第五章 数组和广义表1

1、第五章 数组和广义表5.1 数组的类型定义数组的类型定义5.3 矩阵的压缩存储矩阵的压缩存储 5.2 数组的顺序表示和实现数组的顺序表示和实现5.4 广义表的类型定义广义表的类型定义5.5 广义表的存储结构广义表的存储结构ADT Array 数据对象数据对象： Daj1,j2, .,ji,jn| ji =0,.,bi -1, i=1,2,.,n 数据关系数据关系： RR1, R2, ., Rn Ri | 0 jk bk -1, 1 k n 且k i, 0 ji bi -2, i=2,.,n ADT Array 基本操作基本操作:5.1 数组的类型定义数组的类型定义基本操作基本操作：InitAr

2、ray(&A, n, bound1, ., boundn)DestroyArray(&A)Value(A, &e, index1, ., indexn)Assign(&A, e, index1, ., indexn)InitArray(&A, n, bound1, ., boundn) 操作结果：操作结果：若维数若维数 n 和各维长度合法，和各维长度合法， 则构造相应的数组则构造相应的数组A，并，并 返回返回OK。DestroyArray(&A) 操作结果：操作结果：销毁数组销毁数组A。 Value(A, &e, index1, ., i

3、ndexn) 初始条件：初始条件：A是是n维数组，维数组，e为元素变量，为元素变量， 随后是随后是n 个下标值。个下标值。 操作结果：操作结果：若各下标不超界，则若各下标不超界，则e赋值为赋值为 所指定的所指定的A 的元素值，并返的元素值，并返 回回OK。 Assign(&A, e, index1, ., indexn) 初始条件：初始条件：A是是n维数组，维数组，e为元素为元素 变量，随后是变量，随后是n 个下标值。个下标值。 操作结果：操作结果：若下标不超界，则将若下标不超界，则将e的的 值赋给所指定的值赋给所指定的A的元的元 素，并返素，并返OK。二维数组的定义二维数组的定义:数

4、据对象数据对象: : D = aij | 0ib1-1, 0 jb2-1数据关系数据关系: : R = ROW, COL ROW = | 0ib1-2, 0jb2-1 COL = | 0ib1-1, 0 jb2-2二维数组的定义二维数组的定义:111110111110100100.nmmmnnnmaaaaaaaaaA5.2 数组的顺序表示和实现类型特点类型特点: （1） 只有引用型操作，没有加工型操作；只有引用型操作，没有加工型操作； （2） 数组是多维的结构，而存储空间是数组是多维的结构，而存储空间是 一个一维的结构。一个一维的结构。有两种顺序映象的方式有两种顺序映象的方式: （1）以行序为

5、主序以行序为主序 （2）以列序为主序以列序为主序 a00 a01 a0n-1 a10 a11 a1n-1 am-10 am-11 am-1n-1 . 按行序为主序存放按行序为主序存放 am-1n-1 . am-11 am-10 . a1n -1 . a11 a10 a0n-1 . a01 a0001n-1m*n-1nLOC(i,j) = LOC(0,0) + (nij)L 按列序为主序存放按列序为主序存放01m-1m*n-1m am-1n-1 . a1n-1 a0n-1 . am-11 . a11 a01 am-10 . a10 a00 a00 a01 . a0n-1 a10 a11 . a1

6、n-1 am-10 am-11 am-1n-1 .LOC(i,j) = LOC(0,0) + (mji)L称为基地址基地址或基址以以“行序为主序行序为主序”的存储映象的存储映象:二维数组二维数组A中任一元素中任一元素ai,j 的存储位置的存储位置 LOC(i,j) = LOC(0,0) + (nij) L 以以“列序为主序列序为主序”的存储映象的存储映象:二维数组二维数组A中任一元素中任一元素ai,j 的存储位置的存储位置 LOC(i,j) = LOC(0,0) + (mji) L 5.3.1 特殊矩阵特殊矩阵5.3 矩阵的压缩存储矩阵的压缩存储 5.3.2 稀疏矩阵稀疏矩阵760007001

7、5000001800000240001400003000000000009120M 以常规方法，即以二维数组表示以常规方法，即以二维数组表示高阶的稀疏矩阵时产生的高阶的稀疏矩阵时产生的问题问题:(1) 零值元素占了很大空间零值元素占了很大空间;(2) 计算中进行了很多和零值的运算。计算中进行了很多和零值的运算。(1) 尽可能少存或不存零值元素；尽可能少存或不存零值元素；解决问题的原则解决问题的原则:(2) 尽可能减少没有实际意义的运算；尽可能减少没有实际意义的运算；(3) 操作方便。操作方便。 即：即： 能尽可能快地找到与下标值能尽可能快地找到与下标值(i，j)对对应的元素，应的元素， 能尽可

8、能快地找到同一行或同一列能尽可能快地找到同一行或同一列的非零值元。的非零值元。5.3.1 特殊矩阵 特殊矩阵是指非零元素或零元素的特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵。分布有一定规律的矩阵。 对称矩阵对称矩阵元素满足条件元素满足条件 aij=aji 1=i , j=n的的n阶矩阵。阶矩阵。按行序为主序：按行序为主序： a11 a12 . . a1n a21 a22 . . a2n an1 an2 . ann . a11 a21 a22 a31 a32 an1 ann . k=0 1 2 3 4 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1 jiijjjijiik, 12/ ) 1(12

9、/ ) 1(，三角矩阵按行序为主序：按行序为主序：Loc( aij)=Loc(a11)+ i*(i-1)/2 +(j-1)*L a11 0 0 . 0 a21 a22 0 . 0 an1 an2 an3. ann . 0a11 a21 a22 a31 a32 an1 ann . k=0 1 2 3 4 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1 对角矩阵对角矩阵 a11 a12 0 . 0 a21 a22 a23 0 0 0 0 an-1,n-2 an-1,n-1 an-1,n 0 0 an,n-1 ann 0 a32 a33 a34 0 0 Loc(aij)=Loc(a11)+2(i-1)+(j

10、-1) 按行序为主序：按行序为主序：a11 a12 a21 a22 a23 ann-1 ann . k=0 1 2 3 4 n(n+1)/2-1 5.3.2 稀疏矩阵稀疏矩阵 假设假设 m 行行 n 列列的矩阵含的矩阵含 t 个非个非零元素零元素，则称，则称 为为稀疏因子稀疏因子。 通常认为通常认为 0.05 的矩阵为稀的矩阵为稀疏矩阵。疏矩阵。nmt稀疏矩阵的压缩存储方法稀疏矩阵的压缩存储方法:一、三元组顺序表一、三元组顺序表二、行逻辑链接的顺序表二、行逻辑链接的顺序表三、三、 十字链表十字链表6 7 8 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 4 3 24 5 2 18 6

11、1 15 6 4 -7 i j e0 1 2 3 4 5 6 7 87600070015000001800000240001400003000000000009120M一、三元组顺序表一、三元组顺序表 #define MAXSIZE 12500 typedef struct int i, j; /该非零元的行下标和列下标 ElemType e; / 该非零元的值 Triple; / 三元组类型三元组类型一、三元组顺序表一、三元组顺序表typedef struct Triple dataMAXSIZE + 1; int mu, nu, tu; TSMatrix; / 稀疏矩阵类型稀疏矩阵类型76

12、00070015000001800000240001400003000000000009120M6700000000014000000007000000024009018000121500300NT如何求转置矩阵？如何求转置矩阵？用常规的二维数组表示时的算法 其时间复杂度为其时间复杂度为: O(munu) for (col=1; col=nu; +col) for (row=1; row=mu; +row) Tcolrow = Mrowcol;6 7 8 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 i j e0 1 2 3 4

13、5 6 7 8i j e7 6 8 1 3 -3 1 6 15 2 1 12 2 5 18 3 1 9 3 4 24 4 6 -7 6 3 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8M.dataT.data解决思路：解决思路： 只要做到只要做到 将矩阵行、列值互换；将矩阵行、列值互换； 将每个三元组中的将每个三元组中的i和和j相互调换；相互调换； 重排三元组次序，使重排三元组次序，使T.data中中元素以元素以N的行的行(M的列的列)为主序为主序如何完成重排如何完成重排操作？操作？方法一：按方法一：按M的列序的列序转置转置6 7 8 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 4 3

14、24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 i j e0 1 2 3 4 5 6 7 8M.data7 6 8 i j e0 1 2 3 4 5 6 7 8T.data方法一：按方法一：按M的列序转置的列序转置 按按T.data中三元组次序依次在中三元组次序依次在M.data中找到相应的三元组进行转置，中找到相应的三元组进行转置，即按照矩阵即按照矩阵M的列序的列序来进行置换。来进行置换。 为找到为找到M中每一列所有非零元素，中每一列所有非零元素，需对其三元组表需对其三元组表M.data从第一行起扫从第一行起扫描一遍。由于描一遍。由于M.data中以中以M行序为主行序为主序，所以由此得到的恰

15、是序，所以由此得到的恰是T.data中应中应有的顺序有的顺序。Status TransposeSMatix(TSMatrix M,TSMatrix &T) /采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵M的转置矩阵的转置矩阵T。 T.mu=M.nu; T.nu=M.mu; T.tu=M.tu; If (T.tu) q=1; for (col=1; col=M.nu; +col) for (p=1; p=M.tu; +p) If (M.datap.j = col) T.dataq.i = M.datap.j; T.dataq.j = M.datap.i; T.data

16、q.e = M.datap.e; +q; return OK;/TransposeSMatrixT(n)=O(nu*tu)方法二：快速转置方法二：快速转置 按按M.data中三元组次序转置，转置结果中三元组次序转置，转置结果放入放入T.data中恰当位置。中恰当位置。 此法关键是要预先确定此法关键是要预先确定M中每一列第一中每一列第一个非零元在个非零元在T.data中位置，为确定这些位置，中位置，为确定这些位置，转置前应先求得转置前应先求得M的每一列中非零元个数。的每一列中非零元个数。cpot1=1;cpotcol=cpotcol-1+numcol-1; (2 col M.nu)7600070

17、015000001800000240001400003000000000009120M6 7 8 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 i j e0 1 2 3 4 5 6 7 8 Col 1 2 3 4 5 6 7Numcolcpotcolt1t1t1t1t2t2t2t10 01 3 5 7 8 8 9实现：实现：设两个数组设两个数组numcol：表示矩阵：表示矩阵M中第中第col列中非列中非零元零元个数个数。cpotcol：指示指示M中第中第col列第一个非列第一个非零元在零元在T.data中位置中位置显然有显然有：c

18、pot1=1;cpotcol=cpotcol-1+numcol-1; 6 7 8 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 i j e0 1 2 3 4 5 6 7 8M.datai j e0 1 2 3 4 5 6 7 8T.datacolnumcolcpotcol1122323524715806817907 6 8 1 3 -3 1 6 15 2 1 12 2 5 18 3 1 9 3 4 24 4 6 -7 6 3 14 pppppppp4629753Status FastTransposeSMatrix(TSMatri

19、x M, TSMatrix &T) T.mu = M.nu; T.nu = M.mu; T.tu = M.tu; if (T.tu) for (col=1; col=M.nu; +col) numcol = 0; for (t=1; t=M.tu; +t) +numM.datat.j; cpot1 = 1; for (col=2; col=M.nu; +col) cpotcol = cpotcol-1 + numcol-1; for (p=1; p=M.tu; +p) / 转置矩阵元素 col = M.datap.j; q = cpotcol; T.dataq.i =M.datap.j

20、; T.dataq.j =M.datap.i; T.dataq.e =M.datap.e; +cpotcol; / for / if return OK; / FastTransposeSMatrix 三元组顺序表又称三元组顺序表又称有序的双下有序的双下标法标法，它的特点是，非零元在表中，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此按行序有序存储，因此便于进行依便于进行依行顺序处理的矩阵运算行顺序处理的矩阵运算。然而，若。然而，若需需随机随机存取某一行中的非零元，则存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。需从头开始进行查找。行行逻辑链接的顺序表逻辑链接的顺序表 #define MAXMN

21、500 typedef struct Triple dataMAXSIZE + 1; /非零元三元组表 int rposMAXMN + 1; /各行第一个非零元的位置表各行第一个非零元的位置表 int mu, nu, tu; RLSMatrix; / 行逻辑链接顺序表类型二、行逻辑链接的顺序表二、行逻辑链接的顺序表6 7 8 1 2 12 1 3 9 3 1 -3 3 6 14 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 -7 i j e0 1 2 3 4 5 6 7 87600070015000001800000240001400003000000000009120Mrowrposro

22、w126543133567000200105003M=00420120N=400160Q=Q = M N矩阵乘法的精典算法矩阵乘法的精典算法:Q=MNM是是m1n1矩阵矩阵，N是是m2n2矩阵矩阵,当当n1=m2时时for (i=1; i=m1; +i) for (j=1; j=n2; +j) Qij = 0; for (k=1; k=n1; +k) Qij += Mik * Nkj; 其时间复杂度为其时间复杂度为: O(m1n2n1) 1 1 3 1 4 5 i j e1 2 3 4 3 1 2 2 2 -1M.data 1 2 2 2 1 1 i j e1 2 3 4 3 2 4 3 1

23、-2N.data 2 1 -1 i j e1 2 3 4 Q.dataparow 1 2 3 ropsarow 1 3 4brow 1 2 3 4ropsbrow 1 2 3 5ccol 1 2ctempt1tpq6p 1 2 6tpp2tq-1tp =5p1tq4 3 2 4 矩阵本身不存在插入和删除的矩阵本身不存在插入和删除的操作。但当矩阵的非零元素的个数操作。但当矩阵的非零元素的个数和位置在操作过程中变化较大时，和位置在操作过程中变化较大时，不适合采用顺序存储结构来表示三不适合采用顺序存储结构来表示三元组的线性表。元组的线性表。三、三、 十字链表十字链表M.cheadM.rhead3 0

24、 0 50 -1 0 02 0 0 01 1 31 4 52 2-13 1 2 5.4 广义表的类型定义广义表的类型定义广义表是广义表是递归递归定义的定义的线性结构线性结构， LS = ( 1, 2, , n )其中：其中： i 或为原子或为原子 或为广义表或为广义表例如例如: A = ( ) F = (d, (e) D = (a,(b,c), F) C = (A, D, F) B = (a, B) = (a, (a, (a, , ) ) )5.4 广义表的类型定义广义表的类型定义ADT Glist 数据对象数据对象：Dei | i=1,2,.,n; n0; eiAtomSet 或 eiGLi

25、st, AtomSet为某个数据对象 数据关系：数据关系： LR| ei-1 ,eiD, 2in ADT Glist 基本操作基本操作: 结构的创建和销毁结构的创建和销毁 InitGList(&L); DestroyGList(&L); CreateGList(&L, S); CopyGList(&T, L);基本操作基本操作 状态函数状态函数 GListLength(L); GListDepth(L); GListEmpty(L); GetHead(L); GetTail(L); 插入和删除操作插入和删除操作 InsertFirst_GL(&L, e)

26、; DeleteFirst_GL(&L, &e); 遍历遍历 Traverse_GL(L, Visit();广义表是一个多层次多层次的线性结构线性结构例如：例如：D=(E, F)其中: E=(a, (b, c) F=(d, (e)DEFa( ) d( )bce广义表广义表 LS = ( 1, 2, , n )的的结构特点结构特点:1) A=( ) A是是个空表，长度为零个空表，长度为零2) B=（e） B只有一个原子，长度为只有一个原子，长度为13) C=（e，（，（a，c，d）长度为）长度为25) 广义表可以是一个广义表可以是一个递归递归的表。的表。 递归表的深度是无穷值，长

27、度是有限值递归表的深度是无穷值，长度是有限值。4) E=（a，E）长度为）长度为2，是个递归的表，是个递归的表6) 任何一个非空广义表任何一个非空广义表 LS = ( 1, 2, , n) 均可分解为均可分解为 表头表头 Head(LS) = 1 和和 表尾表尾 Tail(LS) = ( 2, , n) 两部分。两部分。例如例如: D = ( E, F ) = (a, (b, c)，F )Head( D ) = E Tail( D ) = ( F )Head( E ) = a Tail( E ) = ( ( b, c) )Head( ( b, c) ) = ( b, c) Tail( ( b,

28、 c) ) = ( )Head( ( b, c) ) = b Tail( ( b, c) ) = ( c )Head( ( c ) ) = c Tail( ( c ) ) = ( )5.5 广义表的表示方法广义表的表示方法通常采用头、尾指针的链表结构通常采用头、尾指针的链表结构表结点表结点:原子结点：原子结点：tag=1 hp tptag=0 data（1） 表头、表尾分析法：表头、表尾分析法：构造存储结构的两种分析方法构造存储结构的两种分析方法: :若表头为原子，则为若表头为原子，则为空表空表 ls=NIL非空表非空表 lstag=1 指向表头的指针指向表尾的指针tag=0 data否则，依次类推。否则，依次类推。例如例