用好法向量巧解高考题

1、用好法向量，巧解高考题为了和国际数学接轨，全日制普通高级中学教科书中增加了向量的内容，随着课程改革的进行，向 量的应用将会更加广泛，这在2004年高考数学试题中得到了充分的体现。向量在研究空间几何问题中为学生提供了新的视角，但在教学中，我们的应用还不够， 特别是法向量的应用，教科书中只给了一个概念：如果非零向量 ，那么 叫做平面 的法向量，实质上，法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，变得思路清晰且规范。本文将介绍法向量在空间几何证明、计算中的应用。（一）直线 的方向向量和平面 的法向量分别为 ，则直线 和平面 所成的角 等于向量 所成的锐角（若所成的角为钝角，则为其补角）的余角，即 。(

2、2003全国（理）18题) 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角 三角形, ，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，（）求与平面所成角的大小（结果 用反三角函数值表示）；（）求点到平面的距离。（）解：以为坐标原点，建立如 图所示的坐标系，设，则， ， ， ， ， ， , ， ， ，由 得， ， ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ， ，由， 得，令 得， ，平面 的一个法向量为 ， 与的夹角的余弦值是 ， 与平面所成角为 。当直线与平面平行时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向 量与平面的法向量垂直，我们可利用这一特征来证明直线与平面平行。（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量

3、垂直，那么这条直线和这个平面平行。（2004年高考湖南（理）19题）如图，在底面是菱形的四棱锥中， , ，点在上，且 ，（I）证明： ；（II）求以为棱， 与为面的二面角的大小；（）在棱上是否存在一点，使？证明你的结论。（）解：以为坐标原点，直线分别为轴、轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐 标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别为， ， ， ，设平面的法向量为，则由题意可知， ，由 得， 令得， ，平面的一个法向量为 设点是棱上的点，则，由 得， ， 当是棱的中点时， 。同样，当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为，此时直线的方向向 量与平面的法向量平行，我们可利用这一特征来证

4、明直线与平面垂直。（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为，设二面角的大小为，则二面角的平面角 与两法向量所成的角相等或互补，当二面角的锐角时， ；当二面角为钝角时， 。我们再来看2004年高考湖南（理）19题：（）解：由题意可知， , , 为平面的一个法向量，设平面的法向量为 ，则由题意可知， ,由 得， 令 得， ，平面的一个法向量为，向量与夹角的余弦值是 ， ，由题意可知，以为棱，与为面的二面角是锐角，所求二面角的大小为 。我们知道当两个平面的法向量互相垂直时，两个平面所成的二面角为直角，此时两个平面垂直，我 们可用这一特征来证明两个平面垂直。（四）设两个平面和的法向量分别为，若，则这

5、两个平面垂 直。（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中， ， 分别是上的点，且 ，求证：平面平面 。证明：以为坐标原点，建立如 图所示的坐标系，则 ， ， ， ， ， ，设平面的法向量为 ，则由题意可知，由 得， 令得， ，平面的一个法向量为 ，由题意可知，平面的一个法向量为 平面平面 （五）设平面的法向量为，是平面外一点， 是平面内一点，则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值， 即 。我们再来看2003年全国（理）18题：（）解：设 ，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的法向量为 ，则 ， ，由 ， 得，令 得， ，平面的一个法向量为 ，而 ，点 到平面的距离 。我们知道直线与平面

6、、两个平面的距离都归结为点到平面的距离，故此法同样可以解决直线与平 面、两个平行平面的距离。（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向 量称为两异面直线的法向量），分别为异面直线上的点，则两异面直 线的距离等于法向量上的投影的绝对值， 即。（1999年全国（理）21题）如图，已知正四棱柱中，点在棱上，截面 ，且面与底面所成的角为 ，求异面直线与之间的距离。解：以为坐标原点，建立如 图所示的坐标系 ，连结交于 ，连结 ，则就是面 与底面所成的角的平面角，= ， 又截面 ，为的中点， 为的中点， ，则 ， ， ， ， ，设向量 与两异面直线都垂直，由 ，得， ， ，异面直线与之间的距离 前面介绍了利用法向量解决空间几何的证明与计算问题，实现了几