双曲线的性质A知识讲解

1、双曲线的性质编稿：希勇审稿：霞【学习目标】1. 理解双曲线的对称性、围、定点、离心率、渐近线等简单性质2. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程3. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点二】要点一、双曲线的简单几何性质2 2X y双曲线一2y21 (a> 0, b> 0)的简单几何性质a b围21 X21即 X2a2ax a或 xa双曲线上所有的点都在两条平行直线 足 xw -a 或 x>a.对称性x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满2x对于双曲线标准方程 一2a2 y b2(a>0

2、, b > 0),把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线2X2 a2y21 (a>0, b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以b原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。2 2双曲线：2A （-a，0），A2 （ a，0)，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。1 (a>0, b> 0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为两个顶点间的线段AA叫作双曲线的实轴；设Bi (0, -b ), B2 (0, b)为y轴上的两个点，则线段

3、叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|AiA2|=2a, |BiEb|=2b。 a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 双曲线的焦点总在实轴上。 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作e2c c2a a因为c>a> 0，所以双曲线的离心率 e C 1 oa由 c2=a2+b2，可得a2 2c a2a(c)2 i . e2 i，所以b决定双曲线的开口大小,aab越大，e也a越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大

4、小程度。等轴双曲线a b，所以离心率e渐近线经过点A Ai作y轴的平行线x=± a，图)，矩形的两条对角线所在直线的方程是经过点Bi、B2作x轴的平行线y=± b,四条直线围成一个矩形(如bX oa我们把直线| MN |x叫做双曲线的渐近线;a乡双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。aox x2 a2【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点一、3】要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程2 2x y 2r 1 (a 0,b0)a b22yx21 (a 0,b 0)ab图形yi/bA21 i-r fi0x性质焦占八 '、八、R( c,0) , F2(c,

5、0)R(0, c) , F2(0,c)焦距|F,F2 | 2c(c Ja2 b2)| F1F21 2c (c Ja2 b2)围x xa或x a, y Ry ya或y a , x R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率e (e 1) a渐近线方程by- xaay - x b要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数,如果x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。要

6、点三、双曲线的渐近线(1)已知双曲线方程求渐近线方程:2 22 2若双曲线方程为X2打一1，则其渐近线方程为X?打0a ba b已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“ 0”，然后因式分解即得渐近线方程。(2)已知渐近线方程求双曲线方程:，根据已知条件，求出即若双曲线渐近线方程为 mx ny 0,则可设双曲线方程为 m2x2 n2y2 可。2 2(3 )与双曲线X2- y2-1有公共渐近线的双曲线a b2与双曲线x_a2 y b21有公共渐近线的双曲线方程可设为2；2 (0)(0，焦点在x轴上,0，焦点在y轴上)(4)等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x，因此等轴双

7、曲线可设为x2y2(0).要点四、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征：双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c> b>0, c>a>0，且2.2 2c =b +a。2 2双曲线x2 y21 (a 0,b0)，如图：a b(1)实轴长IAAJ 2a，虚轴长2b,焦距IRF2I 2c,(2 )离心率:|PR| IPF2I lARI|PMj IPM2I 两|I A2F2 |人&|(3)顶点到焦点的距离:lAFIAF2I c a,

8、 IAF2I IafJ a c ；PF1F2中结合定义PF1PF22a与余弦定理，将有关线段|pfJ、PF2、RF2I和角结合(5)与焦点三角形 PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理(或勾股定理)三角形面积公式s pFlF22PF|PF2SinF,PF相结合的方法进行计算与解题，将有关线段PFi、PF?|、|FiF2|， 有关角 RPF2结合起来，建立|PF2| |pf2|> |pfJ|pf2|之间的关系.【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质356749例1】例1.求双曲线16x2 9y2 144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐

9、近线方程与离心率【解析】把方程化为标准方程x2161 ,由此可知实半轴长 a 3 ,虚半轴长b 4 , ca2 b2 5双曲线的实轴长2a 6，虚轴长2b8，顶点坐标(0, 3), (0,3)，焦点坐标(0, 5) , (0,5),c 5离心率e，渐近线方程为ya 3【总结升华】在几何性质的讨论中要注意3_x4a和2a, b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同,几何量也有不同的表示举一反三：【变式1】双曲线mX+ y2= 1的虚轴长是实轴长的A.14【答案】A2倍，则m等于()B.C. 41D.4【变式2】已知双曲线2 28kx ky =2的一个焦点为(0, |)，贝U k的值等于()A

10、.- 2 B . 1 C【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2.已知双曲线方程，求渐近线方程。2(1) X92y6 1 ；(2)2y16【解析】(1)双曲线2 2x y1的渐近线方程为:2 2x- -y- 0916(2)双曲线2 2x y 1的渐近线方程为:9162L 0164 _x3【总结升华】双曲线2x2a2y21 (a 0,b0)的渐近线方程为b双曲线2y2a2xb2线方程为x-y，即 a-x ;若双曲线的方程为b2x2m2y2nm、o,0，焦点在1的渐近x轴上，0,焦点在y轴上)，则其渐近线方程为2x2m2y2n举一反三:【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程2(1 ) x162y36(

11、2)x2 2y2(3)2x272【答案】(1)3 -x2(2)y(3)2x【变式2】中心在坐标原点,离心率为55的圆锥曲线的焦点在3y轴上，则它的渐近线方程为()A. y【答案】5-x B4D例3.根据下列条件,求双曲线方程。x2(1)与双曲线92y1有共同的渐近线，且过点16(3,2 .3)(2)渐近线方程为3x 2y 0,且双曲线过点M (8,6 . 3)【解析】(1)解法一:当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为2x2a2 y b2由题意，得aL2a433)2(2_3)2b2，解得a2b24所以双曲线的方程为4x22当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y x a2 b2由题意，得17去舍综上所

12、得，双曲线的方程为 4x9解法二：设所求双曲线方程为2y160),将点(3,2.3)代入得x2所以双曲线方程为92y164x29(2)依题意知双曲线两渐近线的方程是0.x2故设双曲线方程为一4点M (8,6 .3)在双曲线上,，解得所求双曲线方程为2y16 361.【总结升华】求双曲线的方程，关键是求ax by 0 ,可设双曲线方程为在解题过程中应熟悉各元素( a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程a2x2 b2y2(0).举一反三：2【变式1】中心在原点，一个焦点在(0,3), 一条渐近线为yx的双曲线方程是()3A. 5x25y21B.5x25y2

13、136543654J3x213y21D.13x213y2181368136【答案】D【变式2】过点(2 ,2-2）且与双曲线x2y1有公共渐近线的双曲线是（）2222 2A yx1B.x y1a. y2442222 2C. yx1D.x y14224【答案】A0）的渐近线方程为3x 2y 0，则a的值为D. 1A. 4B.3C.2【答案】C22222 2【变式3】设双曲线x2 y i（aa 9【变式4】双曲线X2y21与X2y2a b a b（0）有相同的（）D.以上都不对A.实轴 B .焦点 C.渐近线【答案】C类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值围2x例4.已知h,F2是双曲线 2a2

14、y b21(ab 0）的左、右焦点，过R且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若 ABF2是正三角形，求双曲线的离心率。【解析】t |卩店2 | 2c , ABF2是正三角形,-1 AR |2ctan30 2%,3| AF2 | 2c tan302c4*3ccos30 3-I AF2 |2-32.3 小c c 2a ,求双曲线离心率的关键是由条件寻求【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数,a、c满足的关系式，从而求出e举一反三:【高清课堂：双曲线的性质356749 例 2】【变式1】2 2(1)已知双曲线x2y2a b1(a 0,b0)的离心率 e23 ,3过点A(

15、0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为3，求双曲线的方程.2(2)求过点(-1,3)，且和双曲线2 2X y1有共同渐近线的双曲线方程492【答案】(1) x_32 2(2) 4y- X- 1 273【变式2】等轴双曲线的离心率为【答案】.2y2 1【变式3】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2 + bx+ c = 0 无实根,则双曲线离心率的取值围是 ()A. 1<e< 5 2 B . 1<e<2C. 1<e<3 D . 1<e<2+ . 5【答案】D类型五：双曲线的焦点三角形例5 .已知双曲线实轴长6,过左焦点F1的弦交左半支于 A、B两点，且|AB| 8，设右焦点F2，求 ABF2 的周长【解析】由双曲线的定义有:| AF21 | AF1 | 6, |BF2| |BF1 | 6 ,- (|AF2| |BF2|) (| AF1 | | BF1 |) 12.即(|AF2| |BF2|) |AB| 12二 | AF2 | |BF2| 12 | AB| 20.故 ABF2 的周长 L |AF2| |BF2 | | AB| 28.【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形