关于直线l的对称点D(-3,1),连接ED交直线l于Q点.设直线ED的解析式为y=kx+bE(-1,-4),D(-3,1), -k+b=-4, 解得 k=-,-3k+b=1. b=-.直线ED为y=-x-.当x=y时, x=-x-则x= -Q(-,-).例4（09宣武一模）如图1，矩形OABC的边OC、OA分别与轴、轴重合，点B的坐标是，点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将OAD翻折，点A落在点P处当线段OD与PC所

5、在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM+BM最小，并求出这个最小值 图1 图1-1设计思想：本题继续延用例1的作图方法解决一类几何极值问题同时应用解直角三角形、线段与坐标的相互转化等旧知识来解决问题解：如图1-1，OAD沿OD翻折，点A落在点P处，OD垂直平分AP.PCOD，A、P、C三点共线.在中，OAD=90°，OA=1，又可得：AOD=30°，AD=AO，D.作点B关于直线AC的对称点，过点作AB于点N，连结，与AC交点为M，此点为所求点.可得：=30°，.在中，=90°，DM+BM的最小值为 五.练习:1在直角坐标系内有两点A(-1，1

6、)、B(3，3)，若M为轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是_.2.（06课标）已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.3.（09北京中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A, B（6,0），C,延长AC到点D，使CD=AC，过D点作DEAB交BC的延长线于点E.（1）求D点的坐标.（

7、2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式.（3）设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点.若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）参考答案：1（0，0）2.解：（1）根据题意，c3 所以 解得 所以抛物线解析式为 （2）如图，由题意，可得 点M关于x轴的对称点为点A关于抛物线对称轴的对称点为A'（6，3） 连结A'M'，根据

8、轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长 所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x3的交点为所求F点. 可求得直线A'M'的解析式为 可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，） 由勾股定理可求出所以点P运动的最短总路径（MEEFFA）的长为.3解：如图（1）A（，0），C（0，），OA=6，OC=设DE与y轴交于点M由DEAB可得 DMCAOC又CD=AC，CM =，MD=3 同理可得EM=3 OM =D点的坐标为 (3，) （2）由（1）可得点M的坐标为（0，）由DEAB，EM=MD，可得轴所在直线是线段

9、ED的垂直平分线点C关于直线DE的对称点F在轴上 ED与CF互相垂直平分CD=DF=FE=EC 四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心作直线BM 设BM与CD、EF分别交于点S、点T可证FTM CSM FT = CS .FE = CD ，TE = SD .EC=DF ，TE+ EC + CS+ST =SD+DF+FT+TS 直线MB将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形由点B的坐标（6，0），点M（0，）在直线上，可得直线BM的解析式为 （3）确定G点位置的方法：过A点作AHBM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点 由OB=6，OM=，可得 OBM=60°BAH=30°在RtOAG中，OG=G点的坐标为（0，）（或G点的位置为线段OC中点）六.总结:本节课让学生学会运用轴对称的作图解决一类几何极值问题，在知识教学中渗透数学方法和思想，帮助学生提高解决问题的能力，自觉增强学生的数学来自于实际，又反过来指导解决实际问题的意识七.反思:这节课的难度大，一些学困生可能会在解题过程中失去信心，而一些好的学生又觉得没有意思失去兴趣因此在教学设计上，